三角函數(shù)論文

淺談三角函數(shù)摘要三角函數(shù)具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強等特點，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用做簡單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)三角函數(shù)定義運用AbstractTrianglefunctionhastheformula,flexible,rich,changeideologicalcharacteristics,strongpermeability,describestheimportantmathematicalmodelperiodicphenomenon,Inteachingandotherareasitplaysanimportantrole.Thispaperwilltrigonometricfunctionofsomeabouttheapplicationinsolvingpracticalproblemsdosimplediscussion.Keywords:mathematicstrigonometricdefinitionuse2.1、引言三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)﹑古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。在古希臘，為了便于觀察天體的運行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密(Ptolemy,約87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,約公元前180-125)的基礎(chǔ)上，也編制了所謂“弦表”，他藉助于幾何知識，編制了弦長表，在編制中，也曾發(fā)現(xiàn)一些球面三角學(xué)與平面三角學(xué)的關(guān)系式，并且計算過弧的弦長；可是，希臘人卻未引用“α余弧的弦”或“余弦”這類名稱。８－１２世紀(jì)，希臘文化傳入印度以及阿拉伯﹐在這些國家里，不但提出“正弦”一詞﹐還以幾何方法定義了“余弦線”﹑“正切線”﹑“余切線”以及“正矢線”的意義﹐并編制了各種三角表；其編制方法雖不相同，但編制的數(shù)值卻相當(dāng)精密，對三角學(xué)提供了不少貢獻(xiàn)；阿拉伯天文學(xué)家納速拉丁(Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274)在他的著作《論四邊形》里，首先把三角學(xué)從天文學(xué)中分割出來，看作為一門獨立的學(xué)科。１２－１５世紀(jì)，三角學(xué)傳入歐洲，德國著名數(shù)學(xué)家列吉奧蒙坦(Regiomontanus,1436-1476)與納速拉丁一樣，也把三角學(xué)看作一門獨立學(xué)科，著有《論各種三角形(Detriangulisomnimodis)》，其中重點討論了三角形的解法，并編制了十分精密的“正弦表”，還創(chuàng)造了一些三角公式，對三角學(xué)理論提高到一定的水平，為三角學(xué)發(fā)展起到了不可忽視的作用。2.2、三角函數(shù)定義三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用，在物理學(xué)中也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。2.2.1、銳角三角函數(shù)在直角三角形ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∠C為直角。則定義以下運算方式：sinA=∠A的對邊長/斜邊長，sinA記為∠A的正弦；sinA＝a/ccosA=∠A的鄰邊長/斜邊長，cosA記為∠A的余弦；cosA＝b/ctanA=∠A的對邊長/∠A的鄰邊長，tanA＝sinA/cosA＝a/btanA記為∠A的正切；當(dāng)∠A為銳角時sinA、cosA、tanA統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。sinA＝cosBsinB＝cosA2.2.2、常見三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)OP=r，P點的坐標(biāo)為(x,y)。在這個直角三角形中，y是θ的對邊，x是θ的鄰邊，r是斜邊，則可定義以下六種運算方法：圖一表一基本函數(shù)英文表達(dá)式語言描述正弦函數(shù)Sinesinθ=y/r角θ的對邊比斜邊余弦函數(shù)Cosinecosθ=x/r角θ的鄰邊比斜邊正切函數(shù)Tangenttanθ=y/x角θ的對邊比鄰邊余切函數(shù)Cotangentcotθ=x/y角θ的鄰邊比對邊正割函數(shù)Secantsecθ=r/x角θ的斜邊比鄰邊余割函數(shù)Cosecantcscθ=r/y角θ的斜邊比對邊2.2.3、非常見三角函數(shù)除了上述六個常見的函數(shù)，還有一些不常見的三角函數(shù)，這些運算已趨于淘汰：表二函數(shù)名與常見函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系函數(shù)名與常見函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系正矢函數(shù)versinθ=1-cosθ半余矢函數(shù)hacoversθ=(1-sinθ)/2;余矢函數(shù)coversθ=1-sinθ外正割函數(shù)exsecθ=secθ-1半正矢函數(shù)haversθ=(1-cosθ)/2;外余割函數(shù)excscθ=cscθ-12.3實際應(yīng)用在實際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報、建筑設(shè)計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實際問題應(yīng)用極廣、滲透能力很強。2.3．1停車場設(shè)計問題、如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值。分析：矩形PQCR的面積顯然跟P的位置有關(guān)，連AP，延長RP交AB于M。若直接設(shè)RP的長度為x，則PM=100－x,在Rt△APM中，AM=，從而得PQ=MB=100－，S=（100－）·x，雖然可以得出函數(shù)關(guān)系，但是求解面積圖二的最值比較復(fù)雜。不妨以角為變量建立函數(shù)關(guān)系。解：如上添加輔助線，設(shè)∠PAB=θ（00<θ<900），則AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，∴S=PQ·PR=（100－90cosθ）·（100－90sinθ）=10000－9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ。設(shè)sinθ+cosθ=t(1<t≤)，則sinθcosθ=。代入化簡得S=（t－）2+950。故當(dāng)t=時，Smin=950(m2)；當(dāng)t=時，Smax=14050－9000(m2)2.3.2例2、如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連A與B，已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是4萬元/km，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費用達(dá)到最少？ACDB河θACDB河θ解：設(shè)∠CAD=θ（0<θ<900），則AD=secθ,CB=,BD=－tanθ,圖三∴總費用為y=4secθ－2tanθ+2=+2問題轉(zhuǎn)化為求u=的最小值及相應(yīng)的θ值，而u=－2·表示點P（0，2）與點Q（cosθ,sinθ）斜率的－2倍（0<θ<900），有圖可得Q在單位圓周上運動，當(dāng)直線PQ與圓弧切于點Q時，u取到最小值。此時KPQ=，∴umin=2，θ=。圖四即水下電纜應(yīng)從距B城（－）km處向A城鋪設(shè)，圖三因此此時總費用達(dá)最小值2+2（萬元）。注：本題在求u的最小值時，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三角函數(shù)的有界性等方法。.3.1、某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場，決定對一種半徑為1的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計。設(shè)計時要求同時滿足如下條件：（1）外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；（2）為減少包裝成本，要求所用材料最省；（3）為了方便攜帶，包裝后每個糖果的體積最小。問：這些條件能同時滿足嗎？如果能，如何設(shè)計這個圓錐的底面半徑和高？此時所用的外包裝用料是多少？體積是多少？若不能，請說明理由。分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑AC、母線PA及高PC，這些變量之間的關(guān)系可以通過一個“角”把它們聯(lián)系起來。PABCO解：如圖，設(shè)∠OAC=θ，則OC=1，下底面半徑AC=R=cotθ,母線長l=，高h(yuǎn)=Rtan2θ，θ∈（0，）。則S全=πRl+πR2=πR(+R)=πR2(+1)=πcot2θ(+1)=;圖五PABCOV=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴當(dāng)且僅當(dāng)tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=時，能使S全和V同時取到最小值，此時R=，h=2，即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時能同時滿足條件，外包裝用料是8π，體積是。.4.1、如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口A，一機艇以60km/h的速度從A出發(fā)，30分鐘后因故障而停在湖里，已知機艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時改變方向。如何去營救，用圖示表示營救的區(qū)域。分析：10要表示出一個區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；20題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角θ作為變量來求解。解：以A為原點，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機艇的最初航向的方位角為θ，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點P，然后向東前進(jìn)n到達(dá)點Q發(fā)生故障而拋錨。則m+n=30,令點Q的坐標(biāo)為（x,y），則θ∈[0，]?！鄚AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinθ≤m2+n2+2mn=（m+n）2=900∵機艇中途東拐，∴x2+y2<900?！儆帧選+y=m(sinθ+cosθ)+n=msin(θ+)+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②圖六滿足不等式組①和②的點Q（x,y）所在的區(qū)域，按對稱性知上圖陰影區(qū)域所示。.5.1、在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線GC的直線EF助攻到前場（如圖，設(shè)球門寬AB=a米，球門柱B到FE的距離BF=b米），那么你推進(jìn)到距底線CD多少米時，為射門的最佳位置？（即射門角∠GEPCFBGEPCFBAD若直接在非特殊△APB中利用邊來求∠APB的最值，顯得比較繁瑣，注意到∠APB=∠APF－∠BPF，而后兩者都在Rt△中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。圖七解：如圖，設(shè)FP=x，∠APB=α，∠BPF=β（α、β為銳角），則∠APF=α+β，tg(α+β)=,tgβ=,tgα=tg[(α+β)－β]==。若令y=x+，則y≥=，當(dāng)x=,即x=時，y取到最小值，從而可知x=時，tgα取得最大值，即tgα=時，α有最大值。故當(dāng)P點距底線CD為米時，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的9—15時這個時間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運動。點評：本例一開始也可直接建立余弦函數(shù)模型。另外，模擬漢書中的少數(shù)點有誤差是允許的，如本例中的（21，0.99）。2.3.6、三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識密切相關(guān),而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切。因此,三角函數(shù)的最值問題的求解,不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖象以及三角函數(shù)的恒等變形,還經(jīng)常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計算等眾多知識。這類問題往往概念性較強,具有一定的綜合性和靈活性。圖八如圖，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，AST是一半徑為AT=90m一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在弧ST上，相鄰兩邊CQ，CR落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值。解：設(shè),,延長RP交AB于M，易得PQ=MB=AB—AM=100—90，RP=RM—PM=100—90，從而令，，則，故當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值[思維點拔]引進(jìn)變量建立面積函數(shù)后，問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.一條河寬1km，兩岸各有一座城鎮(zhèn)A和B，A與B的直線距離是4kmACDBACDB解：如圖所示，設(shè)過A點作對岸的垂線，垂足為C,若從A到C再到B的線路鋪設(shè)電纜，雖然AC最短，但陸上線路BC太長并