高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)基本方法基本學(xué)法(文科)

高中數(shù)學(xué)

基本知識(shí)?基本思想?基本方法

?基本學(xué)法

主■編劉福生

2006年

高中數(shù)學(xué)

基本知識(shí)?基本思想?基本方法

一、集合與簡易邏輯

1.必須弄清集合的元素是什么，是函

數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變

量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…；

2.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方

法，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直

角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的

代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，

然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；

3.一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵要看能

否判斷真假，陳述句、反詰問句都是

命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都

不是命題；

4.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù).

原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，

逆命題與其否命題是等價(jià)命題，一

真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真

假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命

題的真假；

5.判斷命題充要條件的三種方法：（1）

定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系

判斷，若AC,則A是B的充分條件

或B是A的必要條件；若A=B,則A

是B的充要條件；（3）等價(jià)法：即利

用等價(jià)關(guān)系”AEOXA判斷，對(duì)于條件或

結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，

一般運(yùn)用等價(jià)法；

6.(1)含n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)

為2、真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為2n

-1;

(2)

(3)C;(AUB)=C,AflC,B,C,(AflB)=C,A^C,B-

二、函數(shù)：研究函數(shù)的問題一定要注

意定義域優(yōu)先的原則.

L復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知

f(x)的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)Wb

解出即可；若已知f[g(x)]的定義域?yàn)?/p>

[a,b],求f(x)的定義域,相當(dāng)于x￡[a,b]

時(shí)，求g(x)的值域(即f(x)的定義域)

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”

判定；

2.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(一

X)二〃|x|)；

(2)定義域含零的奇函數(shù)必過原點(diǎn)

(可用于求參數(shù))；

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)

形式：f(x)±f(-x)=O或"(f(x)WO);

/(x)

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，

應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性；

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相

同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)

間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)

⑴證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖

像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)

的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；

(2)證明圖像G與C2的對(duì)稱性，即

證明G上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱

軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然；

(3)曲線Ci：f(x,y)=O,關(guān)于y=x+a(y=

—x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y—

a,x+a)=O(或f(—y+a,—x+a)=O);

(4)曲線Ci：f(x,y)=O關(guān)于點(diǎn)(a,b)

的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a—x,2b—

y)=o；

(5)若函數(shù)y=f(x)對(duì)x￡R時(shí)，

f(a+x)=f(a—x)恒成立,則y=f(x)圖像

關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

(6)函數(shù)y=f(x—a)與y=f(b—x)的圖

像關(guān)于直線x二學(xué)對(duì)稱；

4.函數(shù)的周期性

(l)y=f(x)對(duì)x￡R時(shí)，f(x+a)=f(x—a)

或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立，則

y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)

于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2

Ia|的周期函數(shù)；

(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于

直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4|a

I的周期函數(shù)；

(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,O),(b,O)對(duì)稱，

則f(x)是周期為2|”司的周期函數(shù)；

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a

Wb)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)是周期為2\a-b\

的周期函數(shù)；

(6)y=f(x)對(duì)x￡R時(shí)，f(x+a)=—

f(x)(或f(x+a)=__L,則y=f(x)是周期

,f(x)

為2同的周期函數(shù)；

5.方程k=f(x)有解=k￡D(D為f(x)的

值域)；

6.a2f(x)=a2[f(x)]max,;aWf(x)

=aW[f(X)]min；

n+

7.(1)log。b=loga?b(a>0,aWl,b>0,n￡R);

(2)1ogN=i^(a>0,aWl,b>0,bW

'alogia

1)；

(3)logab的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”

記憶；

(4)a,0§aN=N(a>0,aWl,N>0);

8.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)

性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性.

9.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn):

(DA中元素必須都有象且唯一;(2)

B中元素不一定都有原象，并且A中

不同元素在B中可以有相同的象；

10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)

論：(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反

函數(shù)；(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函

數(shù)；(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己?/p>

數(shù)不存在反函數(shù)；(4)周期函數(shù)不存

在反函數(shù)；(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函

數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5)y=f(x)與

y=fi(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域

為A,值域?yàn)锽,則有f[fi(x)]=x(x￡

B),f1[f(x)]=x(xeA).

11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)

合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，

求最值問題用“兩看法”：一看開口

方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)

位置關(guān)系；

12.恒成立問題的處理方法：(1)分離

參數(shù)法；(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的

根的分布列不等式(組)求解；

13.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間

上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范

圍問題：

一、，(ae0-，(aHO

/(〃)=g(x)u+h(x)20(或WOXaWuWb)O“(b巨0(個(gè)f(bH0)；

aC

14.掌握函數(shù)=a+^-(b-ac^O)-,y=x+-(c>0)的

x+cx+cX

圖象和性質(zhì);

y=-ax-+h=a-\-b--a-c

函a.八、

x+cx+cy=x+—X(a>07

(b-acNO)

數(shù)

定

義(-00,-c)U(c,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)

域

值(一8M)5。,+0°)(-oo,-u[2,x/^,+oo)

域

奇

偶

非奇非偶奇函數(shù)

性

函數(shù)

當(dāng)b-ac>0在

時(shí)：(-oo,-Va],[Va,+oo)H.

單分別在單調(diào)遞增；

(-00-c),(c,+oo)在[-瘋0),(0,上

調(diào)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；

當(dāng)b-ac<0

性時(shí)：

分別在

(-00,一c),(c,+oo)_E1

單調(diào)遞增；

1.由Sn求ama={^（rt：1）注意驗(yàn)

nS">2,neN）

證由是否包含在后面的公式中，

若不符合要單獨(dú)列出.一般已知條件

中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考

慮用上述公式；

2.等差數(shù)列

{4}oafl=d（d為常數(shù)）<=>2an=an+x+an_^n>2,nEN*）

2

0c1n=+bo=An+Bn；

3.等比數(shù)列

nl

{ajoa；=3^-an+1（n>2,neN）?an=a,-q;

4.首項(xiàng)為正（或?yàn)樨?fù)）的遞減（或遞

增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或

最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式

憶:軻：口解決；

5.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)

公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列

前n項(xiàng)和公式時(shí),勿忘分類討論思想；

6.等差數(shù)列中，a=a+（n—m）d,小9;

mnm-n

等比數(shù)列中…產(chǎn)amqmm；q=p；

7.當(dāng)m+n=p+q（m>n>p>q￡N*）

時(shí)，對(duì)等差數(shù)列｛an｝有：am+an=ap+aq；

對(duì)等比數(shù)列｛an｝有:aman=apaq；

8.若｛a，、｛6｝是等差數(shù)列，則

｛kan+bbn｝（k>b、a是非零常數(shù)）是等

差數(shù)列；若｛an｝、｛bn｝是等比數(shù)列,則

｛ka^、但口及｝等也是等比數(shù)列;

9.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等

的連續(xù)等長片斷和序列”（如

^1+^2+^3^4+^5+^6^7+^8+^9**?）仍是等

差（或等比）數(shù)列；

10.對(duì)等差數(shù)列｛an｝，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，

S偶S奇=nd；

項(xiàng)數(shù)為2n—1時(shí)，S奇一S偶

=a中（n￡N*）；

11.若一階線性遞歸數(shù)列a^kan-j+b（k

W0,kWl），則總可以將其改寫變形成

如下形式:上）（nN2）,于是可

k-1k-1

依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公

式；

四、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全

正，二正弦，三是切，四余弦；

2.對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，

符號(hào)看象限”概括；

3.記住同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟

練掌握三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)；

①倒數(shù)關(guān)系：tanacotcr=1

②商數(shù)關(guān)系：^=tana;*=cota.

cosasincr

③平方關(guān)系：sin為+cos2a=1

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、

倍公式，正余弦定理，處理三角形內(nèi)

的三角函數(shù)問題勿忘三內(nèi)角和等于

180°,般用正余弦定理實(shí)施邊角互

化.

①cos（a

土力）=cosacos力+sincasing

（2）sin（cr±0）=sinacos0±cososin4

③…二m

sin2a=2sin?coscr

（5）cos2a=cos%-sin26z=1-2sin2a=2cos2?-1

_2tan6z

tan2a=....-

?1-tana

⑦sin技1-cos2aa1+cos2a

2,cos—=-----------

222

sina

⑨.積化和差公式

sin改os尸=—[sin(a+/7)+sin(?-尸)]

2

coscffiin夕=-[sin(cr+4)-sin(a一夕)]

2

sinosin.=——[cos(a+/?)-cos(?-尸)]

2

cosacos夕=[cos(cr+0+cos(a-/)]

a+Ba-B

sin?+sin/?=2sin------cos------

22

⑩.和差化積公式

a+B.cc—B

sina-sin/?=2cos------sin......-

22

a+Ba-B

cosa+cos尸=2cos-------cos------

22

a+B.(X—B

cosa-cosy?=-2sin------sm------

22

11.萬能公式

i,2a

2tan-1-tan

.a2a

sin—=-----------?cos—______2_

2i,,2a2i,2a'

1+tan1+tan

22

?

2tana

a

tan—=2

21—tan

2

5.正弦型函數(shù)y=Asin(6wx+°)的對(duì)稱軸為

-El二對(duì)稱中心為匕工。)《3；

類似可得余弦函數(shù)型的對(duì)稱軸和對(duì)

稱中心；

注：圖像變換易錯(cuò)點(diǎn)：

y=sint()xfy=sin(Gx+°)(平移—)

CD

6.(1)正弦平方差公式：sin2A—

sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角

形的內(nèi)切圓半徑r=4；(3)三角形

a+b+c

的外接圓直徑a_b_c

2R=sinAsinBsinC'

五、平面向量

1.兩個(gè)向量平行的充要條件，設(shè)

a=(xi,yi),b=(X2,y2?為實(shí)數(shù).(D向量

式：a〃b(bWO)oa3b;(2)坐標(biāo)式:

a/7b(b^0)ox1y2—x2yx=0;

2.兩個(gè)向量垂直的充要條件，設(shè)

a=(xBy1),b=(x2,y2),(1)向量式：a

_Lb(bN0)oa?b=0;(2)坐標(biāo)式：a

±box1x2+yiy2=0;

3.設(shè)a=(xi,y)b=(x2,y2),則

a*b=ppcos^=xiX2+yiy25^^

a.b等于a的長度與b在a的方向上

的投影的乘積；

4.設(shè)A(xbx2)>B(x2,y2)，則S/AOB=

272Ml9

5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：

(1)若a=(xi,y)b=(x2j2),則

2

卜J(x-x)2；

a.b=xix2+yiy2;|AByl2+(j]-y2)

(2)若a=(x,y),則

222____

a=a>a=x+y麗=7777；

六、不等式

1.掌握不等式性質(zhì)，注意使用條件；

2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、

絕對(duì)值不等式、簡單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不

等式）的解法，尤其注意用分類討論

的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸

標(biāo)根法，零點(diǎn)分區(qū)間法；

3.掌握用均值不等式求最值的方法，

在使用a+b22Ha>0,b>0）時(shí)要符合

“一正二定三相等”；注意均值不等

式的一些變形，如>（叱尸；M4（3）2；

222

七、直線和圓的方程

直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式：

y-y0=k（x—x°）斜截式：y=kx+b；兩點(diǎn)

截距式：二白1,一般式：

ab

Ax+By+C=0(A2+B2wO)

圓的方程：

標(biāo)準(zhǔn)式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

一般式:x?+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

參數(shù)式:[x=a+rcos6g為參數(shù))

y=b+rsm3

L設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（、,yD、

B（X2j2）、c（X3,y3）,則/ABC的重心

G為（%+x?+%4+%+%）；

3'3'

2.直線h：AiX+Biy+C產(chǎn)0與12:

A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是

AiAz+BiB2=。;

3.兩條平行線Ax+By+Cx=O與

Ax+By+C=0的距離是八至與；

2yjA2+B2

4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓

的充要條件：A=CW0且B=0且

D2+E2-4AF>0；

5.過圓x2+y2=/上的點(diǎn)M（x（）,yo）的切

2

線方程為：x0x+y0y=r;

6.以A（xi，y。、B（X2,y2）為直徑的圓的

方程是（x—XiNx—xaHG—yLKy-

yzAO；

7.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）

根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等

式；(2)作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù);

(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從

而獲得最優(yōu)解；

八、圓錐曲線方程

L橢圓焦半徑公式：設(shè)P(xo,yo)為

橢圓(a>b>0)上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)

a-h

為FI(?C,0),F2(C,0),則附|=。+倏,忸叫"(e

為離心率)；

2.雙曲線焦半徑公式：設(shè)P(x0,yo)

為雙曲線Ui(a>0,b>0)上任一點(diǎn),

a2b2

焦點(diǎn)為FiGc,O)H(c,O),則:

(1)當(dāng)P點(diǎn)在右支上時(shí)，

|「制=a+ex0,\PF2\=-a+%；

(2)當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，

|PF1|=-a-exn,\PF2\=a-ex0,(e為離心率)；

另：雙曲線..(a>0,b>0)的

a2b2

漸進(jìn)線方程為

a2b2

3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P(x0,y。)

為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)

為焦點(diǎn)，則|PF|="0+多y2=2px(p<0)±

任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，貝!J|P個(gè)-%+力

4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解

題；

5.共漸近線一1的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

a

小馬山為參數(shù)，/WO);

a2h-

6.計(jì)算焦點(diǎn)弦長可利用上面的焦半徑

公式，

一般地，若斜率為k的直線被圓錐

曲線所截得的弦為AB,A、B兩點(diǎn)

分別為A(xi，yx)>B(x2,y2)，則弦長

|AB|=Jl+Y.|x2-x,|=)(1+，)］區(qū)+々)2-4占々］

=J"},|乃-W=J。+*)?［(%+丫2)2—4必力］,

注：這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)

而不求”的解題思想；

7.橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為空a,

焦準(zhǔn)距為拋C物線的通徑為2p,

焦準(zhǔn)距為p;雙曲線之a(chǎn)24b2I(a>0,b>0)

的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b;

8.中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢

圓，雙曲線方程可設(shè)為AX2+BX2=1；

9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦(過焦

點(diǎn)F的弦)為AB,A(xbyx)>B(x2,y2),

則有如下結(jié)論：(1)M=xi+x2+p；(2)

yiy2=—p2,XIX2=AL；

⑶高+白二.(4)|AB|=普(a是直線

|FA||FB|psin

AB的傾斜角)

10.過橢圓事a2金b?2(a>b>0)左焦點(diǎn)的焦

點(diǎn)弦為AB,則\AB\=2a+e(x]+x2),過右焦點(diǎn)

的弦\AB\=2a-e(X]+x2)；

11.對(duì)于y2=2px(pW0)拋物線上的點(diǎn)的

坐標(biāo)可設(shè)為(手，y°),以簡化計(jì)算；

12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中

點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A(xi，y。、

B(x2j2)為橢圓(a>b>0)上不同

ab

的兩點(diǎn)，M(xo,y°)是AB的中點(diǎn)，貝!J

KABKOM=-(；對(duì)于雙曲線匚匚1(a>0,

a-b~

b>0),類似可得：KAB?KOM=(；對(duì)于

a~

y2=2px(pW0)拋物線有KAB=^

%+為

13.求軌跡的常用方法：

(1)直接法：直接通過建立x、y之

間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)=O,是求軌跡

的最基本的方法；步驟為：建(建系)

設(shè)(設(shè)點(diǎn))現(xiàn)(將動(dòng)點(diǎn)M滿足的等量

關(guān)系列出)代(將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入上

述等量關(guān)系)化(將等式化簡).最后

要檢驗(yàn)純粹性.

(2)待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)

過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可

先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再

由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的

方程即可；

(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法)：

若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(xi,yi)

的變化而變化，并且Q(xi,y。又在某

已知日線上，則可先用x、y的代數(shù)

式表示Xi、yi，再將Xi、yi帶入已知

曲線得要求的軌跡方程；

(4)定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的

軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由

曲線的定義直接寫出方程；

(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)

之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相

關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用

一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方

程，再消去參數(shù)得普通方程.

九、直線、平面、簡單幾何體

L從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、

OC,若NAOB=NAOC,則點(diǎn)A在

平面NBOC上的射影在NBOC的平

分線上；

2.已知:直二面角M—AB—N中，AE

uM,BFuN,NEABj,NABF=%,

異面直線AE與BF所成的角為則

cos6=cos4cos/；

3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成

的角是、AC在平面內(nèi)，AC和AB

的射影AB成％,設(shè)NBAC-則

cos仇cos%=cos%;

4.異面直線所成角的求法：

(1)平移法：在異面直線中的一條

直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平

行線；

(2)補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉

的或完整的幾何體，如正方體、平行

六面體、長方體等，其目的在于容易

發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；

5.直線與平面所成的角

斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角

形的銳角，它的三條邊分別是平面的

垂線段、斜線段及斜線段在平面上的

射影.通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作

出平面的垂線段，垂足和斜足的連

線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；

6?二面角的求法

(1)定義法：直接在二面角的棱上

取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平

面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定

義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；

(2)三垂線法：已知二面角其中一

個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂

線定理或逆定理作出二面角的平面

角；

(3)垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到

兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與

兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平

面角，由此可知，二面角的平面角所

在的平面與棱垂直；

(4)射影法：利用面積射影公式S射

=3原8§夕,其中，為平面角的大小，此

方法不必在圖形中畫出平面角；

特別:對(duì)于一類沒有給出棱的二面

角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交

出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法(尤其

要考慮射影法).

7.空間距離的求法

(1)兩異面直線間的距離，高考要

求是給出公垂線，所以一般先利用垂

直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；

(2)求點(diǎn)到直線的距離，一般用三

垂線定理作出垂線再求解；

(3)求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂

面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因

此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二.

是用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為線面距,三是用等

體積法.不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱

錐的高，利用等體積法列方程求解；

8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相

等，記為09貝1flM.cos6=S底；

9.已知:長方體的體對(duì)角線與過同一頂

點(diǎn)的三條棱所成的角分別為“因此

有CoLe+cosZ/j+CoJ尸1;若長方體的體

對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的

角分別為a,/3,y,則有

222f

COSa+cosZ?+COSz=2;

10.正方體和長方體的外接球的直徑

等與其體對(duì)角線長；

1L歐拉公式：如果簡單多面體的頂點(diǎn)

數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+F

-E=2；并且棱數(shù)后=各頂點(diǎn)連著的

棱數(shù)和的一半=各面邊數(shù)和的一半；

12?球的體積公式表面積公式

s.4成2；掌握球面上兩點(diǎn)A、B間的距

離求法：(1)計(jì)算線段AB的長，(2)

計(jì)算球心角NAOB的弧度數(shù)；(3)用

弧長公式計(jì)算劣弧AB的長；

十、排列組合和概率

1.排列數(shù)公式:A=n(n-l)(n-2)???(n-m

+l)=7^(mWn,m、n￡N*),當(dāng)m=n時(shí)

為全排列A：=n(n?l)(n.2)…3.2.1;

2?組合數(shù)公式：c："』=-1)…(…-1)(m

"mlw—1)?—2)???3?2?1

Wn),c：=c；=i；

3.組合數(shù)性質(zhì)：C：=c,3+C3=以；

4.常用性質(zhì):n.n!=(n+l)!-n!;BP

*=A,；—+」+…+C；=C；：；;

(IWrWn);

5.二項(xiàng)式定理：(1)掌握二項(xiàng)展開式

的通項(xiàng)：丁川=C；a"W(r=0，l，2，?“，〃)；

(2)注意第r+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與第

r+1系數(shù)的區(qū)別；

6.二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì)：

(1)與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)

相等；

(2)若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)(第之+1

項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若n為奇數(shù),

中間兩項(xiàng)(第等和一+1項(xiàng))的二項(xiàng)

式系數(shù)最大；

(3)c：+c：+c"..+c：=2"￡+c"..=c：+c"..=2"T；

7.F(x)=(ax+b)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和

為f(l);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為^[/(1)-/(-1)15

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g"(l)+/(T)]；

8.概率：

(1)等可能事件的概率公式：P(A)

9

rn

(2)互斥事件分別發(fā)生的概率公式

為：P(A+B)=P(A)+P(B)；

(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

公式為P(AB)=P(A)P(B)；

(4)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式

Pn(k)=C,"(l-p)i；

⑸如果事件A、B互斥，那么事件A

與八才與方及事件彳與方也都是互斥

事件；

(6)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

事件A、B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率

是：

1-P(AB)=1-P(A)P(B)；

(6)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是:

1-P(A.B)=—P⑴P⑴；

文科選修內(nèi)容基本知識(shí)

十一、抽樣方法、總體分布的估計(jì)與

總體的期望和方差

1.掌握抽樣的二種方法：（1）簡單隨

機(jī)抽樣（包括抽簽符和隨機(jī)數(shù)表法）;

（2）分層抽樣，常用于某個(gè)總體由

差異明顯的幾部分組成的情形；

2.總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體,

是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方

法，一般地，樣本容量越大，這種估

計(jì)就越精確，要求能畫出頻率分布表

和頻率分布直方圖；

3.總體特征數(shù)的估計(jì)：（1）學(xué)會(huì)用樣

本平均數(shù)4…+…力/去估計(jì)總體平

nn

均數(shù)；（2）學(xué)會(huì)用樣本方差

52=-[（x,-x）2+（x-x）2+.??+（%?-x）2]

n2

」￡區(qū)-方,-港）去估計(jì)總體方差，及總

〃/=inJ=i

體標(biāo)準(zhǔn)差；（2）學(xué)會(huì)用修正的樣本方

方差小會(huì)用s*去估計(jì)T

十一導(dǎo)數(shù)乃應(yīng)用

1.魄的定義：f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)

記作小.=f'(x0)=[m"x°+、)7(x。);

2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)步

驟為：

(1)求函數(shù)的增量Ay=/(x+Ax)-f(x);

⑵求平均變化率包=/(x+Ar)-/(x)?

AxAx

(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)小小包;

Ax

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f(x)在

點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是八%).

相應(yīng)地，切線方程是y-y0=f'M(x-x0\

4.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

(7=0?為常數(shù))；(*"7=11?-'」(111€(2)；

5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函

數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某

個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果八＞0,那么f(x)為

增函數(shù);如果八…那么f(X)為減函數(shù);

如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有")=0,那么f(X)

為常數(shù)；

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①求導(dǎo)

數(shù)八X)；②求方程r(x)=o的根；③檢驗(yàn)人)

在方程八)=。根的左右的符號(hào)，如果左

正右負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處

取得最大值；如果左負(fù)右正，那么函

數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得最小值；

(3)求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步

驟：①求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；②

將y=f(x)在各極值點(diǎn)的極值與f(a)、

f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大

值，最小的一個(gè)是最小值.

中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想

一、函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)

和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，

從而解決問題的一種思維方式，是很重

要的數(shù)學(xué)思想.

1.函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相

互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并

研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解

決問題，這就是函數(shù)思想；

2.應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的

函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下

面兩個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之

間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的

函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利

用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題；（3）方程

思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)

一些要求，確定某些變量的值，這時(shí)常

常列出這些變量的方程或（方程組），

通過解方程（或方程組）求出它們，這

就是方程思想；

3.函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)

學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程

的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，

很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法

的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，

形成了函數(shù)方程思想.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想

方法之一，對(duì)于所研究的代數(shù)問題，有

時(shí)可研究其對(duì)應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得

以解決（以形助數(shù)）；或者對(duì)于所研究

的幾何問題，可借助于對(duì)應(yīng)圖形的數(shù)量

關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這

種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合.

L數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)

揮形的生動(dòng)性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路

的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)

長避短.

2.恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是

研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式

的科學(xué)”.這就是說：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的

本質(zhì)特征，宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和

形的和諧的統(tǒng)一.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出

數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)

的精髓和靈魂.

3.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)

反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何

圖形的性質(zhì).

4.華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺性時(shí)少直

觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好,

隔裂分家萬事非.”數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)

學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：

或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些

屬性，或者借助于形的幾何直觀性來闡

明數(shù)之間的某種關(guān)系.

5.把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在

解析幾何中，歷年高考的解答題都有關(guān)

于這個(gè)方面的考查(即用代數(shù)方法研究

幾何問題).而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在

高考客觀題中體現(xiàn).

6.我們要抓住以下幾點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的解題

要領(lǐng)：

(1)對(duì)于研究距離、角或面積的問題，

可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

(2)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最

值)的問題，可通過函數(shù)的圖象求解(函

數(shù)的零點(diǎn)，頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn))，作好知識(shí)

的遷移與綜合運(yùn)用；

(3)對(duì)于以下類型的問題需要注意：

(1)7(%a)2+(yb)2-,(2)y~a-O)Ax+By-(4)F(cos^,sin^);(5)a2+ab+b2;可

x-h

分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截

距函數(shù)、單位圓x?+y2=l上的點(diǎn)(cossin。)及

余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的.

三、分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，

當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就

需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每

一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最

終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.

1.有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分

類討論思想來解決，引起分類討論的原

因大致可歸納為如下幾種：

(1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；

(2)運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算

性質(zhì)、法則是分類給出的；

(3)求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情

況或多種可能性；

(4)數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參

變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；

(5)較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需

要采取分類討論的解題策略來解決的.

2.分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)

學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用.根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可

以有不同的分類方法，但分類必須從同

一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，

包含各種情況，同時(shí)要有利于問題研究.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

所謂化歸思想方法，就是在研究和解決

有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題

通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一

種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變

化轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解問題通過

變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決

的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有

1.通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問題，把已

知元素和未知元素聚集在一個(gè)平面內(nèi)，

實(shí)現(xiàn)點(diǎn)線、線線、線面、面面位置關(guān)系

的轉(zhuǎn)化；

2.平移和射影，通過平移或射影達(dá)到將

立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化未知

為已知的目的；

3.等積與割補(bǔ)；

4.類比和聯(lián)想；

5.曲與直的轉(zhuǎn)化；

6.體積比，面積比，長度比的轉(zhuǎn)化；

7.解析幾何本身的創(chuàng)建過程就是“數(shù)”

與“形”之間互相轉(zhuǎn)化的過程.解析幾何

把數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象數(shù)量關(guān)系與幾

何圖形聯(lián)系起來，把代數(shù)與幾何融合為

一體.

中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法

1.配方法

配方法是指將一代數(shù)形式變形成

一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式平方的形式，其基本

形式是：ax2+bx+c~+—…?高考

中常見的基本配方形式有：

(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+

2ab;

(2)a2+b2+ab=(.+*+(亭爐；

(3)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2

ac-2be;

(4)a2+b2+c2-ab-be-ac=

|[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2];

(5)x~+4=(x+—)~—2W

%-x

配方法主要適用于與二次項(xiàng)有關(guān)

的函數(shù)、方程、等式、不等式的討論，

求解與證明及二次曲線的討論.

2.待定系數(shù)法

㈠待定系數(shù)法是把具有某種確定性時(shí)

的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系

數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決.待定系數(shù)法的

主要理論依據(jù)是：

(1)多項(xiàng)式f(x)=g(x)的充要條件是：

對(duì)于任意一個(gè)值a,都有f(a)=g(a);

(2)多項(xiàng)式f(x)三g(x)的充要條件是:

兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等；

㈡運(yùn)用待定系數(shù)法的步驟是：

(1)確定所給問題含待定系數(shù)的解析

式(或曲線方程等)；

(2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定

系數(shù)的方程；

(3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使

問題得到解決；

㈢待定系數(shù)法主要適用于：求函數(shù)的

解析式，求曲線的方程，因式分解等.

換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的

變量代替原來的某些變量(或代數(shù)式),

對(duì)新的變量求出結(jié)果之后，返回去求原

變量的結(jié)果.換元法通過引入新的元素

將分散的條件聯(lián)系起來，或者把隱含的

條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系

起來，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}.其理論根據(jù)

是等量代換.高中數(shù)學(xué)中換元法主要有

以下兩類：

(1)整體換元：以“元”換“式々

(2)三角換元，以“式”換“元”；

(3)此外，還有對(duì)稱換元、均值換元、

萬能換元等；換元法應(yīng)用比較廣泛.如解

方程，解不等式，證明不等式，求函數(shù)

的值域，求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，另外在

解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用換元

法解題時(shí)要注意新元的約束條件和整

體置換的策略.

4,向量法

向量法是運(yùn)用向量知識(shí)解決問題

的一種方法，解題常用下列知識(shí)：

(1)向量的幾何表示，兩個(gè)向量共線

的充要條件；(2)平面向量基本定理及

其理論；

(3)利用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、

角度和垂直的問題；

(4)兩點(diǎn)間距離公式、線段的定比分

點(diǎn)公式、平移公式；

5.分析法、綜合法

(1)分析法是從所求證的結(jié)果出發(fā)，

逐步推出能使它成立的條件，直至已知

的事實(shí)為止；分析法是一種“執(zhí)果索因”

的直接證法.

(2)綜合法是從已經(jīng)證明的結(jié)論、公

式出發(fā)，逐步推出所要求證的結(jié)論.綜合

法是一種“由因?qū)Ч保瑪⑹隽鲿车闹?/p>

接證法

(3)分析法、綜合法是證明數(shù)學(xué)問題

的兩大最基本的方法.分析法“執(zhí)果索

因”的分析方法，思路清晰，容易找到

解題路子，但書寫格式要求較高，不容

易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常

交替使用.分析法、綜合法應(yīng)用很廣，

幾乎所有題都可以用這兩個(gè)方法來解.

6.反證法

反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方

法，因?yàn)槊}p與它的否定非p的真假

相反，所以要證一個(gè)命題為真，只要證

它的否定為假即可.這種從證明矛盾命

題(即命題的否定)為假進(jìn)而證明命題

為真的證明方法叫做反證法.

㈠反證法證明的一般步驟是：

(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，

即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

(2)歸謬：從命題的條件和所作的結(jié)

論出發(fā)，經(jīng)過正確的推理論證，得出矛盾

的結(jié)果.

（3）基論：有矛盾判定假設(shè)不正確，

從而肯定的結(jié)論正確；

㈡反證法的適用范圍：（1）已知條件

很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少

時(shí)的命題；

（2）結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、

更簡單的命題，特別是結(jié)論是否定形式

（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的

命題；（3）涉及各種無限結(jié)論的命題；

（4）以“最多（少）、若干個(gè)”為結(jié)論

的命題；（5）存在性命題；（6）唯一性

命題；（7）某些定理的逆定理；

（8）一般關(guān)系不明確或難于直接證明

的不等式等.

㈢反證法的邏輯依據(jù)是“矛盾律”和

“排中律”.

7.另外:還有數(shù)學(xué)歸納法、同一法、整體

代換法

高中數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)

一、嶄新的數(shù)學(xué)觀：

1988—1991年，我國數(shù)學(xué)家群體兩

次云集南開大學(xué)，召開了世人關(guān)注的

“二十一世紀(jì)中國數(shù)學(xué)展望學(xué)術(shù)討論

會(huì)。國家自然科學(xué)基金會(huì)向大會(huì)的報(bào)

告中明確指出：“今天可以說，數(shù)學(xué)是

關(guān)于模式和秩序的科學(xué)”.

1.什么是數(shù)學(xué)模式？

數(shù)學(xué)中的所有定義、定理、公式、

法則、原理和具體方法（如待定系數(shù)法,

數(shù)學(xué)歸納法等）都是數(shù)學(xué)模式.

2.什么是數(shù)學(xué)秩序？

秩序就是有條理，不混亂.

數(shù)學(xué)秩序指的是①數(shù)學(xué)理論是有數(shù)

學(xué)模式組成的一個(gè)邏輯有序的系統(tǒng)結(jié)

構(gòu)，即數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體.②數(shù)學(xué)中

每個(gè)問題的解決，只能是從已知到目標(biāo)

的一系列邏輯推理、演算的有序過程.

二、數(shù)學(xué)認(rèn)知三角形：

1.數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化：知識(shí)的內(nèi)化是數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)的起點(diǎn).知識(shí)的內(nèi)化要做到：了解

知識(shí)的發(fā)生過程，把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)特

征，弄清知識(shí)適用的條件，掌握知識(shí)

的本質(zhì)和功能,并且能了解該知識(shí)點(diǎn)

在這一章乃至在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中的地

位和作用.

2.數(shù)學(xué)技能的形成：數(shù)學(xué)技能是順利

完成數(shù)學(xué)任務(wù)的一種活動(dòng)方式或心智

活動(dòng)方式.技能的形成要經(jīng)歷…規(guī)范

化…熟練化…自動(dòng)化三個(gè)步驟.

3.經(jīng)驗(yàn)，思想，觀念的獲得：要獲得經(jīng)

驗(yàn)思想觀念，一要有強(qiáng)烈的“收獲意

識(shí)只

二只有通過不斷的反思.

4.智力參與：在以上的三個(gè)環(huán)節(jié)中要積

極主動(dòng)地參與到活動(dòng)中去，不斷提高

各環(huán)節(jié)的效率.

5.在認(rèn)知三角形中，三個(gè)頂點(diǎn)和中心是

相輔相成的一個(gè)整體.

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)四步通法：

1.確認(rèn)問題：要弄清楚問題的條件、

目標(biāo)和性質(zhì).

2.探索發(fā)現(xiàn)：主動(dòng)參與解決問題途徑

的探索，力爭自己獨(dú)立解決這個(gè)問題.

3.交流對(duì)比：勇敢地參與交流吧；聽

十遍不如自己講一遍.

4.反思評(píng)價(jià)：在交流對(duì)比的過程中或

過程后，對(duì)別人的和自己的發(fā)現(xiàn)和體

會(huì)進(jìn)行反思、評(píng)價(jià)，捕捉有用的觀念

和思想，找出其中的不足和問題，是

使認(rèn)識(shí)深化所必需的.

特別說明的是:反思要抓住重點(diǎn).

如對(duì)問題解決來說，要反思：

①解法能不能進(jìn)一步簡化；

②能不能找到更好的解法？

③能不能講問題推而廣之.

大數(shù)學(xué)家希爾伯特在問題解決之后經(jīng)

常做這種反思，

讓我們也來體驗(yàn)其中的奧秘吧！

高二數(shù)學(xué)組全體教師

預(yù)祝同學(xué)們?cè)?月份的數(shù)學(xué)會(huì)考中取得

優(yōu)異成績！

預(yù)祝同學(xué)們?cè)?007年的數(shù)學(xué)高考中取

得優(yōu)異成績，

實(shí)現(xiàn)金榜題名的夢(mèng)想！

2006年4月

天津市2003年8月高中畢業(yè)會(huì)考數(shù)學(xué)

試卷

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題：本大題共20個(gè)小題，每

小題2分，共40分.在每小題給出的

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

(1)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合

A={-2,-1,0},集合8={0,1,2}9則(CL,A)U

5等于

(A){-2,-1}(B){1,2}(C){0,1,2}

(D){-2,-1,1,2}

(2)s彳的值等于

6

(A)-1(B)力(C)1

222

(D)旦

2

(3)函數(shù)y=tan2x,xeR且了工工+幺(AeZ)的最

42

小正周期是

(A)王(B)工

42

(C)TC(D)2兀

(4)函數(shù)八優(yōu)Q>1)的圖象大致是

(5)準(zhǔn)線方程是戶—2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程是

222

(A)y-4x(B)y-8x(C)x-4y

(D)/=8y

(6)橢圓)+的離心率，等于

4

(A)1(B)3(C)

24

旦(D)與

22

(7)在下列方程所表示的曲線中，關(guān)

于x軸、,軸都對(duì)稱的是

(A)x+y=0

22

(B)x-2x+y=0

(C)f

(D)3/_5y2-]

(8)已知＞0,則一+3的最小值為

X

(A)4(B)7(C)

8(D)11

(9)若?=(4,2),b=(6,〃7)，且不_L

B，貝h的值是

(A)一12(B)-3

(C)3(D)12

(10)為了得到函數(shù)-x￡R的圖

象，只需把函數(shù)y=3cos(2x+y)9x￡R的圖象

上所有的點(diǎn)

(A)向左平行移動(dòng)？個(gè)單位長度

(B)向右平行移動(dòng)晟個(gè)單位長度

(C)向左平行移動(dòng)器個(gè)單位長度

(D)向右平行移動(dòng)器個(gè)單位長度

(11)函數(shù)片/Q20)的反函數(shù)是

(A)yfQNO)(B)…QNO)

(C)Q2O(D)y=MQ2O)

(12)函數(shù))，=71og2(x-3)的定義域是

(A)x>3(B)3VxW4

(C)A>4(D),24

(13)從5名男生和3名女生中選出3

人參加某項(xiàng)活動(dòng)，如果選出的3人中既

有男生又有女生，則不同的選法有

(A)30種(B)45種(C)

56種(D)90種

(14)已知tana=3,tanJ3=2,貝Jtan(a-￡)的值等于

(A)1(B)1

7

(C)-1(D)」

5

(15)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

(A)f[x)-x3+x

(B)/(x)-2x+\

(C)f(x)-x'-lx

(D)〃x)=F

l-x

(16)若一個(gè)球的體積擴(kuò)大到原來的27

倍，則球的表面積擴(kuò)大到原來的

(A)3倍(B)36倍

(C)9倍(D)孑倍

(17)空間兩條直線人，互相平行的一

個(gè)充分條件是

(A)「乙都平行于同一個(gè)平面

(B)乙，與同一個(gè)平面所成的角相等

(C)人平行于乙所在的平面

(D)㈠乙都垂直于同一個(gè)平面

(18)已知月V，若X>1,則下

x~+1X+1

列結(jié)論正確的是

(A)b<a<1

(B)a<b<l

(C)b<1<a

(D)l<a<b

(19)若兩條直線Ax-y+2k+1=0和x+2y—4=0

的交點(diǎn)在第四象限，貝限的取值

范圍是

(A)—6<<2

(B),>1

(C)——人V0

(D)-1<.<-1

26

(20)已知函數(shù)f(x)=-a(l-x)+ax9其中〃>0,

若/⑺在OWiWl上的最小值記為g⑷，則

g⑷的最大值等于

(A)0(B)1

(C)a(D)1

門舞］漕(非選擇題共60芬)

3題翱本頁密封線內(nèi)的項(xiàng)目和

魯受海(黑)色鋼筆或圓珠

二、填空題：本大題共6個(gè)

小題，每小題3分,共18

分，請(qǐng)將答案填在題中橫

線上.

(21)已知『2,3),―,則2方一3的坐

標(biāo)為.

(22)已知等比數(shù)列｛%｝中，.&公比

則該數(shù)列的第5項(xiàng)％的值等

于.

(23)在△樹中，已知-60、則a的

值等于.

(24)若直線(m-l)x+y=4m-1與直線2x-3y=5互

相平行，則加的值

為.

（25）若四面體?胸的棱長均為3,則

點(diǎn)P到平面做的距離等

于.

（26）用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組

成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其

中偶數(shù)有個(gè)

（用數(shù)字作答）.

三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共42

分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或

推理過程.

（27）（本小題滿分8分）

aG（卷,2萬）9試求（I）sin2a

的值；（II）sm（Y）的值.

4

評(píng)

卷

(28)(本小題滿分8分)

人

解不等式丁代+1＞。.

X--8x+12

評(píng)

得

卷

分(29)(本小題滿分8分)

在等差數(shù)列｛%｝中，a5=10,a%=31,

試求(I)%與公差”；(II)該數(shù)

列的前18項(xiàng)的和兀的值.

(本小題滿分8分)

如圖，在正方體ABCD—4B|C|Z)|中，棱AX

E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),

(I)求證：EF1BD、；號(hào)____________Ci

(II)求二面角用一爐"南辛?^1勺

正切值；!\/\

(III)求三棱錐…防的核磔

AEB

(31)（本小題滿分10分）

已知點(diǎn)小B分別為雙曲線的兩個(gè)

焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（I）求以。為圓心，以線段底為

直徑的圓。的方程；

di）若一條直線,與圓。相切，并

與雙曲線交于八8兩點(diǎn)，有定點(diǎn)C,其

坐標(biāo)為

(0,-2),當(dāng)?shù)拿娣e為加時(shí)，求

直線/的方程.

天津市2004年6月高中畢業(yè)會(huì)考數(shù)學(xué)

試卷

第I卷(選擇題共40分)

一、選擇題：本大題共20個(gè)小題，每

小題2分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

(1)設(shè)全集U={a,b,c,d,e,

f},集合A={〃，c,d},B={b,d,

e},

則AUS)等于

(A){a,c}

(B){〃，c,d}

(C){a9c,f)

(D){a,c9d,f}

(2)4小的值等于

(A)1(B)-1

22

(C)2(D)一直

22

(3)函數(shù)y=cos2x9xGR.的最小正周

期是

(A)四(B)兀

2

(C)2兀(D)4兀

(4)函數(shù)的定義域是

x-\x\

(A)(—8,+OO)

(B)(-OO,0)U(0,+8)

(C)(一8,0)

(D)(0,+°°)

(5)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與直線

2x一3),+1=0平行的直線的方程是

(A)2x_3y—l=0

(B)3x+2y-8=0

(C)2x_3y+4=0

(D)3x+2y-7=0

(6)拋物線的準(zhǔn)線方程是

(A)X=-2(B)X=2

(C)x=-4(D)x=4

(7)雙曲線的焦距是

(A)vis(B)2V15

(C)5(D)10

(8)為了得到函數(shù)y=2sina+9…eR的圖

4

象，只需將函數(shù)y-2sinx,xGR的

圖象上的所有點(diǎn)

(A)向左平行移動(dòng):個(gè)單位長

度(B)向右平行移動(dòng);個(gè)單位長度

(C)向左平行移動(dòng)與個(gè)單位長

度(D)向右平行移動(dòng)5個(gè)單位長度

(9)不等式一120表示的平面區(qū)

域(陰影部分)是

(B)

(C)

(D)

(10)已知z=(2,3),%=(-1,

0),則4H的坐標(biāo)為

(A)(5,12)(B)(12,

5)(C)(4,9)(D)(9,4)

(11)函數(shù)y=1sinxI，xeR

(A)是奇函數(shù)

(B)是偶函數(shù)

(C)既不是奇函數(shù)也不是偶

函數(shù)(D)有無奇偶性不能確

定

(12)若〃>5,則下列不等式中一

定成立的是

(A)1a<1b(B)%a(C)

2">2〃(D)lg(a-fe)>0

(13)若a=19b=0.8、c=0.8。*，貝!J〃、〃、

c的大小關(guān)系是

(A)b<c<a(B)a<b

<c(C)c<b<a(D)a<c

<b

(14)不等式-IVO的解集是

x-4

(A){xI—1<X<1}

(B){xI-2<x<2}

(C){xI—2,或一IVx

<1,或x>2}

(D){xI-2<x<-l,或1

<x<2}

(15)若八八/表示平面，m>n

表示直線，則下列命題為真命題的是

(A)若機(jī)ua,n5,m//n

〃萬,則a〃1

(B)若貝(Ja〃/

(C)若a〃尸,/flua,RuB,貝|J

m//n

(D)若a〃尸,則加〃尸

(16)如圖,在正方體ABCD^G

B、/

中，P為棱4笈的A|

中點(diǎn)，則AP與即所在直線

角的余弦值等于APB

(A)g(B)半(C)l(D)

V5

而

4J§La>Be(0,—),

(17)已知sina考,cos/?=->

2

則sin(a+0)的值等于

(A)迪(B)如

1010

(C)±(D)竺

5050

(18)已知I%I=3,IbI=4,

且(a+b)-(a+3b)=33,貝!J)與B的夾角為

(A)150°(B)120°

(C)60°(D)30°

(19)如果將3,5,8三個(gè)數(shù)各加上

同一個(gè)常數(shù)，得到三個(gè)新的數(shù)

組成一個(gè)等比數(shù)列，那么這個(gè)

等比數(shù)列的公比等于

(A)|(B)1

(C)I