高等數(shù)學(xué)-鄧澤華主講

第一講函數(shù)、極限與連續(xù)

考綱要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間

的關(guān)系.

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限.

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最

大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).

問(wèn)題1如何求函數(shù)的定義域？

答求定義域的步驟是：

⑴根據(jù)運(yùn)算要求(如分式要求分母不等于零，開偶次方要求被開方數(shù)大于等于零，對(duì)數(shù)Inx

要求真數(shù)x>0,反正弦arcsinx要求兇<1等)列不等式(組)

⑵解不等式(組)

例1.已知/(x)=e,，f[(p(x)]=\-x,e(x)2(),求例x)的定義域.【(—8,()]]

2.設(shè)/(x)=sinx,f[(p(x)]=\-x2,求雙幻的定義域.亞]]

問(wèn)題2已知函數(shù)/(x),如何求復(fù)合函數(shù)/S(x)]?

答用代入法，即以夕(幻代替/(x)中的x,就可以求出

例1.已知/(x)=,

2.設(shè)/")=,

問(wèn)題3已知復(fù)合函數(shù)/3(x)],如何求函數(shù)/(外？

答用換元法，即令，二°(x),代入/S(x)],求出/⑺，就可以求出/*).

例1.已知/(sin?x)=,求/(x)；

2.設(shè)/(x+,)=r+二，求/(x).

XX

問(wèn)題4已知函數(shù)y=/(x),如何求其反函數(shù)？

答求反函數(shù)的步驟是：先由y=/(x)解得犬=/々(丫)，再交換x,y,得其反函數(shù)

例1.求y=cosx(XE[-乃,()])的反函數(shù).

1—2x~,x<—1,

2.求/(x)=<x3,-1Wx42,的反函數(shù)g(x).

12x—16,x>2

問(wèn)題5如何將|/(x)|,max{/(x),g(x)}」/(x)],sgn/(x)表示成分段函數(shù)的形式？

答關(guān)鍵是找出分段函數(shù)的分段點(diǎn)，|/(外|的分段點(diǎn)是使/。)=0的點(diǎn)，

max{/(x),g(x)}的分段點(diǎn)是使/(x)=g(x)的點(diǎn)，"(尤)]的分段點(diǎn)是使/(幻取整數(shù)的

點(diǎn)，sgnf(x)的分段點(diǎn)是使/(%)=0的點(diǎn).

例將下列函數(shù)表示成分段函數(shù)：

1./(幻=卜一4

2.7(x)=max|2-x,x2].

問(wèn)題6敘述函數(shù)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性的定義.

答⑴有界性：設(shè)函數(shù)/(幻在X上有定義，如果存在“〉()，使得VxeX,都有

\f(x)\<M,則稱/(x)在X上有界.

⑵單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間/上有定義，如果々6/，當(dāng)王<々時(shí)，總有

/(x))</(x2),則稱/(x)在/上是遞增的.如果當(dāng)玉<々時(shí)，總有

/(%,)>/(x2),則稱/(x)在/上是遞減的.

⑶奇偶性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果VxeO,總有/(—x)=/(x),

則稱/(x)是偶函數(shù),如果Vxe。，總有/(—x)=—/(x),則稱/(x)是奇函數(shù).

⑷周期性：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，如果存在了?,使得WxeD,都有

/(x+T)=/(%),則稱/(x)是周期函數(shù).

問(wèn)題7敘述基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的定義.

答基本初等函數(shù)是指：基函數(shù)y=x"、指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0，。聲1)、對(duì)數(shù)函數(shù)

y=lognx(a〉0,a*l)、三角函數(shù))'=$布》(cosx,tanx,cotx,secx,escx)反三角函數(shù)

y=arcsinx(arccosx,arctanx,arccotx),讀者要會(huì)畫它們的圖形，并通過(guò)圖形記住它們的性

質(zhì).

初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)通過(guò)有限次四則運(yùn)算，有限次函數(shù)復(fù)合得到的，能用一

個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).

問(wèn)題8如何理解極限的定義？

答以lim/(x)=4為例，lim/(x)=4表示自變量X—>/時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值/(x)無(wú)

X—>xoX—>10

限接近一個(gè)常數(shù)4,即/(x)與A的距離|/(x)-川可以任意小，也就是說(shuō)，只要x和與接近

到一定程度，就可以小于任何正數(shù)￡,即

Ve〉0,三6>0,當(dāng)<6時(shí)，有|/(x)-川<￡或者<f(x)<A+e.

2

取￡=1,有A—l</(x)<A+l,得局部有界性：

AAA

若A>0,取￡=一，有/(x)>A--=->(),得局部保號(hào)性；

222

若re(O,A),取￡=A-r,則有/(x)>A-(A-r)=r,

由此可見(jiàn)，函數(shù)的極限limf(x)=A反映的是函數(shù)的局部性態(tài).

XT而

問(wèn)題9極限與左右極限有何關(guān)系？哪些情形下要求左右極限？

答極限與左右極限的關(guān)系是：lim/(x)=A?/(xj)=/(%；)=A.

X-?Xo

求分段函數(shù)分段點(diǎn)的極限時(shí)，如果分段點(diǎn)兩值IJ函數(shù)表達(dá)式不同時(shí)，要求左右極限，此外,

,arctan8型極限要求左右極限.

fx-1,x<0,,

例1.設(shè)/(x)=1求limf(x).

x+1,x>0,I。

2.求lim—-.

,v->01r

2-ex

問(wèn)題10敘述極限的性質(zhì).

答數(shù)列極限的性質(zhì)如下：

性質(zhì)1(唯一性)如果數(shù)列｛x,J收斂，則它的極限是唯一的.

性質(zhì)2(有界性)如果數(shù)列｛%｝收斂，則數(shù)列｛x,J一定有界.

由此可得：無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.

性質(zhì)3(保號(hào)性)如果口01%=。且。>0,則存在NeZ+,V〃>N,x?>0；

“―>8

如果/lI—i>moox,,="且a<0,則存在NeZ+,Vn〉N,x“<().

推論如果limx〃=a,且則a20；如果limx〃=a,且尤〃<0,則。40.

?：-??*>〃T8

性質(zhì)4(子數(shù)列的收斂性)如果數(shù)列｛x“｝收斂于。，則它的任一子數(shù)列也收斂于a.

特別，若lim/=a,則limxn+k=a

函數(shù)極限的性質(zhì)如下:

3

性質(zhì)1(唯一性)如果lim存在，則極限是唯一?的.

XT"

性質(zhì)2(局部有界性)如果lim/(x)存在，則/(x)在某17(%)內(nèi)有界.

性質(zhì)3(局部保號(hào)性)如果n01/。)=4且4>0,則在某方(%)內(nèi)，/(x)>0；

Xf0

如果1加/(幻=4且4<0,則在某方(％)內(nèi)，/(x)<0.

XT*O

推論如果lim/(x)=A,且在某方(%)內(nèi)，/(x)>0,則ANO；

如果lim/(x)=4,且在某方(%)內(nèi)，/(%)<(),則AWO.

性質(zhì)4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)

設(shè)lim/(x)存在，x?eU(x0)且lim=%,則lim/(xn)=limf(x).

X—>AQ〃一?8〃一>8X—>的

注意⑴若limx“=x0而】im/(x“)不存在，則lim/(x)不存在.

"T8”―>8A—>xo

⑵若lim/=玉),limx；=玉),而lim/(x“)Wlim/區(qū))，則lim/(x)不存在

〃一》8"Too"Too"TooXT而

例1.有界數(shù)列是否一定收斂？說(shuō)明理由.

答收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列不一定收斂，例如擺動(dòng)數(shù)列X,=(-1)"T有界，但是不收

斂.

2.證明limsin，不存在.

x->0JQ

問(wèn)題11敘述極限的運(yùn)算法則.

答極限運(yùn)算法則是極限運(yùn)算的理論基礎(chǔ)，法則的作用是：將復(fù)雜極限分解為簡(jiǎn)單極限，

從而簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，常用的極限運(yùn)算法則有：

定理1(極限的四則運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)/和g在點(diǎn)X。有極限，則

⑴lim(/(x)+g(x))=lim/(x)+limg(x)；

XTX。刀一/

⑵lim(c/(x))=clim/(x),其中c為常數(shù)；

XTX。XT%

4

⑶lim/(x)-g(x)=lim/(x)-limg(x)；

A-?J0XT/

(4)lim(叢?]=]■"")，其中l(wèi)img(x)#0.

limg(x)J%

XT詢

注意極限的四則運(yùn)算法則的條件是：各函數(shù)的極限都存在，且分母的極限不為零.

定理2(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)limf(〃)=A,limg(x)=〃o,且在點(diǎn)x0的某去

M-?M0XT/

心鄰域內(nèi)有g(shù)(x)W〃o,則復(fù)合函數(shù)了=/屹*)]當(dāng)工一與時(shí)的極限存在，且

limf[g(x)]=hmf(u)=A.

定理3(塞指函數(shù)極限法則)設(shè)lim/(x)=A>0,limg(x)=B,則Hm/(x嚴(yán))=肝.

XTXQX—>AOXT."

注意極限的幕指函數(shù)極限法則的條件是：各函數(shù)的極限都存在且底的極限大于零.

定理4(洛必達(dá)法則)如果(1)lim/LD為9或者無(wú)型；(2)iim〃D存在或者為無(wú)

XT"g(x)08

窮大，貝him叢?=lim華^

iog(x)…g(x)

問(wèn)題12⑴若lim(/(x)+g(%)),lim/(x)存在，問(wèn)limg(x)是否存在?

X—XT.%X—>A0

⑵若limf(x)g(x)，limf(x)存在，問(wèn)limg(x)是否存在?

?S.qxfq

答⑴若lim(/(x)+g(x)),limf(x)存在，limg(x)一定存在，因?yàn)橛蓸O限運(yùn)算法則

X—?xoXT，%XT與

知limg(x)=lim[(/(x)+g(x))-/⑴]存在.

⑵若lim/(x)g(x),lim/(x)存在，limg(x)不一定存在，因?yàn)橛蓸O限的運(yùn)算法則知

X-^XQ.r—.r—>.t0

hmg(x)=lim-----——不一定存在例如limxsin—=0,limx=0，而

XTM)XT.于(x)x->0xx->0

,1

xsm-]

lim-----=limsin一不存在.

XTOxXTO%

5

問(wèn)題13敘述極限存在準(zhǔn)則.

答定理1（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界數(shù)列一定收斂.

注意若｛當(dāng)｝遞增，且有上界V,則limx“存在且limx“WM；

//—>?■〃一>8

若｛%“｝遞減，且有下界血，則limx”存在且limx”2加.

L,〃一>8M—>oo

定理2（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)數(shù)列｛%｝,｛%｝,｛zj滿足:⑴y“<x”<z"（〃=1,2,…）;⑵

limy〃=lim=。，則limx=a.

“Too?ooX—>oon

問(wèn)題14求極限有哪些方法？

答求極限是重要的考點(diǎn)，必須熟練掌握各類極限（尤其是不定式）的求法.與極限有關(guān)

的考點(diǎn)還有：確定極限式中的常數(shù)、已知一個(gè)極限求另一個(gè)極限、無(wú)窮小比較、連續(xù)性的討論、

間斷點(diǎn)的分類、可導(dǎo)性的討論、漸近線、用極限定義函數(shù)、用極限研究函數(shù)的局部性態(tài)等.

求極限的方法有：

⑴極限的定義

⑵連續(xù)的定義

⑶導(dǎo)數(shù)的定義（增量比”的極限）

Ax:

⑷定積分的定義（積分和的極限）

⑸兩個(gè)重要極限（類型與形式的統(tǒng)一rS"（x）.1,（］+研月）詞re（夕（x）—0））

夕（x）

⑹無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小

⑺單調(diào)有界準(zhǔn)則（證明極限存在，常用于求遞推式的極限）

⑻夾逼準(zhǔn)則（適當(dāng)放縮）

⑼極限存在的充要條件（極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等）

（⑼初等變形（根式有理化、對(duì)數(shù)恒等式等）

（1D變量替換（倒代換等）

?極限運(yùn)算法則（注意法則的條件）

?等價(jià)無(wú)窮小代換（只有商或者積的分子、分母的無(wú)窮小因子才能代換）

0OO

（M）洛必達(dá)法則（適用于一或者一且導(dǎo)數(shù)之比的極限存在或者為8）

0°°

（15）微分中值定理

?泰勒公式（五個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式）

?積分中值定理

問(wèn)題15求極限時(shí)，如何正確地使用等價(jià)無(wú)窮小代換？

答等價(jià)無(wú)窮小代換是簡(jiǎn)化極限運(yùn)算的重要方法，使用時(shí)要注意兩點(diǎn)：

⑴記住常用的等價(jià)無(wú)窮小：

當(dāng)xT（）R寸，sinx~tanx~arcsinx~arctanx-e'-1~ln（l+x）~x，

6

->

1-cosx——,(1+x)"-1~ax(aw()),詭-1~xIna,

其中無(wú)窮小X改為無(wú)窮小夕（x）時(shí)各式仍成立.

⑵這種方法只有在求商或者積的極限時(shí)才能使用，且只能將商或者積的分子、分母中的無(wú)

窮小因子進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小代換.

常見(jiàn)的錯(cuò)誤有：

（不是無(wú)窮小因子不能代換）

limx-sinx==o

XT。A—>0X，

lim（吧2）F=lim（為系=1（基指函數(shù)不能代換）

XTOXx—>0x

問(wèn)題16如何求不定式的極限？

0OO八,、08

答不定式有七種類型：->一、0?8、8一8、廣、0。、8。，其中V、一是兩種基

0808

0OO

本類型，其余五種不定式均可化為一、一，方法如下：

08

（）.8型：/超=上=上；

1/g1//

8-8型：f-g（通常利用通分、根式有理化、倒代換）；

一、0。、8。型：/*=/2（慕指型通常利用對(duì)數(shù)恒等式）.

求不定式的極限，不能直接使用極限的四則運(yùn)算法則和幕指函數(shù)法則，通常要綜合運(yùn)用初

等變形（根式有理化、對(duì)數(shù)恒等式等）、變量替換（倒代換、線性代換等）、極限運(yùn)算法則、等

價(jià)無(wú)窮小代換、洛必達(dá)法則，先化簡(jiǎn)，再計(jì)算.

例

1.limx(Vx2+100+x)[-50]

XT—

,sinx1

2.lim-?3

XTOsinx6

3.

X—>8X2

lim(47-cot2x)[-2,

4.

3

1「/2+cosx、x“

5.lrim—[(---r-1]

XT°X36

2+exsinx

6.)

4+

\+exTl

(1Y2

7.limntan—【滔】

〃一>8n)

7

問(wèn)題17如何求和的極限?

答求和的極限，常用方法有：

⑴先求和(等差、等比、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減)，再求極限;

⑵夾逼法(關(guān)鍵是適當(dāng)放縮)；

⑶定積分(適用于積分和，見(jiàn)第三講問(wèn)題9).

12n_1,

例1.lim(-------+---------+…+--------)[-1

ifn+n+ln+n+2n~+n+n2

2.題與k(k+4)

問(wèn)題18如何利用遞推式求極限？

答當(dāng)數(shù)列由遞推式給出時(shí)，必須先證明極限存在(常常利用單調(diào)有界準(zhǔn)則)，再利用遞推

式求極限.

例1.設(shè)q=血，4,+]=j2+a"，求lima”.[2]

2.設(shè)0<否<3,x?+l=JXH(3-X?)(n=1,2,???)，求limx”.[-]

"T82

問(wèn)題19如何確定極限式中的常數(shù)？

答確定極限式中的常數(shù)，關(guān)鍵是找到所求常數(shù)滿足的等式(方程)，除了利用已知極限外,

還要產(chǎn)于發(fā)現(xiàn)極限式中隱含的信息，如

⑴若lim叢。存在且limg(x)=0,則lim/(x)=0；

x—>ag(x)x—>ax-^a

⑵若lim/(x)g(x)存在且limg(尤)=8,則

x—^ax—>?

limf(x)=O.

xTa

2

z\n(A-[-x)-ax—bx3生0業(yè)心fr,.5.

例1.已知hm----------------=2,求常數(shù)a,/7.Ia=l,b=—]

J。j22

2.已知lim(3x-Jax。+/?白+1)=2,求常數(shù)tz/.[a=9,/?=-12]

問(wèn)題20如何從已知極限求另一個(gè)極限？

答關(guān)鍵是從已知極限中找出所求極限的相關(guān)信息，請(qǐng)看下面的例題.

例1.已知lim竺婦羋?=0,求1加6+4(幻.[36]

XTOXTOx，

問(wèn)題21何謂無(wú)窮小比較？怎樣進(jìn)行無(wú)窮小比較？

答所謂無(wú)窮小比較就是比較無(wú)窮小趨于零的速度的快慢，進(jìn)行無(wú)窮小比較，關(guān)鍵是求它

8

們比值的極限lim等：

0(x)

設(shè)a,夕是在自變量的同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，

⑴若lim2=0,則稱僅是比a高階的無(wú)窮小，記作夕=o(a)；

a

⑵若lim2=8,則稱夕是比a低階的無(wú)窮??；

a

⑶若lim2=c*0,則稱尸是與a同階的無(wú)窮小；

a

⑷若=則稱P與a是等價(jià)的無(wú)窮小，記作夕~a；

a

⑸若lim-4=c^0則稱夕是a的k階無(wú)窮小.

a

,,1

例1.設(shè)x7Ofl寸，e*-(ax-+bx+l)是比廠高階的無(wú)窮小，求常數(shù)a/.【a=—,b=1]

2

2.設(shè)XTO時(shí)，ew_e"與x"是同階無(wú)窮小，則"=.【3】

問(wèn)題22如何判斷函數(shù)的連續(xù)性？

答首先要理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的定義：

-+

函數(shù)/(x)在點(diǎn)/連續(xù)=lim/(x)=/(x0)Q/(x0)=/(x0)=/(x0)>

函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)是指它在這個(gè)區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)(在區(qū)間端點(diǎn)指單假IJ連續(xù))，

由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，重點(diǎn)是判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性.

例設(shè)/(x)=["+l'確定a,。,使/(X)在其定義域內(nèi)連續(xù)[。=11=0]

x+x+/?,|x|>1.

問(wèn)題23如何判斷間斷點(diǎn)類型？

答間斷點(diǎn)分類標(biāo)準(zhǔn)是：間斷點(diǎn)％處的左、右極限是否都存在，若函數(shù)在間斷點(diǎn)與處的左、

右極限都存在，則稱％為第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn))，否則稱不為第二類間斷

點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)等).

要判斷間斷點(diǎn)類型，關(guān)鍵是求出間斷點(diǎn)處的左右極限.

例求/(x)=(l+x)'4在(0,2")內(nèi)的間斷點(diǎn)并判斷其類型.

問(wèn)題24如何求曲線的漸近線？

答曲線的漸近線有三種：水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線，求法如下：

設(shè)曲線C的方程為y=/(x).

⑴若lim/(x)=c(lim/(x)=c,lim/(x)=c),則y=c是曲線C的水平漸近線;

9

⑵若lim/(x)=8(lim/(x)=oo,lim/(x)=8),則x=c是曲線C的垂直漸近線；

XTCx->c+xtL

⑶若lim/L?=a,lim"(x)—ax]=b(單仰J極限也可以)，則y=ax+b是曲線C的斜

X—>8%X—>8

漸近線.

注意在同一過(guò)程中，有水平漸近線就沒(méi)有斜漸近線.

3

例1.曲線丁=巧絲-的斜漸近線方程為____.【y=x+二】

yjx2

1

2.曲線y=xe1的漸近線方程為.[x=0；y=x]

問(wèn)題25如何求含參數(shù)的極限(極限定義的函數(shù))？

答含參數(shù)的極限通常與參數(shù)的符號(hào)、大小有關(guān)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

1-re，，v

例1.求/(x)=lim—的間斷點(diǎn)并指出其類型.[1=0,第二類】

…x+e

2.討論/(x)=limln(e'+x")—>0)的連續(xù)性【》>。連續(xù)】

“T8〃

3.設(shè)/(x)=limdl+3'",求/(x).

〃—8V11

問(wèn)題26如何利用極限的保號(hào)性研究函數(shù)的局部性態(tài)？

答關(guān)鍵是利用極限的保號(hào)性：若limf(x)=A>(<)0,則在某日(％)內(nèi)f(x)>(<)0,

1“

得到一個(gè)不等式，再結(jié)合其它知識(shí)，得到函數(shù)的局部性態(tài).

例

1.設(shè)—=—1,貝在x=a().

…(x-a)

(A)可導(dǎo)，且廣(a)W()(B)取極大值(C)取極小值(D)不可導(dǎo)【B】

2.設(shè)/(x)在(/(())內(nèi)連續(xù)，且/(())=(),lim-^?=2,則/(x)在x=0().

1-cosx

(A)可導(dǎo)，且八0)聲0(B)取極大值(C)取極小值(D)不可導(dǎo)【C】

問(wèn)題27閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？

答閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是微積分理論的重要組成部分

定理1(有界性定理)如果函數(shù)/在閉區(qū)間以力]上連續(xù)，則它在上有界.

定理2(最大值和最小值定理)如果函數(shù)/在閉區(qū)間[a,“上連續(xù),，則它在上有最大值

和最小值.

定理3(零點(diǎn)定理)如果函數(shù)/在閉區(qū)間上連續(xù)，且/(a)-f(0)<0,則至少存在一

點(diǎn)、(a,b),使/C)=0.

定理4(介值定理)如果函數(shù)/在閉區(qū)間[a,“上連續(xù)，且則/在[a,H上

1()

必取得介于之間的任何一個(gè)值.

推論如果函數(shù)/在閉區(qū)間“上連續(xù)，則/在上必取得介于它的最大值和最小值

之間的任何一個(gè)值.

第二講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

考綱要求

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線

的切線和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連

續(xù)性之間的關(guān)系.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微

分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分.

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5.理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,

了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值的方法，掌握函數(shù)

最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線.

9.了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

問(wèn)題1敘述導(dǎo)數(shù)、微分的定義與幾何意義

答I.導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)

八%)=lim包二lim仆館>-"％)=lim,㈤一"..

AS。AXXT%x-xQ

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處左導(dǎo)數(shù)/'(%)=lim,

Ar->0'A￥

函數(shù))，=/(x)在點(diǎn)X。處右導(dǎo)數(shù)/；(與)=lim/史》一"?,

Ax

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)<=>/〕>(>)=f^(x())；

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：若函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與處可導(dǎo)，則/'(%)表示曲線y=/(x)在點(diǎn)

(其中為=/(/))處的切線的斜率，曲線y=f(x)在點(diǎn)加(馬,用)處的切線的方

程為

丫一/(%)—%).

2彳散分的定義設(shè)y=/(x)，如果△)，=AAx+o(Ax),則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)x可微，并稱

dy=AAv為f(x)在點(diǎn)x的微分.當(dāng)f(x)在點(diǎn)x可微時(shí)，有辦二/'(x)Ax=f\x)dx.

當(dāng)是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線的切線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.

3.函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)玉)處有極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系是

IWWU麗U麗—麗

11

例1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)/處可導(dǎo)與極限lim/+—一./(為一人)存在有何關(guān)系?

Joh

2.函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X=0處可導(dǎo)與極限./("-；；)/(())存在有何關(guān)系?

問(wèn)題2如何求曲線的切線？

答關(guān)鍵是求出切點(diǎn)和斜率.

例1.曲線y=lnx上與直線x+y=l垂直的切線方程為.ly=x-\,04-1]

2.設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程盯+21nx=y4所確定，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方

程為.[j-y=0,03-2)

3.設(shè)/(x)在x=0連續(xù)，且lim以?=1,則曲線y=/(x)在點(diǎn)((),/(0))處的切線方程

I。X

為.[y=x]

問(wèn)題3敘述求導(dǎo)公式與法則.

答1.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式(16個(gè))

⑴?'=()⑵。町=必產(chǎn)(3)(axy=ax\na

(4)(e*)'=e，⑸(log“x)-(6)(Inx/=—

xlnaX

(7)(sinx/=cosx(8)(cosx/=-sinx(9)(tanxY=sec2x

⑩(cotx)'=-csc2%(11)(secx)'=secxtanx02)(escx)'=一CSCxcotX

(13)(arcsinx)'=」——

(14)(aarccccosxx)Y---4----―---

Vl-x2

(15)(arctanx)'=—二(16)(arccotxY=----二

l+x1+x2

2.求導(dǎo)法則

定理1(函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則)設(shè)〃=〃(1)-=貝工)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則它們的和、

差、積、商在點(diǎn)X可導(dǎo)，且

(l)(?(x)±V(X)y=u(x)±v\x);

⑵(〃(x)u(x))'=/(x)u(x)+〃(x)/(x);

⑶(c〃(1))'=c/(x)；

⑷(回)也也您皿￡(v(x)^0)

\v(x))V(x)

定理2(反函數(shù)的導(dǎo)數(shù))若函數(shù)x=e(y)在區(qū)間/、,內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)夕'(y)wo,則

它的反函數(shù)y=/(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且/'(x)=」一.

(p(y)

定理3(復(fù)合導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則)若〃=8(x)在點(diǎn)x處口J導(dǎo)，y=/(〃)在點(diǎn)〃二夕(1)處可.導(dǎo),

則復(fù)合函數(shù)y=/S(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

12

半=半.半=/，(〃)Mx).

axduax

注使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的步驟:

⑴將函數(shù)讀作”的基本初等函數(shù)；

⑵對(duì)“求導(dǎo)，乘以〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù).

定理4(萊布尼茨公式)

問(wèn)題5如何求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或者微分)

答求導(dǎo)運(yùn)算是最基本的運(yùn)算，也是考試中涉及最多的運(yùn)算，讀者必須熟練掌握求導(dǎo)公式、

求導(dǎo)法則(四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)以及各種函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法：

⑴初等函數(shù)(正確使用求導(dǎo)公式與法則)

⑵分段函數(shù)(分段點(diǎn)必須用定義求導(dǎo))

⑶隱函數(shù)(兩邊求導(dǎo)法、公式法)

⑸抽象函數(shù)(正確使用導(dǎo)數(shù)記號(hào)，注意/'(/)和[/(/)]，的區(qū)別)

⑹某指函數(shù)(對(duì)數(shù)求導(dǎo)法)

⑺反函數(shù)(導(dǎo)數(shù)公式：竺dx=吃j)

dyy

l.y=ln(x+J1+/),求/[-聲?【點(diǎn)】

2.設(shè)y=-=arctan/,,則半1力=.【多]

3x+2ax4

2

3.設(shè)y=l+xe,，求/|x=o，y[,”【y[,=o=e；/|,t=0=2e]

4.設(shè)y=y(x)由+y2，n'-4=0所確定，求也.【】

dx2xlnx(/xv+y2,nj)

5.設(shè)了二階可導(dǎo)，且廣(x)*0,尤=/'"),)'=『(/)—/?),求g.[-J—1

dxf(?)

6.設(shè)y=/(x)與x=[(y)互為反函數(shù)，且y=/(x)三階可導(dǎo)，試用y',y",)嚴(yán)表示

d2xd3x_cl2x_y",以_3尸-y'y”】

歹歹歹=一產(chǎn)斤=7

7.已知函數(shù)/(“)具有二階導(dǎo)數(shù)，且7(0)=1,函數(shù))，=y(x)由方程y—xe'T=1所確定,

設(shè)2=/(加丫一面外，求生，土|.[―=0,=1]

-dxt=0加LdxI加|,5

問(wèn)題6如何求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

答分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是重點(diǎn)，也是常考點(diǎn)，讀者務(wù)必通過(guò)例題熟練掌握分段函數(shù)的求導(dǎo)方

13

法，切記分段函數(shù)分段點(diǎn)必須用定義求導(dǎo).

田

例1.設(shè)F(x)=x'其中/(x)在(-8,+8)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

J'(O),x=().

/(())=0,求F\x)并討論F\x)的連續(xù)性.

xf(x)-f(x)

,X。0,

【尸'(x)=!,XF\x)在(-8,+oo)上連續(xù)］

/(0)

x=0.

2.設(shè)/(x)=卜一4[8"),0(x)在x=a連續(xù)，討論/(x)在x=a處的可導(dǎo)性.

問(wèn)題7哪些情形要用定義求導(dǎo)？

答除了分段函數(shù)分段點(diǎn)必須用定義求導(dǎo)外，某些抽象函數(shù)也必須用定義求導(dǎo).此外，求

某些初等函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，用定義求導(dǎo)較為簡(jiǎn)單.

例l.^/(x)=x(x-l)(x-2)---(x-100),貝i」/'(0)=.[100!]

2.設(shè)/(x+1)=4*)恒成立，/(0)=〃，則廣⑴=.lab】

3.設(shè)/(x)在(0,+8)有定義，八1)=1,且(0,+8),有盯)=/(x)+f(y),

求/(x).[Inx]

問(wèn)題8如何求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)？

答求〃階導(dǎo)數(shù)的方法有

⑴歸納法依次求出y',)尸等，觀察其規(guī)律，寫出)("＞；

⑵分解法將函數(shù)分解為某些簡(jiǎn)單函數(shù)之和；

⑶用萊布尼茨公式求乘積的n階導(dǎo)數(shù).

例1.設(shè)y=求【丫(")=(一1)"(工一“％7】

x+2

2.設(shè)y=求yg.y5)=±(_1)"”！—-----^―

x2-2x-343嚴(yán)(x+1嚴(yán)

問(wèn)題9如何判別函數(shù)的單調(diào)性?

答根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判別法知，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)(稱為函數(shù)的駐

點(diǎn))或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

判別函數(shù)單調(diào)性的步驟是：

⑴求出函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

⑵用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間;

⑶確定各小區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)(列表)；

⑷判別函數(shù)在各小區(qū)間上的單調(diào)性.

例1.證明/(x)=(1+'在(0,+~)上單調(diào)增加.

X

14

2.設(shè)/(x)在[。,刈上二次可導(dǎo)且f(())=。，/"(X)<0,證明"D在(0,。]上單調(diào)減少.

x

問(wèn)題10如何求函數(shù)的極值？

答根據(jù)極他的必要條件知，函數(shù)的極值只能在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)取得.

求極值的步驟是：

⑴求出函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

⑵用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間；

⑶確定各小區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)(列表)；

⑷用第?充分條件判別函數(shù)在這些點(diǎn)是是否取得極值，是極大值還是極小值.

注對(duì)于駐點(diǎn)，也可以用第二充分條件判別.

例l.y=f(x)滿足y〃—2y'+4y=0,/(4)〉0,r(x0)=0廁在4處()?

(A)有極大值(B)有極小值(C)在某鄰域內(nèi)遞增(D)在某鄰域內(nèi)遞減【A】

2.設(shè)y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1確定，求y=y(x)的極值點(diǎn).【極小點(diǎn)x=1]

?

3.已知函數(shù)/。)對(duì)一切%滿足獷”(幻+3%]/'(刈2=1-0-*,且八與)=(),證明f(xQ)

是/(x)的極小值.

問(wèn)題11如何判別曲線的凸凹性和拐點(diǎn)？

答根據(jù)凸凹性判別法和拐點(diǎn)定義知，曲線凸凹部分的分界點(diǎn)(拐點(diǎn))只能是二階導(dǎo)數(shù)為

零或者不存在的點(diǎn).

判別函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn)的步驟是：

⑴求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零或者不存在的點(diǎn)；

⑵用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間：

⑶確定各小區(qū)間上二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)(列表)；

⑷判別函數(shù)在各小區(qū)間上的凸凹性及這些點(diǎn)是否拐點(diǎn).

例

1.求y=(x—l)?行的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

2.設(shè)y=/(x)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/'(4)=/"(%)=()，/"(X。)豐0問(wèn)4是否極值點(diǎn)？

(xo，/(x。))是否拐點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

問(wèn)題12如何求函數(shù)的最值？

答求函數(shù)的最值是重點(diǎn)，務(wù)必熟練掌握求最值的方法.

分兩種情形：

15

⑴若/（x）在［凡切上連續(xù)，則求出函數(shù)在駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)、端點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大（?。?/p>

的為最大（小）值.

⑵若/（x）在區(qū)間/內(nèi)可導(dǎo)且只有惟一極值，則極小值就是最小值，極大值就是最大值.

例1.在拋物線^=4-爐上的第一象限部分求一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)

軸所圍成的三角形面積最小.【（.,|）］

2.作半徑r為的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高力為何值時(shí)，其體積最??？【/?=4r】

問(wèn)題13如何求曲線的曲率？

答根據(jù)曲線y=/（x）的曲率公式K=（］+1」產(chǎn)2，關(guān)鍵是求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù).

問(wèn)題14敘述微分中值定理.

答微分中值定理是微積分理論的重要組成部分，它們建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，從而可

以用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中

值定理，敘述如下：

定理1（羅爾定理）如果“X）滿足：

（1）在［a,可上連續(xù),

（2）在（a,內(nèi)可導(dǎo)，

⑶=

則至少存在一點(diǎn)彳€（。力），使得廣（4）=0.

定理2（拉格朗日中值定理）設(shè)“X）在［a,可上連續(xù)，在（a⑼內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一

點(diǎn)fe（。⑼，使/⑸—/⑷=/'?）S-a）.

定理3（柯西中值定理）設(shè)〃x）,g（x）在［a,可上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且g'（x）w0,

則至少存在一點(diǎn)Je使

gM）-g（a）g'C）

例1.設(shè)/（x）在［a,b］上連續(xù)，在（a力）內(nèi)可導(dǎo)，證明：,使

/?+5紜）=⑷.

b-a

2.設(shè)/（x）在值切上連續(xù)，在（Q,b）內(nèi)可導(dǎo)，且/'（x）w（）,證明:

b-a

3.設(shè)/（X）在［a,b］（a>0）上連續(xù),在（a,。）內(nèi)可導(dǎo)，且/（a）=（（b）=1,證明：

七,〃€（〃力），使得（2嚴(yán)=/?）+￡/'?），其中“21為正整數(shù).

4〃

問(wèn)題15如何證明（討論）關(guān)于方程的根（函數(shù)的零點(diǎn)）問(wèn)題？

答函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）是重點(diǎn)，也是?？键c(diǎn)，務(wù)必通過(guò)例題熟練掌握證明（討論）

16

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法.

I.零點(diǎn)的存在性證明，即證明存在一點(diǎn)J滿足一個(gè)等式(用零點(diǎn)定理或者羅爾定理)

△利用羅爾定理證明零點(diǎn)問(wèn)題，難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù).請(qǐng)記住下面的常用結(jié)論：

若方程為/(x)+xf\x)=0,則令F(x)=xf(x)；

若方程為/'(%)+2/(%)=0,則令尸(x)=f(x)eAx；

若方程為f\x)+f(x)g，(x)=O,則令F(x)=f(x)egM；

若方程為/(x)=0,且/(x)連續(xù)，則令/(x)=

2.惟一性證明(先證明存在性，再用單調(diào)性或者反證法證明唯一性)

3.零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論(先求單調(diào)區(qū)間，再用零點(diǎn)定理)

例1.若衛(wèi)+色曰+…+/=(),證明方程％…+即=0在(()」)內(nèi)至

n4-1n

少有一個(gè)實(shí)根.

2.設(shè)f(x)為［()/］上有三階導(dǎo)數(shù)，且/(0)=/(1)=(),又尸(?=//(幻，證明在(()/)內(nèi)

至少存在一點(diǎn)J使得F"C)=0.

3.設(shè)/(x)在［()』］上連續(xù)，在(()』)內(nèi)可導(dǎo)，且/(())>0,證明：方

程f［x)=x在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.

4.設(shè)/(x)在［(),+oo)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/'(x)2k〉0,/(())<0,求證/(X)=0在(0,+8)內(nèi)

有且僅有一個(gè)實(shí)根.(03-3)

5.設(shè)f(x),g(x)在口向上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且/⑷=/(與=0,證明：

3ce(a,b),使/'(c)+/(c)g'(c)=0.

6.設(shè)f(x)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且/(())+/(1)+/⑵=3,/⑶=1,證明

丈e(0,3),使/6)=0.

7.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在［a,句上連續(xù)，在(。力)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，

/(a)=g(a)J(b)=gS),證明：存在使得了"C)=g"C).

8.討論方程Inx=ax(a>0)有幾個(gè)實(shí)根.

9.討論曲線y=41nx+Z與y=4x+ln,x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

I2

10.在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)，方程「中-cosx=()有幾個(gè)實(shí)根？

問(wèn)題16如何證明不等式？

答證明不等式是常?？碱}型之一，務(wù)必通過(guò)例題熟練掌握證明不等式的方法.證明不等

式的方法有

⑴用中值定理利用將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式.