浙江省金華市北溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

浙江省金華市北溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.“”是“一元二次方程”有實(shí)數(shù)解的（

）A．充分不必要條件

B．充分必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A略3.若集合A={x|y=}，且A∩B=B，則集合B可能是（）A．{1，2，3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{﹣2，2} D．R參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運(yùn)算．【分析】化簡集合A={x|y=}，得到x應(yīng)滿足：x≥0，即A={x|x≥0}，易知答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}，∴x應(yīng)滿足：x≥0，∴A={x|x≥0}，∵A∩B=B，∴B?A∵{1，2，3}?A故選：A4.設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)參考答案：D試題分析：設(shè)，，，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，相減得：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，的軌跡是直線，代入拋物線得：，所以，又在圓上，代入得：，所以，因?yàn)橹本€恰好有四條，所以，所以，即時(shí)直線恰好有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線有兩條，所以直線恰有條時(shí)，故選D．考點(diǎn)：1．直線和圓的位置關(guān)系；2．直線和拋物線的位置關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及直線與圓的相切問題，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件首先求出中點(diǎn)的軌跡方程，這里主要考查的是點(diǎn)差法，問題轉(zhuǎn)化為與圓有交點(diǎn)，從而當(dāng)直線斜率存在時(shí)，半徑大于且小于有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也有兩條符合條件，故需要．5.橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（

）

A．

B．C．2

D．4參考答案：答案：A

6.如圖所示，點(diǎn)O為正方體ABCD

A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為棱B′B的中點(diǎn)，若AB=1，則下面說法正確的是（）A．直線AC與直線EC′所成角為45°B．點(diǎn)E到平面OCD′的距離為C．四面體O

EA′B′在平面ABCD上的射影是面積為的三角形D．過點(diǎn)O，E，C的平面截正方體所得截面的面積為參考答案：D【考點(diǎn)】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)的問題，得出結(jié)論．【解答】解：對于A，連結(jié)A′C′，A′E，C′E，則A′C′∥AC，∴∠A′C′E為直線AC與直線EC′所成角，在△A′C′E中，A′C′=，A′E=C′E=，∴cos∠A′C′E==，∴直線AC與直線EC′所成角的余弦值為，故A錯誤；對于B，連結(jié)CD′，A′B，則O∈平面BCD′A′，∴B′到平面BCD′A′的距離為AB′=，∴E到平面BCD′A′的距離為，故B錯誤；對于C，O在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心，A′的射影為A，B′和E在底面的射影為B，∴四面體O

EA′B′在平面ABCD上的射影是面積為的三角形，故C錯誤；對于D，取DD′中點(diǎn)F，連結(jié)A′E，A′F，CE，CF，則菱形CEA′F是過O，C，E的平面與正方體的截面，∵EF=，A′C=，∴截面面積S==．故D正確．故選D．7.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A8.已知x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，若2x+3y＞t2+5t+1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍（）A．（﹣∞，﹣8）∪（3，+∞） B．（﹣8，3） C．（﹣∞，﹣8） D．（3，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】利用“1”的代換化簡2x+3y轉(zhuǎn)化為（2x+3y）（）展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據(jù)2x+3y＞t2+5t+1求得2x+3y的最小值，進(jìn)而求得t的范圍．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得：=1，∴2x+3y=（2x+3y）（）=13+≥13+2=25．當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5時(shí)取等號．∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，求得﹣8＜t＜3．故選：B．9.不等式的解集為(

)A．{x|x＜﹣3，x＞2} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|x＞﹣3} D．{x|x＜2}參考答案：B【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】計(jì)算題．【分析】此題是分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式然后再利用數(shù)軸標(biāo)根法即可求解．【解答】解：∵∴（2﹣x）（x+3）＞0∴（x﹣2）（x+3）＞0∴由數(shù)軸標(biāo)根法可得解集為（﹣3，2）故選B【點(diǎn)評】此題主要考查了分式不等式的解法．解題的關(guān)鍵是先轉(zhuǎn)化為整式不等式（同時(shí)注意分母不可以為哦）再利用數(shù)軸標(biāo)根法時(shí)要保證x的系數(shù)均為正，這一點(diǎn)十分重要！10.若在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)中較大的數(shù)大于的概率是(

)（A） （B） （C） （D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知分別是的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則____________.參考答案：略12.已知，且，則

參考答案：13.已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最大值為____________。參考答案：14.從中隨機(jī)選取一個數(shù)為，從中隨機(jī)選取一個數(shù)為，則的概率是

（結(jié)果用數(shù)值表示）參考答案：15.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（1，+∞），且f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x2﹣12x+16，則函數(shù)y=f（x）﹣2的所有零點(diǎn)之和是

．參考答案：5【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】f（x+1）為奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，從而可求x＜1時(shí)的函數(shù)解析式，進(jìn)而解方程f（x）=2可得．【解答】解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴函數(shù)圖象關(guān)于（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x2﹣12x+16，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣2x2﹣4x令2x2﹣12x+16=2，即x2﹣6x+7=0，可得x1+x2=6，令﹣2x2﹣4x=2，即x2+2x+1=0，可得x3=﹣1∴橫坐標(biāo)之和為x1+x2+x3=6﹣1=5故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的平移、奇函數(shù)的對稱性，利用對稱性求函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式．考查性質(zhì)的靈活應(yīng)用．16.已知一圓錐的母線長為4，若過該圓錐頂點(diǎn)的所有截面面積分布范圍是，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形圓心角等于_________.

參考答案：略17.以一個圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高，則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為為．參考答案：【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】由題意設(shè)出圓錐的底面半徑，求出圓錐的側(cè)面積，求出圓柱的側(cè)面積即可得到圓柱的側(cè)積面與圓錐的側(cè)面積之比．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意圓錐底面半徑等于圓錐的高，可知圓錐的側(cè)面積為：πr?r=πr2．圓柱的側(cè)面積為：2πr?r=2πr2．所以圓柱的側(cè)積面與圓錐的側(cè)面積之比為：πr2：2πr2=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=4lnx+ax2+bx（a，b∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且1和4分別是f（x）的兩個極值點(diǎn)．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）若對于?x1∈[1，e]，?x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程，解出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為“?x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“?x2∈[1，e]，使λ＜成立”，求出λ的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+2ax+b=（x＞0），∵1和4別是f（x）的兩個極值點(diǎn)，∴1和4別是f′（x）=0的兩根，∴1+4=﹣，1×4=，解得a=，b=﹣5，∴f（x）=4lnx+x2﹣5x．

…由上得f′（x）=+x﹣5=（x＞0））由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4）…（Ⅱ）對于?x1∈[1，e]，?x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，?等價(jià)于“?x2∈[1，e]，使得λ[f′（x2）+5]＜[﹣f（x1）]min，x1∈[1，e]．由上可得：x1∈[1，e]，f（x1）單調(diào)遞減，故﹣f（x1）單調(diào)遞增，∴[﹣f（x1）]min=﹣f（1）=；…又x2∈[1，e]，時(shí)，f′（x2）+5=+x2＞0且在[1，2]上遞減，在[2，e]遞增，∴[f′（x2）]min=f′（2）=4，…從而問題轉(zhuǎn)化為“?x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“?x2∈[1，e]，使λ＜成立”，故λ＜==，∴λ∈（﹣∞，）．

…19.已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出f（x）的最小正周期；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3?=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T==π；（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的問題，是基礎(chǔ)題．20.（本小題滿分14分）如圖5，直角梯形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起，使折起后的平面與平面垂直（如圖6）．在圖6所示的幾何體中：⑴求證：平面；⑵點(diǎn)在棱上，且滿足平面，求幾何體的體積．參考答案：【知識點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．G10G11⑴見解析；⑵

解析：⑴……1分，，，……3分（其他方法求值也參照給分）∵，∴（）……4分∵平面平面，平面平面，∴平面……6分⑵∵平面，平面，平面平面，∴……8分∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線……9分由⑴知，幾何體的體積……11分【思路點(diǎn)撥】（1）由題意知，AC=BC=2，從而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥AC，從而ED⊥平面ABC，由此能證明BC⊥平面ACD．（2）取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，則EF∥AD，三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱錐F﹣BCE的體積．21.（12分）已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求證：f（x）≤0；（Ⅱ）對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范圍．（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)f（x）的最大值，證明結(jié)論即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），則，令f'（x）=0，得x=1．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，也為最大值，所以f（x）max=f（1）=0，所以，f（x）≤0，得證．（4分）（II）原題即對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立，只需．設(shè)，則，令u（t）=t﹣1﹣lnt，則對于t≥e恒成立，所以u（t）=t﹣1﹣lnt為[e，+∞）上的增函數(shù)，于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即對于t≥e恒成立，所以為[e，+∞）上的增函數(shù)，則．（8分）令p（x）=﹣f（x）﹣a，則p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，當(dāng)a≥0時(shí)，p（x）=﹣lnx﹣ax為（0，+∞）的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，符合題意．當(dāng)a＜0時(shí)，，由p'（x）=0得，由p'（x）＞0得，則p（x）在上為增函數(shù)；由p'（x）＜0得，則p（x）在上為減函數(shù)，所以，從而由，解得．綜上所述，a的取值范圍是．（12分）【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想