大題創(chuàng)新題完整版煉-04-概率統(tǒng)計(jì)-沖刺2024高考數(shù)學(xué)（原卷）

大題創(chuàng)新題精煉04概率統(tǒng)計(jì)沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（原卷）【前言】自九省聯(lián)考新題型以來，各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)生以下變化：（1）2小問變成3小問，（2）加大對(duì)排列組合、二項(xiàng)式的考察，（3）強(qiáng)化條件概率、乘法公式、全概率公式應(yīng)用，（4）概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合綜合，（5）概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合。題型探究目錄【題型一】3小問的概率統(tǒng)計(jì)題目【題型二】排列、組合、二項(xiàng)式在解答題應(yīng)用【題型三】條件概率、乘法公式、全概率公式【題型四】概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合【題型五】概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)綜合知識(shí)溫習(xí)（略）各個(gè)擊破【題型一】3小問的概率統(tǒng)計(jì)題目【知識(shí)回顧】(略）1．（2024·上海松江·二模）某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.2．（2024·北京順義·二模）某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分；方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨(dú)立.(1)求甲得分不低于2分的概率；(2)求乙得分的分布列及期望；(3)甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結(jié)論.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年11月19日，以“激發(fā)創(chuàng)新活力，提升發(fā)展質(zhì)量”為主題的第二十五屆中國(guó)國(guó)際高新技術(shù)成果交易會(huì)（以下簡(jiǎn)稱“高交會(huì)”）在深圳閉幕，作為“中國(guó)科技第一展”的高交會(huì)距今已有25年的歷史．福田展區(qū)的專業(yè)展設(shè)有新一代信息技術(shù)展、環(huán)保展、新型顯示展、智慧城市展、數(shù)字醫(yī)療展、高端裝備制造展等六類．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了每個(gè)展區(qū)的備受關(guān)注率﹝一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士（或企業(yè)）關(guān)注的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的參展企業(yè)數(shù)的比值﹞，如下表：展區(qū)類型新一代信息技術(shù)展環(huán)保展新型顯示展智慧城市展數(shù)字醫(yī)療展高端裝備制造展展區(qū)的企業(yè)數(shù)量/家6036065045070990備受關(guān)注率0.200.100.240.300.100.20(1)從參展的6個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取一家企業(yè)，求這家企業(yè)是“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率．(2)若視備受關(guān)注率為概率，某電視臺(tái)現(xiàn)要從“環(huán)保展”“智慧城市展”“高端裝備制造展”3個(gè)展區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)展區(qū)，再?gòu)某槌龅?個(gè)展區(qū)中各抽取一家企業(yè)進(jìn)行采訪，求采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)的概率．(3)從“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記為這2家企業(yè)中來自“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)的企業(yè)數(shù)量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．4．（2024·上海閔行·二模）ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè).(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差.【題型二】排列、組合、二項(xiàng)式在解答題應(yīng)用【知識(shí)回顧】(略）5．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在組合恒等式的證明中，構(gòu)造一個(gè)具體的計(jì)數(shù)模型從而證明組合恒等式的方法叫做組合分析法，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，我們將通過如下的例子感受其妙處所在．(1)對(duì)于元一次方程，試求其正整數(shù)解的個(gè)數(shù)；(2)對(duì)于元一次方程組，試求其非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；(3)證明：（可不使用組合分析法證明）．注：與可視為二元一次方程的兩組不同解．7．（2023·遼寧丹東·二模）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過疫苗小白鼠的總體，設(shè)．(1)求，；(2)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；(3)對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．8．（2024·北京西城·一模）對(duì)正整數(shù)，設(shè)數(shù)列.是行列的數(shù)陣，表示中第行第列的數(shù)，，且同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同．記集合或中元素的個(gè)數(shù)為．(1)若，求的值；(2)若對(duì)任意中都恰有行滿足第列和第列的數(shù)均為1．①能否滿足？說明理由；②證明：．【題型三】條件概率、乘法公式、全概率公式【知識(shí)回顧】(略）9．（2024·浙江·二模）甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)問答比賽，共有道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設(shè)每題甲乙答題正確的概率分別為和，各題答題相互獨(dú)立.規(guī)則為：初始雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得﹣1分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.(1)若，，求甲獲勝的概率；(2)若，設(shè)甲第題的得分為隨機(jī)變量，一次比賽中得到的一組觀測(cè)值，如下表.現(xiàn)利用統(tǒng)計(jì)方法來估計(jì)的值：①設(shè)隨機(jī)變量，若以觀測(cè)值的均值作為的數(shù)學(xué)期望，請(qǐng)以此求出的估計(jì)值；②設(shè)隨機(jī)變量取到觀測(cè)值的概率為，即；在一次抽樣中獲得這一組特殊觀測(cè)值的概率應(yīng)該最大，隨著的變化，用使得達(dá)到最大時(shí)的取值作為參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值.求.題目12345678910得分100﹣111﹣1000題目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一組觀測(cè)值.附：若隨機(jī)變量，的期望，都存在，則.10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見，當(dāng)日購(gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購(gòu)票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購(gòu)買單程上山票的2人和購(gòu)買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購(gòu)票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時(shí)m的值．11．（2024·浙江麗水·二模）為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物，采用某型號(hào)紅外相機(jī)監(jiān)測(cè)器對(duì)指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測(cè)識(shí)別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號(hào)監(jiān)測(cè)器能正確識(shí)別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測(cè)器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率為0.2.現(xiàn)用2臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)測(cè)器組成監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每臺(tái)監(jiān)測(cè)器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測(cè)識(shí)別，若任意一臺(tái)監(jiān)測(cè)器識(shí)別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng).(1)若.（i）在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）；(2)若監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在監(jiān)測(cè)識(shí)別中，當(dāng)時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件：①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.（參考數(shù)據(jù)：）12．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，統(tǒng)計(jì)抽取到每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量（，2，…，15），得到數(shù)組．已知，，．(1)求樣本（，2…，15）的相關(guān)系數(shù)；(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量X（X可取任意正整數(shù)）．研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的，壽命為的樣本在壽命超過k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”．（ⅰ）求（）的表達(dá)式；（ⅱ）推導(dǎo)該植物壽命期望的值．附：相關(guān)系數(shù)．【題型四】概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合【知識(shí)回顧】(略）13．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學(xué)習(xí)和生活，特舉行了答題競(jìng)賽．在競(jìng)賽中，每位答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分，從第2次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題所得分?jǐn)?shù)兩倍的得分，答錯(cuò)得10分，教師甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率均為，每次答題是否答對(duì)互不影響.(1)求甲前3次答題的得分之和為70分的概率．(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．（?。┣?，，，并猜想當(dāng)時(shí)，與之間的關(guān)系式；（ⅱ）若，求n的最小值．14．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校有甲?乙?丙三名保安，每天由其中一人管理停車場(chǎng)，相鄰兩天管理停車場(chǎng)的人不相同.若某天是甲管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是乙管理停車場(chǎng)；若某天是乙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是丙管理停車場(chǎng)；若某天是丙管理停車場(chǎng)，則下一天有的概率是甲管理停車場(chǎng).已知今年第1天管理停車場(chǎng)的是甲.(1)求第4天是甲管理停車場(chǎng)的概率；(2)求第天是甲管理停車場(chǎng)的概率；(3)設(shè)今年甲?乙?丙管理停車場(chǎng)的天數(shù)分別為，判斷的大小關(guān)系.（給出結(jié)論即可，不需要說明理由）15．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙?丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中．(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求證：．16．（2324高三上·貴州貴陽(yáng)·期中）有個(gè)編號(hào)分別為的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，，依次進(jìn)行．(1)求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；(2)求從第個(gè)盒子中取到紅球的概率；(3)設(shè)第個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，的期望值為，求證：．【題型五】概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)綜合17．（2024·浙江杭州·二模）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計(jì)值為．(1)若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時(shí)，摸出紅球次數(shù)為的概率）（ⅰ）完成下表；0123（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫出的值．(2)把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)