人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2教案　全冊

返修2-2―導(dǎo)致及其應(yīng)用目泰

變化率問題（新授課）

§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念（新授課）

§1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義（新授課）

§1.2.1兒個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（新授課）

§1.2.2第一課時：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及

導(dǎo)數(shù)的運算法則（新授課）

§1.2.2第二課時：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（新授課）

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時）（新授課）

§3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（2課時）（新授課）

§1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時）（新授課）

§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時）（新授課）

§1.5.1曲邊梯形的面積（新授課）

§1.5.2汽車行駛的路程（新授課）

§L5.3定積分的概念（新授課）

§L6微積分基本定理（新授課）

§1.7定積分的簡單應(yīng)用（兩課時）（新授課）

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、課程目標：

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了詳盡代數(shù)學(xué)過渡的新時期，

為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)、定積分都是微積分的核心概念，它們有極其豐

富的實際背景和廣泛應(yīng)用。在本章中，學(xué)生將通過大量實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫

現(xiàn)實問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用。學(xué)生還將

經(jīng)歷求曲邊梯形的面積、汽車行駛路程等實際問題的過程，初步了解定積分的概念，為以后進一步

學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會導(dǎo)數(shù)的思想極其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實

際問題中的作用，了解微積分的文化價值。

二、學(xué)習(xí)目標：

1、變化率與導(dǎo)數(shù)

（1）、通過分析實例，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知

道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。

（2）、通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2、導(dǎo)數(shù)的計算

（1）、能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=c,y==x2,y=X：＞==五的導(dǎo)數(shù)。

x

（2）、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單

的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（3）、會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

3、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

（1）、結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）、結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)球不超過三次

的多項函數(shù)的極大值、極小值。

4、生活中的優(yōu)化問題舉例

通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用。

5、定積分與微積分基本定理

（1）、通過實例，從問題情境中了解定積分的實際背景，借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初

步了解定積分的概念。

（2）、通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義。

（3）、應(yīng)用定積分解決一些簡單的兒何和物理問題。

6、數(shù)學(xué)文化

收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文

化發(fā)展中的意義和價值。

三、本章知識結(jié)構(gòu)

平均速度平均變化率割線斜率

瞬時速度瞬時變化率一切線斜率

導(dǎo)數(shù)

1t、

A

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)

公式導(dǎo)數(shù)運算法則*系與極（最）值的關(guān)系

微積分基本定理

曲邊梯形的面積變速直線運動的路程

/

、1/

定積分

定積分在幾何、物

理中的簡單應(yīng)用

四、課時安排：

1.1變化率與導(dǎo)數(shù)約4課時

1.2導(dǎo)數(shù)的計算約3課時

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用約4課時

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例約3課時

1.5定積分的概念約4課時

1.6微積分基本定理約2課時

1.7定積分的簡單應(yīng)用約2課時

§1.1.1變化率問題（新授課）

一、教學(xué)目標：

知識與技能：了解函數(shù)的平均變化率的概念，會求函數(shù)的平均變化率。

過程與方法：體會有特殊到一般的思維方法

情感、態(tài)度與價值觀：感受由平均變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程。

二、教學(xué)重點與難點：

重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率；

難點：平均變化率的概念.

三、教學(xué)過程：

（一）.創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，

產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：

1、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；

2、求曲線的切線；

3、求己知函數(shù)的最大值與最小值；

4、求長度、面積、體積和重心等。

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最

有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.

（二）.講授新課

1、提出問題

問題1:氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加

越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

氣球的體枳■（單位:￡）與半徑廠（單位:而t）之間的函數(shù)關(guān)系是憶（r）=

如果將半徑r表示為體枳V的函數(shù)，那么r（K）=

分析:《）=將,

（1）當V從0增加到1忖，氣球半徑增加了廠⑴一r（0）h0.62（力《）

氣球的平均膨脹率為*—,）?0.62（^ZZ）

（2）當V從1增加到2時，氣球半徑增加了"2）-尸⑴?0.16（而）

氣球的平均膨脹率為“2)T⑴?0.16(dmIL)

2—1

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考：當空氣容量從匕增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

/一匕

問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度〃(單位：⑼與起跳后的

時間，(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系〃(/)=-4.9f+6.5f+10.如何用運動員在某

些時間段內(nèi)的平均速v度粗略地描述其運動狀態(tài)？

思考計算：04/?0.5和14/?2的平均速度3

在0W，40.5這段時間里，v="(°")一"⑼.=4.05(掰/5)；

0.5-0

在14/42這段時間里，v="[⑴=-8,2(W/5)

探究：計算運動員在0M/K上■這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)g)=-4.9』+6.5什10的圖像，結(jié)合圖形可知，//(—)=A(0),

49

_/?(.Q)-/2(0)

所以v=———------=0(5/m),

奐-0

49

雖然運動員在OWf4墨這段時間里的平均速度為0(s/加)，但實際情況是運動員仍然運動，并非

靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

2、平均變化率概念：

(1).上述問題中的變化率可用式子」(?2)一”：人表示,稱為函數(shù)/(x)從占到叼的平均變化

率

(2).若設(shè)Ar=X2-X],V=/(X2)-/(陽)(這里Ax看作是對于X1的一個“增量”可用片+AX代

替也,同樣V=?=/(%2)一/(再))

(3)。則平均變化率為包=笠=/區(qū))-/(項)=/5+.)一/區(qū))

AxAxx2-x{Ax

思考：觀察函數(shù)/(x)的圖象

平均變化率竺=〃土匕”土)表示什么？

Axx2-x1

包

Ar

解：-2+Ay=—(―1+Ax)~+(―1+Ax),

.Ay_-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2

>?—―--------------------------=3—Ax

AxAx

例2.求y=》2在x=x0附近的平均變化率。

22

22

解：Ay=(x0+Ax)-x0,所以9=(x°+A.一%

AxAx

=宜*竺±因二二2x0+Ax

Ax

所以歹=，在x=x0附近的平均變化率為2%+Ax

(四).課堂練習(xí)

1.質(zhì)點運動規(guī)律為5=產(chǎn)+3,則在時間(3,3+△/)中相應(yīng)的平均速度為

2.物體按照6(。=3/+/+4的規(guī)律作直線運動，求在4s附近的平均變化率.

3.過曲線刑x)=f上兩點/(1,1)和0(1+Ax,l+Ay)作曲線的割線,求出當零x=0.1時割線的斜

(五).課時小結(jié)

1.平均變化率的概念2.函數(shù)在某點處附近的平均變化率

§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念（新授課）

一、教學(xué)目標：

知識與技能：

1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)

過程與方法：經(jīng)歷由實例抽象出導(dǎo)數(shù)概念的過程，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其

內(nèi)涵。

情感、態(tài)度與價值觀：經(jīng)歷山平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題問題的過程，感受導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實

問題中的應(yīng)用，初步認識導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價值。

二、教學(xué)重點與難點：

重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；

難點：導(dǎo)數(shù)的概念.

三、教學(xué)過程：

（一）.創(chuàng)設(shè)情景

1、復(fù)習(xí)提問：平均變化率

2、探究：計算運動員在04,4負這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)〃⑺=-4.9f+6.5什10的圖像，結(jié)合圖形可知，/?（竺）=/0）,

49

_〃（條（0）\h

所以v=——與------=0（s/加），

65八

雖然運動員在0Wf4j這段時間里的平均速度為0（s/m）,但實際情況

是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動

員的運動狀態(tài).

（二）.新課講授4~'----------------?

1.瞬時速度

我們把物體在某時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某?時刻的

瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，/=2時的瞬時速度是多少？考察z=2附

近的情況：

（引導(dǎo)學(xué)生觀察課本第4頁表格）

思考：當，趨近于0時，平均速度工有什么樣的變化趨勢？

結(jié)藝：當4趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速

度S都趨近于一個確定的值-13.1.

從物理的角度看，時間|加|間隔無限變小時，平均速度;就無限趨近于史的瞬時速度，因此，

運動員在/=2時的瞬時速度是-

為了表述方便，我們用lim"2+加)-"2)=-13.1

A，fOAz

表示“當/=2,。趨近于。時，平均速度u趨近于定值

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似

值過渡到瞬時速度的精確值。

2.導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)產(chǎn)次X)在X-Xo處的瞬時變化率是：

lim/U+Ax)-2u)=limv

Ax->oAx-Ax

我們稱它為函數(shù)歹=/(x)在x=x()出的導(dǎo)數(shù)，記作/(%)或1,即

八%)=lim+―

心—°Ax

說明：(1)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在廣沏處的瞬時變化率

(2)Ax=x-x,當Axf0時，x—>x,所以/'(工0)=lim"-"飛’

00Ar—>0%—%

(三).典例分析

例1.(1)求函數(shù)戶37在x=l處的導(dǎo)數(shù).

分析：先求△戶+Ax)3(l)=6AX+(AX)2

再求AL=6+Ar再求lim^=6

Ax.f0Ax

解：法一定義法(略)

3x2-3-123(x2-I2)

法二：y'\,=lim—~=~—=lim3(x+l)=6

—x-1x-\i

(2)求函數(shù)/(x)=-i+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù).

解：包=-(-…+C=3…

ArAr

"/r—(-1+Ax)~+(-1+Ax)-2「人人、2

/(-1)=lim—=-----------------------=hm(3-Ax)=3

?T0AYAr'一。

例2.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第x/z

時,原油的溫度(單位：°C)為/(x)=x2—7X+15(04XK8),計算第2/z時和第6。時，原油

溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

解：在第2〃時和第6/?n寸，原油溫度的瞬時變化率就是/(2)和/'(6)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，V^/(2+Ax)-/(x0)

AxAx

(2+Ax)2-7(2+Ar)+15-(22-7x2+15),.

Ax

所以八2)=lim"=lim(Ax-3)=-3

同理可得：/'(6)=5

在第2〃時和第6〃時，原油溫度的瞬時變化率分別為-3和5,說明在2。附近，原油溫度大約

以3X7%的速率下降，在第6/z附近，原油溫度大約以50的速率上升.

§1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義(新授課)

一、教學(xué)目標：

知識與技能：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程。

過程與方法：經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)過程，感受極限思想，體會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線

方程的方法，體會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析圖像上點的變化情況的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)與曲線的聯(lián)系，初步認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，發(fā)展

理性思維能力。

二、教學(xué)重點與難點

重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

三、教學(xué)過程：

(-).創(chuàng)設(shè)情景

復(fù)習(xí)提問：1、平均變化率、割線的斜率

2、瞬時速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=/(x)在x=x()處的瞬時變化率，反映了函數(shù)利x)在AXO附近的變化

情況，導(dǎo)數(shù)/'(%)的兒何意義是什么呢？

(二).新課講授

1、曲線的切線及切線的斜率:觀察課本第7頁圖1.1-2,當P“(x”,/(%?))(?=1,2,3,4)沿著曲線/(x)

趨近于點P(x0,./'(x0))時，割線PP?的變化趨勢是什么？

我們可以發(fā)現(xiàn)，當點匕沿著曲線無限接近點P即Ax-0時，割線尸，趨近于確定的位置，這個確

定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.

問題：⑴割線尸々的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？

⑵切線P7的斜率上為多少？

容易知道，割線PP?的斜率是k?=八％)二"X。)，當點匕沿著曲線無限接近點P時，k?無限

趨近于切線PT的斜率k,即左=lim/氏十')=,至=八x0)

A—。Ax

說明：(1)設(shè)切線的傾斜角為a,那么當Ax-0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率.

這個概念：①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在x=/處的導(dǎo)數(shù).

(2)曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.

如有極限，則在此點有切線，且切線是唯?的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線，并不一定與

曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y寸x)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(x0,/'(Xo))處的切線的斜率，

即，'(%)=lim/二/(%)=k

°VfOAx

說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:

①求出尸點的坐標；

②求出函數(shù)在點/處的變化率/'(X。)=lim"x°+一八/)=k,得到曲線在點

心Ax

(x0,/(x0))的切線的斜率；

③利用點斜式求切線方程.

3、導(dǎo)函數(shù)：

由函數(shù)/(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當時，/"(X。)是一個確定的數(shù)，那么，當x變化時,

便是x的一個函數(shù)，我們叫它為人的的導(dǎo)函數(shù).記作：/'(X)或了，

即：/⑴=y，=lim/三領(lǐng)―

-Ax

注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).

4、函數(shù)/(x)在點5處的導(dǎo)數(shù)/'(%)、導(dǎo)函數(shù)/'(X)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

(1)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)/'(X。)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它

是一個常數(shù)，不是變數(shù)。

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)

(3)函數(shù)/(x)在點/處的導(dǎo)數(shù)/(%)就是導(dǎo)函數(shù)/'(x)在x=x0處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點

玉)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。

(三).典例分析

例1:(1)求曲線y=危)=,+1在點尸(1,2)處的切線方程.

(2)求函數(shù)產(chǎn)3$在點(1,3)處的切線方程.

M-、r[(1+ZLX)2+1]-(12+1)2Ar+ZLx2。

解：⑴/f|L_.=lim------———-----=hm---------=2,

-AxAx

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為歹-2=2。-1)即2x—y=0

3%2-3-123(x2-I2)

(2)因為yi-=lim3~—=lim———=lim3(x+l)=6

所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y-3=6(x—1)即6x—y—3=0

例2.如圖課本第8頁圖1.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)

/z(x)=-4.9x2+6.5x+10,根據(jù)圖像，請描述、比較曲線力⑺在/°、％、與附近的變化情況.

解：我們用曲線,")在"、4、4處的切線，刻畫曲線人?)在上述三個時刻附近的變化情況.

(1)當1=九時，曲線力?)在九處的切線/。平行于》軸，所以，在，=辦附近曲線比較平坦，兒

乎沒有升降.

(2)當"4時，曲線//⑺在4處的切線人的斜率/&)<(),所以，在/=%附近曲線下降，即函

數(shù)加x)=-4.9/+6.5x+10在/=4附近單調(diào)遞減.

(3)當t=/2時.，曲線力⑺在％處的切線12的斜率"色)<0,所以，在，=?2附近曲線下降，即

函數(shù)〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在f=芍附近單調(diào)遞減.

從圖3.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線4的傾斜程度，這說明曲線在4附近比在工2附近

下降的緩慢.

例3.如圖課本第9頁圖1.1-4,它表示人體血管中藥物濃度，=/“）（單位：加g/ml）隨時間

/（單位：min）變化的圖象.根據(jù)圖像，估計/=0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時

變化率（精確到0.1）.

解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度/（/）在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看,

它表示曲線/⑺在此點處的切線的斜率.

如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物

濃度瞬時變化率的近似值.

作/=0.8處的切線，并在切線上去兩點，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,則它的斜率為：

0.48-0.91

k-

1.0-0.7

所以/'（0.8）?！?.4

卜表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:

t0.20.40.60.8

藥物濃度瞬時變化率/‘（力0.40-0.7-1.4

（四）.課堂練習(xí)

1.求曲線y=J（x）=x3在點（1,1）處的切線;

2.求曲線y=4在點（4,2）處的切線.

（五）.課時小結(jié)

1.曲線的切線及切線的斜率;

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

§1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（新授課）

一、教學(xué)目標：

知識與技能：能夠用導(dǎo)數(shù)的定義求幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會利用它們解決簡單的問題。

過程與方法：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，進一步體會導(dǎo)數(shù)與物理知識之間的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用

煮識

三、%學(xué)重點與難點：

重點：五種常見函數(shù)y=c、y=x、丁=》2、y=y=4的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

難點：五種常見函數(shù)y=c、y=x、y=x2y=—y=&的導(dǎo)數(shù)公式

x

三、教學(xué)過程：

(一).創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的

瞬時速度.那么，對于函數(shù)歹=/(x),如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，所以求導(dǎo)數(shù)

總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這

一單元我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(二).新課講授

1.函數(shù)y=/(x)=C的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因為包

AxAxAx

所以j/=lim—=lim0=0

ArAv->o

了=0表示函數(shù)y=c圖像上每一點處的切線的斜率都為0.若y=c表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則

y=o可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0,即物體一直處于靜止狀態(tài).

2.函數(shù)歹=/(x)=x的導(dǎo)數(shù)

因為包=/(x+Ax)-/(x)=X+Ax-X=]

AxAxAx

所以V=lim—=lim1=1

AY-?OAr-

y=i表示函數(shù)v=x圖像上每一點處的切線的斜率都為i.若丁=》表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則

V=i可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.

3.函數(shù)y=/(x)=V的導(dǎo)數(shù)

毋/(x+Ax)-/(x)(x+Ax)2-%2

因為—=----------------=-------------

AxAxAx

x2+2xAx+(Ax)2-x2「

=------------------------=2x+Ax

Ax

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

AXTOA.AXTO

了=2》表示函數(shù)歹=/圖像上點(》))處的切線的斜率都為2工，說明隨著x的變化，切線的斜率

也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當x<0時，隨著x的增

加，函數(shù)y=減少得越來越慢；當x>0時，隨著x的增加，函數(shù)y=/增加得越來越快.若>=%2

表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則了=2x可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2x.

4.函數(shù)丁=八對二^1■的導(dǎo)數(shù)

X

11

因為"=/(x+Ar)-/(x)=X+AJX

AxArAr

_x-(x4-Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以y'=lim—=lim(——；~!----)=--V

-Axx4-x-Zkrx

5.函數(shù)y=/*)=&的導(dǎo)數(shù)

因為包=/(x+Ar)-/(x)=Jx+Ar

AxAxAx

_(Jx+Ax-VX)(A/X+Ax+Vx)_(x+Ax)-x

Ar(Jx+Ar+Vx)Ax(Jx+Ax+Vx)

所以y'=lim包=lim/1——產(chǎn)=」=

——Vx+Ax+Vx2sjx

推廣：若y=f（x）=x\neQ）,則/'（x）=nx"~l

（三）.課堂練習(xí)：課本P13探究，P14探究

（四）.課時小結(jié)：

（五）.布置作業(yè)：習(xí)題1.2第1題

四、課后反思

§1.2.2第一課時：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及

導(dǎo)數(shù)的運算法則（新授課）

一、教學(xué)目標：

知識與技能：能利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

過程與方法：掌握運用導(dǎo)數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式來求導(dǎo)數(shù)的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過利用導(dǎo)數(shù)方法解決實際問題的過程，體會導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值,

提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、教學(xué)重點與難點：

重點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

難點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用

三、教學(xué)過程：

(-).創(chuàng)設(shè)情景

復(fù)習(xí)：五種常見函數(shù)y=c、y=x、9y=L、夕=石的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

x

(二).新課講授

1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=/(x)=x"(〃e。*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-Ina(a>0)

y=/(x)=e*y=ex

/(x)=log“X/(x)=log?xf(x)=(a>0月4x1)

xlna

1

/(x)=Inx/(')=

X

2、導(dǎo)數(shù)的運算法則

導(dǎo)數(shù)運算法則

[/(x)±g(x)]=/(x)±g'(x)

2."(x)?g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

r(x)g(x)-/u)g(x)

3.0)

[g(x)]

推論:[cf（x）]=cf\x）（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

（三）.典例分析

例1.假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價p（單位：元）與時間/（單位:

年）有如下函數(shù)關(guān)系p?）=Po（l+5%）',其中Po為7=0時的物價.假定某種商品的p0=l，那么

在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）?

解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有p'（/）=L05'lnL05

所以方（10）=1.051°In1.05a0.08（元/年）

因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲.

例2.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）y=x3-2x+3

,、11

（3）y=x*sinx-\nx；

x

(4)

4

1-lnx

(5)y=--------?

“1+lnx

(6)y=(.2x2-5x+l)-ex；

sinx-xcosx

(7)

y=-c-o--s-x--+--x--s:—inx

解：⑴y=(x3-2x+3)=(x3),-(2x)+(3),=3x2-2,

y—3x2—2o

⑺:/i、?，i、?(1+五)’(1-4)'

i_i

_______

(1+Vx)"(1—Vx)2

4=[-—

2y/x(1+Vx)2(1-Vx)

1(1+4)2+(1一五)2

(1-x)2

_(l+x)Vx

x(l-x)2

(l+x)Vx

F

(3)y=(x-sinx-lnx)=[(x-lnx)-sinx]

=(x-lnx)?sinx+(x?Inx)-(sinx)

=(1-Inx+x?—)-sinx+(x?Inx)?cosx

x

=sinx+Inx?sinx+x-Inx-cosx

=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

xxxx

/./X、，x-4-x-(4)1.4-x-4ln4l-xln4

(4)y=(—)=----------7^-=------------------=-----------

XX2

4(4*)2(4)4、

,l-xln4

1

/_、,1—Inx?2、,_.1、,_Y2

(5)y=z(------)x=(-1+--------)=2(--------)=2——~-

1+lnx1+lnx1+lnx(1+lnx)'x(l+lnx)2

2

y=-------------

x(l+Inx)2

(6)y=(2x2—5x+1),e*+(2x“—5x+1),(e")

=(4x-5)-eY+(2x2-5x4-1)-ev=(2x2-x-4)-e\

y=(2x~-x—4),€X?

,sinx-xcosx.

⑺y=(z------------)

cosx+xsinx

(sinx-xcosx)-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)?(cosx+xsinx)

一(/cosx+xsi?nX?)2

(cosx-cosx+xsinx)-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)-(-sinx+sinx+xcosx)

(cosx+xsinx)2

xsinx?(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)?xcosx

(cosx+xsinx)2

X2?_X2

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)2

【點評】

①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實行的.

②求較復(fù)雜的函數(shù)枳、商的導(dǎo)數(shù)，必須細心、耐心.

例3、日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已

知將1噸水凈化到純凈度為X%時所需費用(單位：元)為

5284

c(x)=-----(80<x<100)

100-x

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：(1)90%(2)98%

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

.、/5284.5284'x(100-%)-5284x(100-x)

c(x)=(-----)=-----------------；----------

100-x(100-x)2

0x(100-x)—5284x(-1)_5284

(100-x)2(100-x)2

(1)因為c(90)=,=52.84,所以，純凈度為90%時，費用的瞬時變化率是

(100-90)2

52.84元/噸.

(2)因為c(98)=—~7=1321,所以，純凈度為98%時，費用的瞬時變化率是

(100-90)2

1321元/噸.

函數(shù)/(x)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.山上述計算可知,

c(98)=25c(90).它表示純凈度為98%左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為90%左

右時凈化費用的瞬時變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈

化費用增加的速度也越快.

(四).課堂練習(xí)：L課本練習(xí)1

2.已知曲線C：y=3x4-2x3-9f+4,求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；

(y=-12x+8)

(五).課時小結(jié)：

(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

(2)導(dǎo)數(shù)的運算法則

(六).布置作業(yè)：習(xí)題1.2A組4(1)(2)(3)

四、課后反思：

§1.2.2第二課時：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（新授課）

一、教學(xué)目標

知識與能力：理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

過程與方法：掌握運用導(dǎo)數(shù)的運算法則和導(dǎo)數(shù)公式來求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：體會導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、教學(xué)重點與難點：

重點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間

變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積.

難點：正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確.

三、教學(xué)過程

（-）.創(chuàng)設(shè)情景，復(fù)習(xí)引入

1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表（學(xué)生填表）

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=f(x)=x\neQ*)y=nxn~'

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-Ina(a>0)

y=f(x)=e"y=ex

1*

/(x)=logX，(x)=logM/'(x)=(a>0且awl)

axlna

1

f(x)=Inx=

2、導(dǎo)數(shù)的運算法則

導(dǎo)數(shù)運算法則

1.[/(x)±g(x)]=/(x)±g'(x)

2.[.fM-g。)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

F/Wl一/'(x)g(x)—/(x)g'(x)//、

3.I/\I—r12

|_g(x)」[g(X)]

推論：[bXx)[="7x)(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

(二).新課講授

復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y=和M=g(x),如果通過變量〃，N可以

表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=和〃=g(X)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/(g(x))。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)歹=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/Q)和“=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系

為y：=y：，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于歹對“的導(dǎo)數(shù)與"對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

若y=/(g(x)),則/=[/(g(x))J=/〈g(x)).g，(x)

(三).典例分析

例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=(2x+3)2；(2)y=e405x+i；

(3)y=sin(^x+(p)(其中肛。均為常數(shù)).

解：(1)函數(shù)歹=(2x+3)2可以看作函數(shù)歹=〃2和〃=2x+3的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

法則有

2

y'x=匕'-w/=(w)(2x+3)=4〃=8x+12。

(2)函數(shù)y=e4°5x”可以看作函數(shù)y=e"和〃=一0.05%+1的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

法則有

x/=x/-w/=(ew)'(-0.05x4-1)'=—0.005e"=-0.005e-0°5x+1°

(3)函數(shù)y=sin(〃x+O)可以看作函數(shù)y=sinw和〃=兀x+(p的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)法則有

=匕'?u：=(sinu)(TTX+0)=冗cosw=TCCOS(TTX+cp)。

例2、求.=sin(tanx2)的導(dǎo)數(shù).

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx1)-sec2(x2)-2x

=2xcos(tanx2)-sec2(x2)

y=2xcos(tanx2)?sec2(x2)

[點評]

求金合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，山外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo),

直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化筒計算結(jié)果.

例3、求.=J的導(dǎo)數(shù).

Vx2-2ax

1~2/、2x-2a

1Tx-2ax—/

解：y=--------------------2?！?/p>

『-2ax

_-a2_a2ylx2-2ax

x2-2axy/x2-2ax(*-2ax)2

a1yjx1-lax

(x2-2ax)2

【點評】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理.

例4、求歹=sin4x+COSS；的導(dǎo)數(shù).

【解法-1y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2—2sin2cos2x=1——sin22x

131

=1——(1-cos4x)=—F—cos4x.y1=—sin4x.

444

【解法二】，=(sin4x)/+(cos4x)/=4sin3x(sinx)/+4cos3x(cosx))

=4sincosx+4cos(—sinx)=4sinxcosx(sin2x—cos2x)

=-2sin2xcos2x=-sin4x

【點評】

解法?是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運算，要注意變形準確.解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)

注意不漏步.

例5、曲線y=x(x+1)(2-x)有兩條平行于直線歹=x的切線，求此二切線之間的距離.

【解】y=—x3+x2+2xyf=~3x2+2x+2

1

令y'=1即3#o—2x—1=0,解得x=——或x=1.

3

114

于是切點為尸(1,2),Q

327

過點尸的切線方程為，y-2=x-1即x-y+1=0.

顯然兩切線間的距離等于點0到此切線的距離，故所求距離為

一3727第，

(四).課堂練習(xí)

win2Y2、

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(l)y二sinx'+sinbx；(2)y=----;(3)logfl(x-2)

2x-l

2.求ln(2/+3x+l)的導(dǎo)數(shù)

(五).課時小結(jié)：

1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

2、運用導(dǎo)數(shù)的運算法則和導(dǎo)數(shù)公式來求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。

(六).布置作業(yè)：習(xí)題1.2A組5、6

四、課后反思

§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時）（新授課）

一、教學(xué)目標：

知識與技能：借助與函數(shù)的圖像了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

過程與方法：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過實例探究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的過程，體會知識間的相互關(guān)系和

運動變化的觀點，提高理性思維能力。

二、教學(xué)重點與難點：

重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

難點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

三、教學(xué)過程：

（-）.課題引入

函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與

慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的.通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的

變化規(guī)律有一個基本的了解.下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的

作用.

（二）.新課講授

1.提出問題：觀察課本22頁圖1.3-1

（1）,它表示跳水運動中高度〃隨時間，變化的函數(shù)〃?）=-4.9/+6.5/+10的圖像，

（2）表示高臺跳水運動員的速度n隨時間t變化的函數(shù)火力=〃。）=-9.8/+6.5的圖像.

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）、運動員從起點到最高點，離水面的高度〃隨時間/的增加而增加，即以，）是增函數(shù).相應(yīng)地,

v（Z）=h（t）>0.

（2）、從最高點到入水，運動員離水面的高度力隨時間，的增加而減少，即人（。是減函數(shù).相應(yīng)地,

v(Z)=/?(/)<0.

2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

觀察下面課本23頁圖1.3-2函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系.

如圖，導(dǎo)數(shù)/(七)表示函數(shù)/(x)在點(X。，％)處的切線的斜率.

在x=x()處，/(xo)>O,切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)/(x)在/附近單調(diào)遞增；

在x=M處，/(/)<0,切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)/(x)在