第02講 平行線的判定（原卷版）

第02講平行線的判定1.3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平行線的判定方法，并能運(yùn)用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.2.掌握平行公理及其推論；3.掌握“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行.”【基礎(chǔ)知識(shí)】一、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.二、平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．要點(diǎn)：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說(shuō)明存在；“只有”說(shuō)明唯一．(3)“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.三、平行線判定的其他方法：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行.【考點(diǎn)剖析】例1．已知如圖直線a，b被直線c所截，下列條件能判斷a∥b的是(

)A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2+∠5＝180°例2．如圖，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷的是（

）A． B． C． D．例3．如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（

）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行B．兩直線平行，同位角相等C．同位角相等，兩直線平行D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行例4．如圖，不能判斷//的條件是（

）A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠4=∠5 D．∠2=∠3例5．如圖下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得例6．如圖所示，下列判斷不正確的是()A．因?yàn)椤?=∠2，所以AE∥BD B．因?yàn)椤?=∠4，所以AB∥CDC．因?yàn)椤?=∠2，所以AB∥ED D．因?yàn)椤?=∠BDC，所以AE∥BD例7．如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若∠3＝∠5，則CD∥EF B．若∠2＝∠6，則CD∥EFC．若∠4＝∠3，則CD∥EF D．若∠1＝∠6，則GH∥AB例8．如圖有下列條件：①；②；③；④；⑤.其中能判定直線的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例9．一輛汽車(chē)在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°例10．a(chǎn)，b，c為平面內(nèi)不同的三條直線，若要a∥b，條件不符合的是（

）A．a(chǎn)∥c，b∥c B．a(chǎn)⊥c，b⊥c

C．a(chǎn)⊥c，b∥c

D．c截a，b所得的內(nèi)錯(cuò)角的鄰補(bǔ)角相等例11．在如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（）A．如圖1，展開(kāi)后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開(kāi)后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖④中，展開(kāi)后測(cè)得∠1+∠2=180°例12．如圖，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由這些條件，能找到_____對(duì)平行線．例13．如圖，填空:(1)若∠A=∠3，則____∥_____，理由是______；(2)若∠2=∠E，則____∥___，理由是____；(3)若∠A+∠ABE=180°，則____∥___，理由是____；(4)若∠2=∠____，則DA∥EB，理由是____；(5)若∠DBC+∠_____=180°，則DB∥EC，理由是____；例14．如圖，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，當(dāng)∠1＝____度時(shí)，DE∥BC．例15．如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是_____．例16．如圖所示，給出如下條件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能判定直線的是___．例17．已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命題的是__________．（填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)）例18．在同一平面內(nèi)有2022條直線，如果，，，……那么與的位置關(guān)系是_____________．例19．如圖，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（1）如果，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？（2）如果，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？（3）如果，可以判斷哪兩條直線平行？為什么？例20．已知：如圖，．求證：．分析：如圖，欲證，只要證______．證明：，（已知）又，（

）__________．（

）．（__________，____________）例21．已知：如圖，直線被所截，，求證：．證法1：如圖，與交于（

）又（

）（

）（

）證法2：如圖，（

）又（

）（

）（

）證法3：如圖，（

）（

）又（

）（

）（

）例22．如圖所示，平分，平分，且，求證：．例23．如圖，直線、交于點(diǎn)，，分別平分和，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)試說(shuō)明的理由．【真題演練】一、單選題1．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，已知，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2020·浙江衢州·中考真題）過(guò)直線l外一點(diǎn)P作直線l的平行線，下列尺規(guī)作圖中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．4．（2020·浙江金華·中考真題）如圖，工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣的垂線和，得到，理由是（

）A．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線C．連接直線外一點(diǎn)與直線各點(diǎn)的所有直線中，垂線段最短D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行5．（2021·甘肅蘭州·中考真題）將一副三角板如圖擺放，則______∥______，理由是______．6．（2018·湖南湘潭·中考真題）如圖，點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使BC∥AD，則可添加的條件為_(kāi)_________．（任意添加一個(gè)符合題意的條件即可）【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判定的是（

）A． B．C． D．2．如圖，下列推論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．如圖，直線，被所截得的同旁內(nèi)角為，，要使，只要使（）A． B．C． D．，4．如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D．兩直線平行，同位角相等5．如圖，下列條件中：①，②，③，④，能判斷的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，已知直線，，直線交直線于點(diǎn)A，交直線于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)C，下列條件能判斷的是（）A． B． C． D．8．如圖，在三角形中，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，于點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．9．下列圖形中，由能得到AB//CD的圖形有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)10．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用三角板畫(huà)出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學(xué)的畫(huà)法如下：甲的畫(huà)法：乙的畫(huà)法：請(qǐng)你判斷兩人的作圖的正確性()A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤二、填空題11．平行線的判定方法：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果__________________，那么___________________________；（2）兩條直線被第三條直線所截，如果____________________，那么______________________；（3）兩條直線被第三條直線所截，如果____________________，那么______________________．12．如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．13．如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=50°，則當(dāng)∠2=____時(shí)，ab．14．如圖所示，下列說(shuō)法中正確的編號(hào)是______．①若∠2=∠4，則ADBC；②若∠1=∠3，則ADBC；③若∠3+∠ABC=180°，則ABCD；④若∠2=∠4，則ABCD；⑤若∠4+∠ABC=180°，則ABCD；⑥若∠1=∠3，則ABCD．15．如圖，直角三角形的頂點(diǎn)A在直線m上，分別度量：①；②；③；④，可判斷直線m與直線n是否平行的是__________．16．將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對(duì)于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號(hào)）17．李強(qiáng)同學(xué)學(xué)完“相交線與平行線”一章后，在一本數(shù)學(xué)讀物上看到一種只利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺作圖的方法：①以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA邊于點(diǎn)M，交OB邊于點(diǎn)N；②作一條射線CD，以點(diǎn)C為圓心，以O(shè)M長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與②中所畫(huà)弧交于點(diǎn)F；④過(guò)點(diǎn)F作射線CP，則∠PCD=∠BOA．如圖1：李強(qiáng)想利用這種方法過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)Q作直線l的平行線a，如圖2．（1）李強(qiáng)同學(xué)能借助上述方法作出直線l的平行線a嗎？______（填“能”或“不能”）.（2）如果能，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出直線a,保留作圖痕跡，并說(shuō)明能夠證明這兩條直線平行的理由：________________．18．如圖，直線上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線、，與在直線異側(cè)．若，射線、分別繞點(diǎn)，點(diǎn)以度秒和度秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為秒，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間的值為_(kāi)_____時(shí)，與平行．三、解答題19．如圖，直線a，b直線c所截．(1)當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，直線a，b平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)∠2+∠3＝180°時(shí)，直線a，b平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，，求證：，請(qǐng)將證明過(guò)程填寫(xiě)完整.證明：∵（已知）又∵（

）∴________，∴____________（

）∴______________（

）又∵（已知）∴________________，∴（

）21．如圖，(1)等于多少度？(2)AD與BC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，已知，平分，平分，且，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)說(shuō)明DE∥BF的理由的依據(jù)．解：因?yàn)槠椒郑椒郑ㄒ阎┧?，（______）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_____）因?yàn)椋╛_____）所以（______）所以DEBF（______）23．如圖，已知點(diǎn)E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過(guò)E點(diǎn)作，G為射線EC上一點(diǎn)，連接BG、AB，且．(1)試說(shuō)明；(2)若試判斷AB與EF平行嗎？并說(shuō)明理由．24．如圖，已知點(diǎn)在上，平分平分．(1)試說(shuō)明∶；(2)若，試判斷與平行嗎？為什么？25．（1）在學(xué)習(xí)“平行線的判定”時(shí)，課本首先通過(guò)以下的“思考”欄目，得到了平行線的判定方法1，即______．思考我們以前已學(xué)過(guò)用直尺和三角尺畫(huà)平行線（如圖）．在這一過(guò)程中，三角尺起著什么樣的作用？（2）平行線的另外兩個(gè)判定方法都可以根據(jù)平行線