第02講 二次根式的性質(zhì)（2）與二次根式的乘除（解析版）

第02講二次根式與二次根式的性質(zhì)（1）1.2（2）-1.3（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握二次根式積的性質(zhì)和商的性質(zhì)；2、了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；3、掌握二次根式的乘除法法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算?！净A(chǔ)知識(shí)】一、二次根式的性質(zhì)：1.（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.2.（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.二、最簡(jiǎn)二次根式（1）被開(kāi)方數(shù)不含有分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開(kāi)方的因數(shù)或因式.三、二次根式的乘法1.法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開(kāi)方數(shù)相乘.要點(diǎn)：(1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).(2)該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.四、二次根式的除法1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開(kāi)方數(shù)相除..要點(diǎn)：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：最簡(jiǎn)二次根式的概念例1．下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．A：是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．例2．下列根式，，，，，中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】A【解析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．解：符合最簡(jiǎn)二次根式的條件；=2，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；=，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；=，被開(kāi)方數(shù)含分母；不是最簡(jiǎn)二次根式；符合最簡(jiǎn)二次根式的條件；=，被開(kāi)方數(shù)含分母；不是最簡(jiǎn)二次根式；因此只有，兩個(gè)符合條件．故本題選擇A．考點(diǎn)2：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)1-數(shù)字型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例3．化簡(jiǎn)：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．化簡(jiǎn)：（1）＝______；（2）﹣＝______．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答．解：=，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義：不含分母，不含能再開(kāi)方的因式或因數(shù)，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)2-含字母型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例5．把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1).(2).(3).(4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法和除法法則化簡(jiǎn)即可.解：(1).(2).(3).(4).【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握化簡(jiǎn)的方法是關(guān)鍵.例6．當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：_______；_______；_______．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．根據(jù)二次根式的意義，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據(jù)二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據(jù)二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=．故答案是：；；．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，需要注意化簡(jiǎn)的時(shí)候要考慮字母的取值范圍，注意符號(hào)的變化．考點(diǎn)4：最簡(jiǎn)二次根式的形式例7．若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的整數(shù)______.【答案】－1.【解析】【分析】先確定a的范圍，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念即可得出答案.解：∵，∴.當(dāng)a取最小整數(shù)－1時(shí)，，是最簡(jiǎn)二次根式，所以最小的整數(shù)－1.故答案為－1.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟知概念是解題的關(guān)鍵.例8．若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可.根據(jù)題意得：解得∴【點(diǎn)睛】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)3-復(fù)合型例9．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：；

；；

；；

．【答案】；；；；；．【解析】【分析】（1）先將帶分?jǐn)?shù)化為分?jǐn)?shù)再開(kāi)方．（2）直接開(kāi)方再分母有理化；（3）直接開(kāi)方即可．（4）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后再開(kāi)方．（5）通分后再開(kāi)方．（6）通分后再開(kāi)方，然后再分母有理化．解：（1）原式==；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，難度不大，注意要耐心運(yùn)算，否則很容易出錯(cuò)．例10．已知a<0，那么可化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件、分式有意義的條件和二次根式有意義的條件求出b的取值范圍，然后根據(jù)二次根式的乘除法公式化簡(jiǎn)即可．解：由題意可知：解得：b＞0∴===故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件和二次根式的乘除法公式是解決此題的關(guān)鍵．例11．已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可化簡(jiǎn).解：由題意可知，y<0，則=，故選擇A.【點(diǎn)睛】掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.例12．化簡(jiǎn)：（1）=_________，（2）=___________．【答案】

【解析】【分析】（1）將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；（2）將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；（1）原式=（2）原式=故答案為:,【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式和二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點(diǎn)6：二次根式的乘法1-數(shù)字型例13．計(jì)算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算即可．原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式乘法法則：算術(shù)平方根的積等于各個(gè)被開(kāi)方數(shù)積的算術(shù)平方根．例14．計(jì)算：＝_________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可．解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：二次根式的乘法2-字母型及復(fù)合型例15．計(jì)算：__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行求解即可．解：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．例16．下列計(jì)算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)：，計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；B選項(xiàng)：，計(jì)算步驟有誤，故與題意不符;C選項(xiàng)：，計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；D選項(xiàng)：＝=5，計(jì)算正確，故與題意相符.故選D.例17．計(jì)算（2）（）的結(jié)果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：（2）（）故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用平方差公式進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，掌握公式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8：二次根式的乘法法則成立的條件例18．要使等式成立的x的值為（

）A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及二次根式的乘法進(jìn)行分析即可得答案.∵，∴或，∴x=-2或x=3，又∵，∴x=3，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)9：二次根式的除法1-數(shù)字型例19．計(jì)算：＝___．【答案】【解析】【分析】用二次根式除法法則計(jì)算即可．解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次根式除法法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．例20．計(jì)算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算計(jì)算得出即可．解：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．例21．計(jì)算：÷＝_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可求解．解：，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法運(yùn)算，熟知二次根式的除法法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)10：二次根式除法法則成立的條件例22．能使成立的x的取值范圍是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，且分式的分母不能為0，列不等式組求出x的取值范圍即可．由題意可得：，解得：x＞2．故選D．【點(diǎn)睛】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0，是本題確定取值范圍的主要依據(jù)．例23．使等式成立的條件時(shí)，則的取值范圍為_(kāi)__．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意義的條件可得再解不等式組即可得到答案.解：等式成立，由①得：由②得：所以則的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是商的算術(shù)平方根的運(yùn)算法則與二次根式有意義的條件，掌握“”是解本題的關(guān)鍵.例24．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序號(hào)）．【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析即可．①時(shí)原式成立，否則不成立，如：，故不一定；②一定成立，因?yàn)槌闪r(shí)，一定滿足；③當(dāng)時(shí)，，故一定成立；④當(dāng)成立時(shí)，，則，故一定成立；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及乘除遠(yuǎn)算法則，熟練掌握基本性質(zhì)計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)11：二次根式的除法2-字母型及復(fù)合型例25．計(jì)算：＝____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則解決此題．解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的除法法則．例26．計(jì)算：＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；原式；故答案是：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例27．計(jì)算：_________．【答案】x【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可．解：===x．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．二次根式相除，把系數(shù)相除作為商的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)相除，作為商的被開(kāi)方數(shù)，并化為最簡(jiǎn)二次根式．例28．計(jì)算：=______

=______【答案】

24

【解析】【分析】運(yùn)用積的乘方的逆運(yùn)算：(ab)n=anbn，把寫成，再先算乘方再算乘法；按從左到右的順序運(yùn)算．解：==3×23=3×8=24解：==故答案為：24，【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握正確的運(yùn)算順序．例29．當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)_________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的定義和除法的性質(zhì)可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后計(jì)算二次根式的除法即可得．由二次根式的定義得：，，，又除法運(yùn)算的除數(shù)不能為0，，，則故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義與除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)12：二次根式的乘除法1-數(shù)字型例30．下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)分別運(yùn)算后即可確定錯(cuò)誤的選項(xiàng)，從而確定正確的答案．解：、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，故原式錯(cuò)誤，符合題意，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是了解二次根式的有關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，難度不大．例31．計(jì)算：＝___．【答案】【解析】【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計(jì)算即可完成．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，注意運(yùn)算順序不要出錯(cuò)．考點(diǎn)13：二次根式的乘除法2-字母型及復(fù)合型例32．下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)、，成立的個(gè)數(shù)有（

）①；

②；

③；

④．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件結(jié)合二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)逐一分析四條結(jié)論的正誤，由此即可得出結(jié)論．①當(dāng)a、b均為負(fù)時(shí)，、無(wú)意義，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．綜上可知：成立的結(jié)論有②④．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘除法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例33．計(jì)算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出即可．原式．故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例34．計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（5）根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練化簡(jiǎn)二次根式后，在加減的過(guò)程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時(shí)候，被開(kāi)方數(shù)簡(jiǎn)單的直接讓被開(kāi)方數(shù)相乘，再化簡(jiǎn)；較大的也可先化簡(jiǎn)，再相乘，靈活對(duì)待．例35．計(jì)算:（1）;（2）;（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，主要考查學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．考點(diǎn)36：二次根式乘除的應(yīng)用例36．若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，則它的體積為_(kāi)______．【答案】12【解析】【分析】直接根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式求解可得．∵長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為∴長(zhǎng)方體的體積=故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查求長(zhǎng)方體的體積，注意正方體的體積求法與長(zhǎng)方體類似，為棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)．例37．站在豎直高度的地方，看見(jiàn)的水平距離是，它們近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山頂，那么他看到的水平距離是________.【答案】160【解析】【分析】把h=2000代入公式進(jìn)行即可.解：把h=2000代入公式得所以答案是：160.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算.熟練掌握二次根式的性質(zhì)是運(yùn)算的關(guān)鍵.例38．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則的值是___________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)的取值范圍得出a，b的值進(jìn)而求出即可．解：∵，的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，∴a=1，b=∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，得出a，b的值是解題關(guān)鍵．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要選擇屬于最簡(jiǎn)二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：1、被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開(kāi)方數(shù)不能再開(kāi)方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．【詳解】A、被開(kāi)方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是有理數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、符合最簡(jiǎn)二次根式的定義，是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了滿足是最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：1、被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；2、被開(kāi)方數(shù)不能再開(kāi)方．2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】將被開(kāi)方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開(kāi)出來(lái)為2，易知化簡(jiǎn)結(jié)果為2．【詳解】解：＝2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于被開(kāi)方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進(jìn)行化簡(jiǎn)．3．（2021·湖南益陽(yáng)·中考真題）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)方法即可得．【詳解】解：原式，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握化簡(jiǎn)方法是解題關(guān)鍵．4．（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由題意化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式后依據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.5．（2013·海南·中考真題）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算作出判斷．【詳解】解：A、，是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D、，是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．6．（2020·山東聊城·中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（

）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2018·四川綿陽(yáng)·中考真題）等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出的范圍．【詳解】由題意可知：,解得：,故選：．【點(diǎn)睛】考查二次根式的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件.二、填空題8．（2018·河北·中考真題）計(jì)算：=_____．【答案】2【分析】先計(jì)算被開(kāi)方數(shù)，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算可得．【詳解】==2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)以及算術(shù)平方根，熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)的方法以及算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山西·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：原式＝＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．10．（2010·江蘇南京·中考真題）計(jì)算：__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．11．（2015·江蘇南京·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是_________．【答案】5．【詳解】.故答案為5.12．（2022·天津·中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于___________．【答案】18【分析】根據(jù)平方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的展開(kāi)式是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·遼寧阜新·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法兩種運(yùn)算，且有括號(hào)，按照運(yùn)算順序，先算括號(hào)里的加法，再算除法，最后代入計(jì)算即可．【詳解】原式當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題是分式的化簡(jiǎn)求值題，考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的除法等知識(shí)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意運(yùn)算順序，求值時(shí)，最后結(jié)果的分母中不允許含有二次根式．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行逐一化簡(jiǎn)即可判斷．【詳解】，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故選項(xiàng)正確，符合題意；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．2．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查定義中的兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】A、，被開(kāi)方數(shù)里含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)8，故本選項(xiàng)不符合題意；B、符合最簡(jiǎn)二次根式的條件；故本選項(xiàng)符合題意；C、，被開(kāi)方數(shù)里含有分母；故本選項(xiàng)不符合題意．D、，被開(kāi)方數(shù)里含有能開(kāi)得盡方的因式；故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3．將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)方法即可得．【詳解】解：原式，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握化簡(jiǎn)方法是解題關(guān)鍵．4．化簡(jiǎn)

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．若等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，即被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，即分母不能為零，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴由①得，；由②得，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式中被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，掌握二次根式有意義的條件時(shí)解題的關(guān)鍵．6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦【答案】D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可進(jìn)行解答．【詳解】解：①，不是最簡(jiǎn)二次根式；②，不是最簡(jiǎn)二次根式；③是最簡(jiǎn)二次根式；④，不是最簡(jiǎn)二次根式；⑤是最簡(jiǎn)二次根式；⑥，不是最簡(jiǎn)二次根式；⑦，是最簡(jiǎn)二次根式；⑧，不是最簡(jiǎn)二次根式；綜上，是最簡(jiǎn)二次根式的有：③⑤⑦．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式要求根號(hào)下不含有可開(kāi)方的數(shù)，根號(hào)下不含有分母，分母也不能含有根號(hào)．7．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．，選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．，選項(xiàng)正確，符合題意；C．，選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．，選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，二次根式的乘除法則判斷即可．【詳解】解：A、，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；D、，故正確，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．若，，則與之間的關(guān)系是（

）A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．互為負(fù)倒數(shù) D．相等【答案】C【分析】先求積，再判斷．【詳解】解：∵．∴，互為負(fù)倒數(shù)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)，的特征，求出是求解本題的關(guān)鍵．10．下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)只有當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，即可判斷A；根據(jù)，即可判斷B；求出即可判斷C；根據(jù)平方差公式和二次根式的性質(zhì)求出的值即可判斷D．【詳解】解：A.（沒(méi)有意義），故A錯(cuò)誤；B.，故B錯(cuò)誤；C.，故C錯(cuò)誤；D.，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和定義，注意：①只有當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，，②有意義的條件是．11．如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】先根據(jù)，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除運(yùn)算法則逐個(gè)作出判斷即可．【詳解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，無(wú)意義，①錯(cuò)誤；，②正確；，③正確；，④錯(cuò)誤；正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．觀察下面分母有理化的過(guò)程：，從計(jì)算過(guò)程中體會(huì)方法，并利用這一方法計(jì)算：的值是（

）A． B． C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用已知化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分母有理化，平方差公式，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．______，______，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法運(yùn)算，即可求出答案．【詳解】解：，，，故答案為：，，【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的性質(zhì)．14．二次根式中：、、、是最簡(jiǎn)二次根式的是______．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是最簡(jiǎn)二次根式，∵，，，∴、、不是最簡(jiǎn)二次根式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件，①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．15．若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a為_(kāi)_________．【答案】2【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，不是最簡(jiǎn)二次根式，當(dāng)時(shí)，，是最簡(jiǎn)二次根式，∴二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．16．化為最簡(jiǎn)二次根式是___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的化簡(jiǎn)，熟記二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．計(jì)算：______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18．化簡(jiǎn)：___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：．故答案：【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則．19．一組二次根式按一定規(guī)律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是這組式子中相鄰的三個(gè)二次根式，則a，b，c之間的關(guān)系是___________.【答案】【分析】在排列中任意將三個(gè)相鄰的數(shù)定義給a，b，c的值，找出之間的運(yùn)算關(guān)系即可．【詳解】解：∵，，……，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律性，解題的關(guān)鍵是找到三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．20．設(shè)，，當(dāng)t為_(kāi)__________時(shí)，代數(shù)式．【答案】2【分析】根據(jù)x，y的表達(dá)式，可以觀察出，，再將改寫為含有與的形式，代入解出t即可．【詳解】，，，解得（舍去），．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查乘法公式的運(yùn)用，熟練掌握乘法公式并能將二次三項(xiàng)式改寫為含有與的形式，是本題的解題關(guān)鍵．三、解答題21．判斷下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最簡(jiǎn)二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡(jiǎn)二次根式，原因見(jiàn)解析【分析】檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】解：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因式；（2）不是最簡(jiǎn)二次根式，被開(kāi)方數(shù)含分母．（3）是最簡(jiǎn)二次根式，被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；（4）是最簡(jiǎn)二次根