第02講 二次根式的性質(zhì)（2）與二次根式的乘除（解析版）

第02講二次根式與二次根式的性質(zhì)（1）1.2（2）-1.3（1）【學習目標】掌握二次根式積的性質(zhì)和商的性質(zhì)；2、了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進行化簡；3、掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進行二次根式的乘除運算?！净A(chǔ)知識】一、二次根式的性質(zhì)：1.（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.2.（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.二、最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分數(shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.三、二次根式的乘法1.法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點：(1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數(shù)).(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.四、二次根式的除法1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除..要點：(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.【考點剖析】考點1：最簡二次根式的概念例1．下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．A：是最簡二次根式，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．例2．下列根式，，，，，中，最簡二次根式的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．6個 D．5個【答案】A【解析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．解：符合最簡二次根式的條件；=2，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式；=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；=，被開方數(shù)含分母；不是最簡二次根式；符合最簡二次根式的條件；=，被開方數(shù)含分母；不是最簡二次根式；因此只有，兩個符合條件．故本題選擇A．考點2：最簡二次根式的化簡1-數(shù)字型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例3．化簡：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)進行化簡即可．解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．化簡：（1）＝______；（2）﹣＝______．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答．解：=，，故答案為：，．【點睛】此題考查了二次根式的化簡，掌握最簡二次根式的定義：不含分母，不含能再開方的因式或因數(shù)，是解題的關(guān)鍵．考點3：最簡二次根式的化簡2-含字母型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例5．把下列二次根式化成最簡二次根式：(1).(2).(3).(4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法和除法法則化簡即可.解：(1).(2).(3).(4).【點睛】本題考查了二次根式的化簡，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握化簡的方法是關(guān)鍵.例6．當時，化簡：_______；_______；_______．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡．根據(jù)二次根式的意義，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據(jù)二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據(jù)二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=．故答案是：；；．【點睛】本題考查二次根式的化簡，需要注意化簡的時候要考慮字母的取值范圍，注意符號的變化．考點4：最簡二次根式的形式例7．若二次根式是最簡二次根式，則最小的整數(shù)______.【答案】－1.【解析】【分析】先確定a的范圍，再根據(jù)最簡二次根式的概念即可得出答案.解：∵，∴.當a取最小整數(shù)－1時，，是最簡二次根式，所以最小的整數(shù)－1.故答案為－1.【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和最簡二次根式的定義，熟知概念是解題的關(guān)鍵.例8．若和都是最簡二次根式，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可.根據(jù)題意得：解得∴【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．考點5：最簡二次根式的化簡3-復合型例9．把下列各式化成最簡二次根式：；

；；

；；

．【答案】；；；；；．【解析】【分析】（1）先將帶分數(shù)化為分數(shù)再開方．（2）直接開方再分母有理化；（3）直接開方即可．（4）將小數(shù)化為分數(shù)后再開方．（5）通分后再開方．（6）通分后再開方，然后再分母有理化．解：（1）原式==；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，難度不大，注意要耐心運算，否則很容易出錯．例10．已知a<0，那么可化簡為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件、分式有意義的條件和二次根式有意義的條件求出b的取值范圍，然后根據(jù)二次根式的乘除法公式化簡即可．解：由題意可知：解得：b＞0∴===故選D．【點睛】此題考查的是二次根式的化簡，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件和二次根式的乘除法公式是解決此題的關(guān)鍵．例11．已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)最簡二次根式的定義即可化簡.解：由題意可知，y<0，則=，故選擇A.【點睛】掌握最簡二次根式的定義和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.例12．化簡：（1）=_________，（2）=___________．【答案】

【解析】【分析】（1）將二次根式化為最簡二次根式，再進行化簡運算即可；（2）將二次根式化為最簡二次根式，再進行化簡運算即可；（1）原式=（2）原式=故答案為:,【點睛】本題考查最簡二次根式和二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點6：二次根式的乘法1-數(shù)字型例13．計算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計算即可．原式．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式乘法法則：算術(shù)平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術(shù)平方根．例14．計算：＝_________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．考點7：二次根式的乘法2-字母型及復合型例15．計算：__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法進行求解即可．解：；故答案為：【點睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．例16．下列計算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項：，計算錯誤，故與題意不符；B選項：，計算步驟有誤，故與題意不符;C選項：，計算錯誤，故與題意不符；D選項：＝=5，計算正確，故與題意相符.故選D.例17．計算（2）（）的結(jié)果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式進行計算即可．解：（2）（）故選B．【點睛】本題考查的是利用平方差公式進行二次根式的乘法運算，掌握公式特點是解題的關(guān)鍵．考點8：二次根式的乘法法則成立的條件例18．要使等式成立的x的值為（

）A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不對【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及二次根式的乘法進行分析即可得答案.∵，∴或，∴x=-2或x=3，又∵，∴x=3，故選B.【點睛】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.考點9：二次根式的除法1-數(shù)字型例19．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】用二次根式除法法則計算即可．解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的除法，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次根式除法法則，準確進行計算．例20．計算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的除法運算計算得出即可．解：．故答案為：3．【點睛】本題主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握運算的法則是解題的關(guān)鍵．例21．計算：÷＝_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計算即可求解．解：，故答案為：2．【點睛】本題考查了二次根式的除法運算，熟知二次根式的除法法則是解題關(guān)鍵．考點10：二次根式除法法則成立的條件例22．能使成立的x的取值范圍是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)，且分式的分母不能為0，列不等式組求出x的取值范圍即可．由題意可得：，解得：x＞2．故選D．【點睛】二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不為0，是本題確定取值范圍的主要依據(jù)．例23．使等式成立的條件時，則的取值范圍為___．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意義的條件可得再解不等式組即可得到答案.解：等式成立，由①得：由②得：所以則的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查的是商的算術(shù)平方根的運算法則與二次根式有意義的條件，掌握“”是解本題的關(guān)鍵.例24．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序號）．【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及運算法則逐項分析即可．①時原式成立，否則不成立，如：，故不一定；②一定成立，因為成立時，一定滿足；③當時，，故一定成立；④當成立時，，則，故一定成立；故答案為：②③④．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及乘除遠算法則，熟練掌握基本性質(zhì)計算法則是解題關(guān)鍵．考點11：二次根式的除法2-字母型及復合型例25．計算：＝____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則解決此題．解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次根式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的除法法則．例26．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法運算法則計算即可；原式；故答案是：；【點睛】本題主要考查了二次根式的除法法則，準確計算是解題的關(guān)鍵．例27．計算：_________．【答案】x【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計算即可．解：===x．【點睛】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．二次根式相除，把系數(shù)相除作為商的系數(shù)，被開方數(shù)相除，作為商的被開方數(shù)，并化為最簡二次根式．例28．計算：=______

=______【答案】

24

【解析】【分析】運用積的乘方的逆運算：(ab)n=anbn，把寫成，再先算乘方再算乘法；按從左到右的順序運算．解：==3×23=3×8=24解：==故答案為：24，【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，解決問題的關(guān)鍵是掌握正確的運算順序．例29．當時，化簡_________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的定義和除法的性質(zhì)可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后計算二次根式的除法即可得．由二次根式的定義得：，，，又除法運算的除數(shù)不能為0，，，則故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的定義與除法運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．考點12：二次根式的乘除法1-數(shù)字型例30．下列運算錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的運算性質(zhì)分別運算后即可確定錯誤的選項，從而確定正確的答案．解：、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，故原式錯誤，符合題意，故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是了解二次根式的有關(guān)的運算性質(zhì)，難度不大．例31．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算即可完成．故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，注意運算順序不要出錯．考點13：二次根式的乘除法2-字母型及復合型例32．下列結(jié)論中，對于實數(shù)、，成立的個數(shù)有（

）①；

②；

③；

④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件結(jié)合二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)逐一分析四條結(jié)論的正誤，由此即可得出結(jié)論．①當a、b均為負時，、無意義，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．綜上可知：成立的結(jié)論有②④．故選C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘除法以及二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例33．計算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡求出即可．原式．故選：A【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．例34．計算：（1）（2）（3）（4）（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法運算法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（5）根據(jù)二次根式的乘除法混合運算法則計算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待．例35．計算:（1）;（2）;（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，主要考查學生的化簡能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．考點36：二次根式乘除的應(yīng)用例36．若一個長方體的長為，寬為，高為，則它的體積為_______．【答案】12【解析】【分析】直接根據(jù)長方體體積公式求解可得．∵長方體的長為，寬為，高為∴長方體的體積=故答案為：12【點睛】本題考查求長方體的體積，注意正方體的體積求法與長方體類似，為棱長×棱長×棱長．例37．站在豎直高度的地方，看見的水平距離是，它們近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山頂，那么他看到的水平距離是________.【答案】160【解析】【分析】把h=2000代入公式進行即可.解：把h=2000代入公式得所以答案是：160.【點睛】本題考查了二次根式的計算.熟練掌握二次根式的性質(zhì)是運算的關(guān)鍵.例38．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則的值是___________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)的取值范圍得出a，b的值進而求出即可．解：∵，的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，∴a=1，b=∴故答案為：【點睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，得出a，b的值是解題關(guān)鍵．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．【詳解】A、被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、是有理數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開方數(shù)不能再開方．2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結(jié)果為2．【詳解】解：＝2，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關(guān)鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進行化簡．3．（2021·湖南益陽·中考真題）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式，，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關(guān)鍵．4．（2021·四川綿陽·中考真題）計算的結(jié)果是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由題意化簡為最簡二次根式后依據(jù)二次根式的乘法運算法則進行運算即可得出答案.【詳解】解：故選：D.【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，熟練掌握二次根式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵.5．（2013·海南·中考真題）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)運算的法則對各選項進行逐一計算作出判斷．【詳解】解：A、，是無理數(shù)，故本選項錯誤；B、，是無理數(shù)，故本選項錯誤；C、，是有理數(shù)，故本選項正確；D、，是無理數(shù)，故本選項錯誤．故選C．6．（2020·山東聊城·中考真題）計算的結(jié)果正確的是（

）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2018·四川綿陽·中考真題）等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出的范圍．【詳解】由題意可知：,解得：,故選：．【點睛】考查二次根式的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式有意義的條件.二、填空題8．（2018·河北·中考真題）計算：=_____．【答案】2【分析】先計算被開方數(shù)，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算可得．【詳解】==2，故答案為2．【點睛】本題考查了二次根式的化簡以及算術(shù)平方根，熟練掌握二次根式化簡的方法以及算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山西·中考真題）計算的結(jié)果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法則計算得出答案．【詳解】解：原式＝＝＝3．故答案為：3．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．10．（2010·江蘇南京·中考真題）計算：__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘法進行求解即可．【詳解】解：；故答案為：【點睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．11．（2015·江蘇南京·中考真題）計算的結(jié)果是_________．【答案】5．【詳解】.故答案為5.12．（2022·天津·中考真題）計算的結(jié)果等于___________．【答案】18【分析】根據(jù)平方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：18．【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的展開式是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·遼寧阜新·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法兩種運算，且有括號，按照運算順序，先算括號里的加法，再算除法，最后代入計算即可．【詳解】原式當時，原式．【點睛】本題是分式的化簡求值題，考查了二次根式的混合運算，二次根式的除法等知識，化簡時要注意運算順序，求值時，最后結(jié)果的分母中不允許含有二次根式．【過關(guān)檢測】一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進行逐一化簡即可判斷．【詳解】，故選項錯誤，不符合題意；，故選項錯誤，不符合題意；，故選項正確，符合題意；，故選項錯誤，不符合題意．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．2．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】A、，被開方數(shù)里含有能開得盡方的因數(shù)8，故本選項不符合題意；B、符合最簡二次根式的條件；故本選項符合題意；C、，被開方數(shù)里含有分母；故本選項不符合題意．D、，被開方數(shù)里含有能開得盡方的因式；故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3．將化為最簡二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關(guān)鍵．4．化簡

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可得到答案．【詳解】解：，故選A．【點睛】本題考查了二次根式的乘法運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．5．若等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，即被開方數(shù)是非負數(shù)，分數(shù)的性質(zhì)，即分母不能為零，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴由①得，；由②得，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查二次根式中被開方數(shù)的非負性，掌握二次根式有意義的條件時解題的關(guān)鍵．6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最簡二次根式的是（

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦【答案】D【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可進行解答．【詳解】解：①，不是最簡二次根式；②，不是最簡二次根式；③是最簡二次根式；④，不是最簡二次根式；⑤是最簡二次根式；⑥，不是最簡二次根式；⑦，是最簡二次根式；⑧，不是最簡二次根式；綜上，是最簡二次根式的有：③⑤⑦．故選：D．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式要求根號下不含有可開方的數(shù)，根號下不含有分母，分母也不能含有根號．7．下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進行計算即可．【詳解】解：．，選項不正確，不符合題意；B．，選項正確，符合題意；C．，選項不正確，不符合題意；D．，選項不正確，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．8．在下列各式中，化簡正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，二次根式的乘除法則判斷即可．【詳解】解：A、，故錯誤，該選項不符合題意；B、，故錯誤，該選項不符合題意；C、，故錯誤，該選項不符合題意；D、，故正確，該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．9．若，，則與之間的關(guān)系是（

）A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．互為負倒數(shù) D．相等【答案】C【分析】先求積，再判斷．【詳解】解：∵．∴，互為負倒數(shù)．故選：．【點睛】本題考查實數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)，的特征，求出是求解本題的關(guān)鍵．10．下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)只有當a≥0，b≥0時，即可判斷A；根據(jù)，即可判斷B；求出即可判斷C；根據(jù)平方差公式和二次根式的性質(zhì)求出的值即可判斷D．【詳解】解：A.（沒有意義），故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C錯誤；D.，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和定義，注意：①只有當a≥0，b≥0時，，②有意義的條件是．11．如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先根據(jù)，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除運算法則逐個作出判斷即可．【詳解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，無意義，①錯誤；，②正確；，③正確；，④錯誤；正確的有2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．12．觀察下面分母有理化的過程：，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算：的值是（

）A． B． C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用已知化簡二次根式，進而結(jié)合平方差公式計算得出答案．【詳解】解：，故選：C．【點睛】此題主要考查了分母有理化，平方差公式，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．______，______，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法運算，即可求出答案．【詳解】解：，，，故答案為：，，【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除法運算，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的性質(zhì)．14．二次根式中：、、、是最簡二次根式的是______．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，∵，，，∴、、不是最簡二次根式．故答案為：．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．15．若二次根式是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為__________．【答案】2【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：當時，，不是最簡二次根式，當時，，是最簡二次根式，∴二次根式是最簡二次根式，最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．16．化為最簡二次根式是___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查的是最簡二次根式，二次根式的化簡，熟記二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．計算：______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法運算法則進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的除法以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運算法則是解本題的關(guān)鍵．18．化簡：___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則化簡求解即可．【詳解】解：．故答案：【點睛】此題考查了二次根式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的乘除運算法則．19．一組二次根式按一定規(guī)律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是這組式子中相鄰的三個二次根式，則a，b，c之間的關(guān)系是___________.【答案】【分析】在排列中任意將三個相鄰的數(shù)定義給a，b，c的值，找出之間的運算關(guān)系即可．【詳解】解：∵，，……，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律性，解題的關(guān)鍵是找到三個數(shù)之間的關(guān)系．20．設(shè)，，當t為___________時，代數(shù)式．【答案】2【分析】根據(jù)x，y的表達式，可以觀察出，，再將改寫為含有與的形式，代入解出t即可．【詳解】，，，解得（舍去），．故答案為：2【點睛】本題考查乘法公式的運用，熟練掌握乘法公式并能將二次三項式改寫為含有與的形式，是本題的解題關(guān)鍵．三、解答題21．判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最簡二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡二次根式，原因見解析【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：（1）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含能開得盡方的因式；（2）不是最簡二次根式，被開方數(shù)含分母．（3）是最簡二次根式，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（4）是最簡二次根