遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

姓名：__________考生考號：__________2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第三次模擬考試試題數(shù)學(xué)時間：120分鐘；試卷滿分：150分注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若全集，，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，若，則實數(shù)的值為（）A．0 B． C．1 D．1或3．已知正實數(shù)a，b，則“”是“”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要4．已知平面非零向量，，滿足，且，則（）A． B． C． D．05．在調(diào)查對某大型活動滿意度比例為0.9的人員中抽取10人，設(shè)當中持有滿意態(tài)度的人數(shù)為，隨機變量，則的方差的值為（）A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.86．已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（）A． B． C． D．7．設(shè)點分別為橢圓的左、左焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好有4個，則實數(shù)的值可以是（）A．0 B．2 C．4 D．68．已知數(shù)列中各項均為正數(shù)，且，給出下列四個結(jié)論：①對任意的，都有②數(shù)列可能為常數(shù)列③若，則當時，④若，則數(shù)列為遞減數(shù)列．其中正確結(jié)論有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的是（）A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為10．已知表示這個數(shù)中最大的數(shù)．能說明命題“，，”是假命題的對應(yīng)的一組整數(shù)a，b，c，d值的選項有（）A．1，2，3，4 B．，，7，5C．8，，， D．5，3，0，11．已知雙曲線及直線，若與交于A，B兩點，是坐標原點，且的面積為，則實數(shù)的值可能為（）A．0 B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試的成績整理成頻率分布直方圖后，將每個小矩形上方線段的中點連接起來，并將小矩形擦去，得到頻率分布折線圖（如圖所示）．已知該同學(xué)繪制頻率分布直方圖時確定的極差為60，組距為10，據(jù)此估計此次考試成績的平均數(shù)是__________．13．若函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱，則的值可以為___________．（寫出一個正確的值即可）14．已知正四面體棱長為2，點分別是，，內(nèi)切圓上的動點，現(xiàn)有下列四個命題：①對于任意點，都存在點，使；②存在，使直線平面；③當最小時，三棱錐的體積為④當最大時，頂點到平面的距離的最大值為．其中正確的有___________．（填選正確的序號即可）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（本小題13分）如圖所示，在梯形中，，，，平面，，，，為中點．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求平面與平面夾角的余弦值．16．（本小題15分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求角；（2）若，設(shè)P，Q分別是邊AB、BC上的動點（含端點），且．當取得最小值時，求點到直線的距離．17．（本小題15分）已知函數(shù)，其在處的切線科淬為．（1）求的值；（2）若點在函數(shù)的圖象上，求的取值范圍．18．（本小題17分）為進一步培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高創(chuàng)造性思維和解決實際問題的能力，某省舉辦高中生數(shù)學(xué)建模競賽現(xiàn)某市從M，N兩個學(xué)校選拔學(xué)生組隊參賽，M，N兩個學(xué)校學(xué)生總數(shù)分別為1989人、3012人．兩校分別初選出4人、6人用于組隊參賽，其中兩校選拔的人中各有兩人有比賽經(jīng)驗，按照分層抽樣從M，N兩個學(xué)校初選人中共選擇5名學(xué)生組隊參賽，設(shè)該隊5人中有參賽經(jīng)驗的人數(shù)為X．（1）求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）各市確定5人組隊參賽，此次比賽規(guī)則是：小組內(nèi)自行指定一名同學(xué)起稿建立模型，之后每輪進行兩人單獨交流．假設(shè)某隊決定由A起稿建立模型，A從其他四名成員中選擇一人B進行交流，結(jié)束后把成果交由B，然后B再從其他包括A在內(nèi)的四個成員中選擇一人進行交流……每一個環(huán)節(jié)只能是兩名成員單獨交流，每個小組有20次交流機會，最后再進入評委打分環(huán)節(jié)，現(xiàn)該市選定甲、乙、丙、丁、戊五人參賽，其中甲、乙兩人有參賽經(jīng)驗．在每次交流中，甲、乙被同伴選為交流對象的概率均為，丙、丁、戊被同伴選為交流對象的概率相等，比賽由甲同學(xué)因起稿建立模型．①求該組第三次交流中甲被選擇的概率；②求第n次交流中甲被選擇的概率（，）．19．（本小題17分）設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點；過點作拋物線的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B（A點在第一象限）．（1）當M的坐標為時，求過M，A，B三點的圓的方程；（2）求證：直線AB恒過定點；（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，說明理由；若不存在，也請說明理由．2023-2024學(xué)年度下學(xué)期高三第三次模擬考試試題數(shù)學(xué)參考答案一、1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C二、9．ACD 10．BC 11．AD三、12．112.5 13． 14．①②④四、15．（1）證明：連接CM，，，是AB中點，且，四邊形是平行四邊形，．又，，，平面平面．又平面，平面．（2）證明：，平面，平面，平面，，是AB中點．且．又，平行四邊形為正方形，．又，平面，平面，．（3）平面，四邊形是正方形．兩兩垂直．建立直角坐標系，以為原點，AB為軸，AD為軸，AP為軸.設(shè)平面的法向量，，，，，當時，法向量，設(shè)平面的法向量，，，，，當時，法向量，所以平面與平面夾角的余弦值為：．16．解：（1）因為，所以，由正弦定理得，．因為，所以，同時則，即．又因為，所以，所以，故，（2）由（1）可知，，，所以是直角三角形，又，所以，，設(shè)，，又，所以，所以．在中，由余弦定理和均值不等式可知，．當且僅當時，等號成立，取得最小值1．此時，是邊長為1的等邊三角形，易求得點到直線的距離為．17．解：（1），由題意，，整理得，令，所以，所以當時，，單調(diào)遞減，且，當時，，單調(diào)遞增，又，，，所以關(guān)于的方程只有一個根，即．（2）由（1）問可知，所以，令進而可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，時，，，所以時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值，所以的值域為．又由題意，所以，．令，，所以，當時，，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當時，，區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，當時，，當時，，且，所以的值域為，所以的取值范圍是．18．解：（1）由題隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．的分布列為X01234P數(shù)學(xué)期望．（2）①甲、乙兩同學(xué)被同伴選擇的概率均為．其他三名同學(xué)被選擇的概率相等．比賽由甲同學(xué)起稿建立模型，第三次交流中甲被選擇，所以第二次交流中甲未參與．設(shè)“第三次交流中甲被選擇”，則．②第次交流中甲被選擇，則第次交流中甲未被選擇．設(shè)第次交流中甲被選擇的概率為．則，，．．19．解：（1）當M的坐標為時，設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立，得，整理得，令，解得或，分別代入方程得和，故得，，同時可求得直線MA的方程為，直線MB的方程為，進而可知，即直線MA與直線MB互相垂直，則過M，A，B三點的圓的直徑為線段AB，設(shè)該圓上任一點的坐標為，則，，所以，從而過M，A，B三點的圓的一般方程為．（圓的標準方程：）．（2）設(shè)切點分別為，，過拋物線上點的切線方程為，與聯(lián)立，整理得，，所以，又因為，從而過拋物線上點的切線方程為，即，同理可得過點的切線為，又切線MA，MB都過點，所以得，，即點均滿足方程，故直線AB的方程為．設(shè)，其為直線上任意一點，故對任意成立，從而直線AB恒過定點．（3