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第第頁專題02式與方程初中數(shù)學較小學數(shù)學在式與方程方面主要變化有:“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言,初中階段重點關(guān)注用字母表述代數(shù)式,以及代數(shù)式的運算,字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理,通過字母運算和推理得到的結(jié)論具有一般性;“方程與不等式”揭示了數(shù)學中最基本的數(shù)量關(guān)系(相等關(guān)系和不等關(guān)系),是初中應(yīng)用廣泛的數(shù)學工具。其實初中數(shù)學學習的內(nèi)容多是小學內(nèi)容的擴展;小學數(shù)學與初中數(shù)學實際上是有很多關(guān)聯(lián)的。只要從小六到初一的過度在老師的引導下,找出“數(shù)”與“式”之間的內(nèi)在聯(lián)系以及區(qū)別,在知識間架起銜接的橋梁,也為后面的更多內(nèi)容打下堅實的基礎(chǔ),這樣才能在眾多的考試面前不亂陣腳,游刃有余。1.用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計算公式和運算定律1)用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系(1)一班有男生a人,有女生b人,一共有(a+b)人;(2)每袋面粉重25千克,x袋面粉一共重25x干克(3)路程=速度×時間,用字母表示為s=vt;(4)正比例關(guān)系:(一定),反比例關(guān)系:x×y=k(一定)。2)用字母表示計算公式及運算定理長方形周長:C=2(a+b);長方形面積:S=ab;長方體體積:V=abh或V=Sh。加法交換律:a+b=b+a加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律:ab=ba乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a+b)c=ac+bc注意:①數(shù)與字母、字母與字母相乘時,乘號可以記作簡寫為一個點或省略不寫,但要注意,省略乘號后,數(shù)字要寫在字母的前面。②兩個相同的字母相乘時,可寫成這個字母的平方,如a×a可以寫作a2。2.等式與方程1)等式與方程的意義及關(guān)系意義關(guān)系等式表示相等關(guān)系的式子叫作等式所有的方程都是等式,但是等式不一定是方程方程含有未知數(shù)的等式叫作方程2)等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得結(jié)果仍然是等式。(2)性質(zhì)2:等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù),所得結(jié)果仍然是等式。3)解方程(1)方程的解的概念:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫作方程的解。(2)解方程的概念:求方程的解的過程叫作解方程。(3)解方程的依據(jù):可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運算中各部分之間的關(guān)系解方程。(4)檢驗方程的解是否正確,步驟如下:①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中;②計算,看等式是否成立;③等式成立,說明這個未知數(shù)的值是方程的解,等式不成立,說明解方程錯誤,需要重新求解??键c1、字母表示數(shù)【解題技巧】1)字母可以表示任意的數(shù),也可以表示特定意義的公式,還可以表示符合條件的某一個數(shù),甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù),總之字母可以簡明的將數(shù)量關(guān)系表示出來。2)用字母表示數(shù)的意義:有助于揭示概念的本質(zhì)特征,能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡明,更具有普遍意義。使思維過程簡約化,易于形成概念系統(tǒng)。例1.(2023春·新疆喀什·六年級統(tǒng)考期中)李爺爺今年a歲,張伯伯今年(a-24)歲,過b年后,他們相差(
)歲。A.b B.b-24 C.a(chǎn)-24 D.24【答案】D【分析】不管過去多少年,李爺爺和張伯伯之間的年齡差不變,因為李爺爺今年a歲,張伯伯今年(a-24)歲,則他們相差歲數(shù)是a-(a-24),據(jù)此解答?!驹斀狻縜-(a-24)=a-a+24=24(歲)再過b年后,他們相差24歲。故答案為:D【點睛】本題考查了用字母表示數(shù)以及含未知數(shù)式子的化簡和求值。例2.(2023秋·河南駐馬店·六年級統(tǒng)考期末)有一些能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人,3張方桌拼成一行能坐8人(如圖所示),……則10張桌子可坐()人;n張桌子可坐()人。【答案】222n+2【分析】1張方桌可坐4人,4=2+1×2;2張方桌可坐6人,6=2+2×2;3張方桌可坐8人,8=2+2×3……每增加一張方桌,座位就增加2個,那么n張方桌可坐的人數(shù):2n+2?!驹斀狻扛鶕?jù)分析可知,1張方桌可坐:2+1×2=2+2=4(人)2張方桌可坐:2+2×2=2+4=6(人)3張方桌可坐:2+2×3=2+6=8(人)……n張方桌可坐的人數(shù):2+2×n=(2n+2)人當n=10時,2n+2=2×10+2=20+2=22(人)所以,10張桌子可坐22人;n張桌子可坐(2n+2)人?!军c睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)每多1張桌子就多坐2人是解本題的關(guān)鍵。變式1.(2022春·遼寧大連·六年級期末)有四個連續(xù)偶數(shù),最小的一個是a,那么最大的一個是(
)。A. B. C. D.【答案】D【分析】每相鄰的兩個連續(xù)偶數(shù)都相差2,則最大的偶數(shù)比最小的偶數(shù)大3個2;知道最小的一個偶數(shù),用其加上3×2,問題便可得解?!驹斀狻坑?個連續(xù)偶數(shù),最小的一個是a,那么最大的一個是a+2×3=a+6。故答案為:D【點睛】本題是用字母表示數(shù)的問題,需結(jié)合偶數(shù)的定義分析解答。變式2.(2022·山東·期末)兩個式子結(jié)果相同的一組是(
)。A.和B.和C.和D.和【答案】B【分析】根據(jù)字母表示數(shù)的方法,把選項逐個分析,找出相等的一組算式即可。【詳解】A.a(chǎn)2表示兩個a相乘,2a表示兩個a相加,所以結(jié)果不一定相等;B.3a表示3個a相加,a+a+a也表示3個a相加,所以結(jié)果相等;C.2(a+b)表示a加b的和的2倍,2a+b表示2個a的和與b相加,所以結(jié)果不一定相等;D.a(chǎn)+2表示a與2相加,2a表示兩個a相加,所以結(jié)果不一定相等。故答案為:B【點睛】理解字母表示數(shù)的意義以及運算的方法是解決問題的關(guān)鍵。變式3.(2022秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末)根據(jù)圖形的排列規(guī)律填空。(每個三角形的邊長是1厘米)第8個圖形小三角形的個數(shù)是()個,周長是()厘米,第n個圖形小三角形的個數(shù)是()個,周長是()厘米。……【答案】6424n23n【分析】觀察圖形可知:第1個圖形小三角形的個數(shù)是1個,1=12;周長是3厘米,3=3×1;第2個圖形小三角形的個數(shù)是4個,4=22;周長是6厘米,6=3×2;第3個圖形小三角形的個數(shù)是9個,9=32;周長是9厘米,9=3×3;第4個圖形小三角形的個數(shù)是16個,16=42;周長是12厘米,12=3×4;……第n個圖形小三角形的個數(shù)是n2個,周長是3n厘米;據(jù)此規(guī)律解答。【詳解】由分析可知:第n個圖形小三角形的個數(shù)是n2個,周長是3n厘米;當n=8時n2=8×8=64(個)3n=3×8=24(厘米)第8個圖形小三角形的個數(shù)是64個,周長是24厘米,第n個圖形小三角形的個數(shù)是n2個,周長是3n厘米。【點睛】通過數(shù)與形的結(jié)合,從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律,并按規(guī)律解題??键c2、等量代換【解題技巧】等量代換是指一個量用與它相等的量去代替,它是數(shù)學中一種基本的思想方法,也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。.如果能應(yīng)用等量代換思考問題,不僅有助于學生找到鋸決問題的便捷方法,而且有助于鍛煉學生的思維,提高學生解決實際問題的能力。例1.(2022·山西臨汾·六年級統(tǒng)考期末)根據(jù)如圖,=(
)克。A.50 B.48 C.64【答案】C【分析】先由圖1可以得到一個較大圓=24克,再由圖2可知,一個小圓為24×2÷3=16(克),由圖3可知,最大圓為16×4=64(克),據(jù)此解答即可?!驹斀狻繄D1可以得到一個較大圓是24克由圖2可知,一個小圓是24×2÷3=48÷3=16(克)由圖3可知,最大圓是16×4=64(克)故答案為:C【點睛】由圖1可以得到一個較大圓=24克,再求出小圓的值,是解答此題的關(guān)鍵。例2.(2022秋·江蘇南通·六年級校考期末)原始社會末期,為實現(xiàn)物品交換,人類開始以物換物。1只兔子可以交換4個瓦罐,3斗糧食可以換2只兔子和6個瓦罐,那么1只兔子可以換()斗糧食?!敬鸢浮俊痉治觥坑捎?斗糧食可以換2只兔子和6個瓦罐,由于1只兔子可以交換4個瓦罐,那么2只兔子可以交換8個瓦罐,所以3斗糧食相當于8+6=14個瓦罐,那么一個瓦罐交換的糧食量是:3÷14=(斗),那么4個瓦罐相當于糧食的量是:4×=(斗),據(jù)此即可填空?!驹斀狻?×4=8(個)8+6=14(個)3÷14=(斗)×4=(斗)那么1只兔子可以換斗糧食?!军c睛】本題主要考查等量代換,關(guān)鍵是求出一瓦罐相當于多少斗糧食是解題的關(guān)鍵。變式1.(2023春·江蘇南通·六年級專題練習)已知□=△+△+△+△,□-△=4.8,那么□=(
)。A.7.2 B.6.4 C.5.4 D.1.6【答案】B【分析】根據(jù)題意,可將“□=△+△+△+△”代入“□-△=4.8”中,先求出△的值,進而求出□的值,據(jù)此解答?!驹斀狻堪选啊酰健鳎鳎鳎鳌贝搿啊酰鳎?.8”中,得△+△+△+△-△=4.8,解得:△=1.6;把“△=1.6”代入“□=△+△+△+△”中得:□=1.6+1.6+1.6+1.6=3.2+1.6+1.6=4.8+1.6=6.4故答案為:B【點睛】本題有兩個未知量,解答時要注意觀察已知條件,然后把一個未知量用另一個未知量代替,這樣比較容易理解。變式2.(2020·浙江·小升初真題)若,則的值是()?!敬鸢浮?【分析】將先乘4,可轉(zhuǎn)化出,帶入24,求出結(jié)果再除以4即可?!驹斀狻?÷4=1【點睛】本題考查了等量代換和含有字母的式子求值,關(guān)鍵是將所求的式子轉(zhuǎn)化出已知的算式。變式3.(2023秋·河南洛陽·六年級統(tǒng)考期末)食物可以為人體提供熱量,東東早餐吃了8塊餅干,喝了1杯牛奶,共攝入480千卡熱量(千卡是熱量單位)。已知4塊餅干所含的熱量相當于1杯牛奶所含的熱量,每塊餅干所含的熱量是多少千卡?一杯牛奶所含的熱量是多少千卡?【答案】40千卡;160千卡【分析】已知4塊餅干所含的熱量相當于1杯牛奶所含的熱量,則8塊餅干所含的熱量相當于2杯牛奶所含的熱量,可以用等量代換,將餅干代換成牛奶,則480除以(2+1)就是一杯牛奶所含的熱量,一杯牛奶所含熱量除以4就是一塊餅干所含的熱量。【詳解】由分析可得:假設(shè)全是牛奶。8÷4=2(杯)2+1=3(杯)牛奶:480÷3=160(千卡)餅干:160÷4=40(千卡)答:每塊餅干所含的熱量是40千卡,一杯牛奶所含的熱量是160千卡?!军c睛】本題考查等量代換,解決此題關(guān)鍵是利用基本數(shù)量關(guān)系,找出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系,進一步解決問題??键c3、等式與方程的概念辨析【解題技巧】1)等式:表示相等關(guān)系的式子叫作等式。2)方程:含有未知數(shù)的等式。3)方程一定是等式,等式不一定是方程。注意:如何判斷一個式子是不是方程,只需看兩點:一.是等式;二.是含有未知數(shù).例1.(2023春·浙江·六年級專題練習)下列各式中,不屬于方程的是(
)。A.21=y(tǒng)+5 B.8+x=12 C.13+6-9=10【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式就是方程。據(jù)此判斷即可。【詳解】A.21=y(tǒng)+5含有未知數(shù)且是等式,所以是方程;B.8+x=12含有未知數(shù)且是等式,所以是方程;C.13+6-9=10是等式,但不含未知數(shù),所以不是方程。故答案為:C【點睛】本題考查方程,明確方程的定義是解題的關(guān)鍵。例2.(2022春·河南洛陽·六年級統(tǒng)考期末)小學階段學的很多數(shù)學知識之間有著密切聯(lián)系。下面不能正確表示他們之間關(guān)系的是(
)。A. B.C. D.【答案】A【分析】平行四邊形兩組對邊分別平行,梯形只有一組對邊平行,所以梯形不屬于平行四邊形;三角形按角分為銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形;方程是含有未知數(shù)的等式,所以方程是等式;一個非0的自然數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身?!驹斀狻緼.圖一表示錯誤,梯形不是平行四邊形;B.圖二表示的是三角形的按角分類,表示方法正確;C.方程是等式,圖示表示正確;D.a(chǎn)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等,圖四表示正確。故答案為:A【點睛】本題考查了四邊形的分類、三角形的分類、方程的意義及因數(shù)倍數(shù)的意義。變式1.(2022·河南·郟縣教育局教研室五年級期中)在①8b÷9;②35-x=8;③6×8=48;④5A<2.5;⑤7y=63;⑥8x+7y=18中,等式有(),方程有()。(填序號)【答案】
②③⑤⑥
②⑤⑥【分析】含有等號的式子叫等式;含有未知數(shù)的等式叫方程。據(jù)此解答?!驹斀狻吭冖?b÷9;②35-x=8;③6×8=48;④5A<2.5;⑤7y=63;⑥8x+7y=18中,等式有②③⑤⑥,方程有②⑤⑥。【點睛】本題考查等式和方程的辨認。根據(jù)等式和方程的意義即可解答。變式2.(2022·湖南湘西·統(tǒng)考小升初真題)小學階段我們學習了很多知識,知識之間有著密切的聯(lián)系。下圖中:如果A表示長方形,那么B可以表示正方形;如果A表示等腰三角形,那么B表示();如果B表示方程,那么A可以表示()?!敬鸢浮康冗吶切蔚仁健痉治觥块L方形和正方形的關(guān)系是長方形包括正方形,正方形是特殊的長方形;等邊三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形包含等邊三角形;方程是含有未知數(shù)的等式,等式是含有等號的式子。據(jù)此解答?!驹斀狻扛鶕?jù)分析得,如果A表示等腰三角形,那么B表示等邊三角形;如果B表示方程,那么A可以表示等式?!军c睛】此題主要考查長方形與正方形、等邊三角形與等腰三角形、方程與等式之間的關(guān)系,應(yīng)熟練理解并掌握它們的意義與聯(lián)系??键c4、等式的性質(zhì)及其運用【解題技巧】等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得結(jié)果仍然是等式。(2)性質(zhì)2:等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù),所得結(jié)果仍然是等式。例1.(2023春·湖南長沙·六年級統(tǒng)考期末)如果,根據(jù)等式的性質(zhì)填空。()
()()
()【答案】5m0.5【分析】等式的性質(zhì):(1)等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得結(jié)果還是等式;(2)等式兩邊同時乘以或除以同一個不為0點數(shù),所得結(jié)果還是等式?!驹斀狻?
m
0.5【點睛】關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)。例2.(2023春·北京·六年級統(tǒng)考學業(yè)考試)根據(jù)下圖天平平衡的狀態(tài),求出一杯水的質(zhì)量?!敬鸢浮?.5kg【分析】1杯水為單位“1”,由圖可知1杯水的重量=杯水的重量+kg,我們可以根據(jù)等式的基本性質(zhì),兩邊同時減去杯水的重量,即(1-)杯水的重量=kg。據(jù)此一杯水的重量=kg÷(1-)杯水?!驹斀狻俊拢?-)=÷=×=1.5(kg)答:這杯水的質(zhì)量為1.5kg?!军c睛】此題需掌握等式的基本性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合的思想進行轉(zhuǎn)化。變式1.(2023春·江蘇南通·六年級專題練習)數(shù)學知識之間都有著有密切的聯(lián)系,下面(
)與眾不同。A.等式的性質(zhì) B.分數(shù)的基本性質(zhì) C.比的基本性質(zhì) D.商不變的規(guī)律【答案】A【分析】分數(shù)的分子可以看作比的前項,也可以看作除法算式的被除數(shù);分數(shù)的分母可以看作比的后項,也可以看作除法算式的除數(shù),所以分數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律實質(zhì)是一樣的。等式的性質(zhì)指等式的兩邊同時除以一個不為0的數(shù),等式仍然成立,據(jù)此解題?!驹斀狻糠謹?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律實質(zhì)是一樣的,等式的性質(zhì)與它們不同。故答案為:A【點睛】熟練掌握等式的性質(zhì)、分數(shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律,是解答此題的關(guān)鍵。變式2.(2023春·天津紅橋·六年級統(tǒng)考期末)若,則下列選項中錯誤的是(
)。A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì):1.在等式兩邊同時加或減去一個相同的數(shù),等式仍然成立。2.在等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(0除外),等式仍然成立。據(jù)此判斷即可?!驹斀狻緼.因為,根據(jù)等式的性質(zhì)1,在等式兩邊同時加上3,等式仍然成立,所以,原題干說法正確;B.因為,根據(jù)等式的性質(zhì)2,在等式兩邊同時乘5,所以5a=5b,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,在等式的兩邊同時加上4,則5a+4=5b+4,原題干說法錯誤;C.因為,根據(jù)等式的性質(zhì)2,在等式兩邊同時乘,所以a=b,原題干說法正確;D.因為,根據(jù)等式的性質(zhì)2,在等式兩邊同時乘,所以a=b,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,在等式的兩邊同時減去5,則a-5=b-5,原題干說法正確。故答案為:B【點睛】本題考查等式的性質(zhì),熟記等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。變式3.(2022秋·重慶梁平·六年級統(tǒng)考期末)把蘋果、梨、桃三種水果,放在天平上稱(每個蘋果同樣重,每個梨同樣重,每個桃子同樣重),情況如下:那么,1個蘋果、1個梨、1個桃的重量比較,由重到輕依次為(
)。A. B. C. D.【答案】A【分析】由左圖可知,2個蘋果的重量>1個蘋果的重量+1個梨的重量,兩邊同時拿掉1個蘋果,則得出:1個蘋果的重量>1個梨的重量;由右圖可知,3個桃的重量=1個梨的重量+1個桃的重量,兩邊同時拿掉1個桃,則得出:2個桃的重量=1個梨的重量;由此可推導出1個蘋果、1個梨、1個桃的輕重?!驹斀狻坑勺髨D可知,1個蘋果的重量>1個梨的重量;由右圖可知,2個桃的重量=1個梨的重量,即1個梨的重量>1個桃的重量;那么,1個蘋果、1個梨、1個桃的重量比較,由重到輕依次為:1個蘋果的重量>1個梨的重量>1個桃的重量。故答案為:A【點睛】理解用天平稱物體重量比較輕重的方法,天平平衡時表示左右兩邊物體的重量相等;天平不平衡時,下沉的一邊物體比較重。考點5、方程的解及其運用【解題技巧】1)方程的解:使方程兩邊相等的未知數(shù)的值;2)解方程:求方程的解的過程;3)會利用方程的解,求字母的數(shù)值。例1.(2022春·廣東梅州·六年級統(tǒng)考期末)是下面方程(
)的解。A. B. C.【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì),分別計算3個選項里方程的解,即可選擇出正確的答案?!驹斀狻緼.2x+9=15解:2x+9-9=15-92x=62x÷2=6÷2x=3B.3x=4.5解:3x÷3=4.5÷3x=1.5C.3x÷2=18解:3x÷2×2=18×23x=363x÷3=36÷3x=12所以,解是x=3的方程是:2x+9=15。故答案為:A【點睛】本題主要考查方程的解,關(guān)鍵是利用等式的性質(zhì)解方程。例2.(2023春·江蘇·六年級小升初模擬)已知方程的解是,則k的值是(
)。A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【分析】把代入到方程中,然后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可?!驹斀狻慨敃r解:故答案為:A【點睛】本題考查解方程,熟練運用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。變式1.(2022秋·貴州六盤水·六年級統(tǒng)考期中)方程1.2+x=3的解是(
)。A.x=2.8 B.x=2.2 C.x=1.8 D.x=4.8【答案】C【分析】使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解。根據(jù)等式的性質(zhì)1,兩邊直接減去1.2,求出方程的解即可?!驹斀狻?.2+x=3解:1.2+x-1.2=3-1.2x=1.8方程1.2+x=3的解是x=1.8;故答案為:C【點睛】求方程中未知數(shù)的值的過程,即求方程的解的過程叫做解方程。解方程的主要依據(jù):等式的性質(zhì)。變式2.(2022·四川樂山·五年級期末)是下列(
)方程的解。A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)方程的解的定義,把x=6代入方程進行檢驗即可?!驹斀狻緼.把x=6代入方程,左邊=6,右邊=0,左邊≠右邊,故選項錯誤;B.把x=6代入方程,左邊=9,右邊=9,左邊=右邊,故選項正確;C.把x=6代入方程,左邊=1.2,右邊=3,左邊≠右邊,故選項錯誤;D.把x=6代入方程,左邊=0.6,右邊=1.5,左邊≠右邊,故選項錯誤。故答案為:B【點睛】本題主要考查了方程解的定義,解答此題應(yīng)注意采取代入法。變式3.(2022·江蘇徐州·五年級期中)若x=2是方程3x+4a=22的解,則a的值為(
)。A.4 B.7 C.10【答案】A【分析】將方程的解帶入方程3x+4a=22,求出含a的式子,進而得出a的值。【詳解】將x=2帶入方程3x+4a=22得:6+4a=22所以a=(22-6)÷4=16÷4=4故答案為:A【點睛】本題主要考查學生依據(jù)等式的性質(zhì)解方程的能力。考點6、解方程【解題技巧】1)解方程的依據(jù):可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運算中各部分之間的關(guān)系解方程。2)檢驗方程的解是否正確,步驟如下:①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中;②計算,看等式是否成立;③等式成立,說明這個未知數(shù)的值是方程的解,等式不成立,說明解方程錯誤,需要重新求解。例1.(2022·云南昆明·統(tǒng)考小升初真題)解方程。
【答案】;;【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)化簡方程,再根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時除以0.25;根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時減去,兩邊再同時除以2;根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊先同時除以3,再同時減去2.1,據(jù)此解答?!驹斀狻拷猓?/p>
解:
解:
例2.(2023春·綿陽市·六年級小升初模擬)解方程或比例。
【答案】;【分析】,依據(jù)比例的基本性質(zhì),先寫成的形式,根據(jù)等式的性質(zhì)1和2,兩邊同時×,再同時+1即可。,等式左邊的部分,依據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì),將小數(shù)化成整數(shù),然后根據(jù)等式的形式1和2,兩邊同時×6,去分母,再將能合并的合并起來,解方程即可;【詳解】解:解:變式1.(2022·重慶·校考小升初真題)解方程。
【答案】;【分析】,先用乘法分配律去掉括號,然后根據(jù)等式的性質(zhì)1和2,在方程左右兩邊同時減去54,再將方程左邊合并為,最后在方程左右兩邊同時除以即可;,先在方程左右兩邊同時乘15,方程左邊化為,然后根據(jù)乘法分配律去掉括號,方程變?yōu)?,最后根?jù)等式的性質(zhì)1和2,在方程左右兩邊同時加上85,再同時除以8即可。【詳解】解:解:變式2.(2022春·河南許昌·六年級統(tǒng)考期末)解方程或解比例。
【答案】x=;x=25;x=1.5【分析】(1)先化簡方程,再根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時除以求解;(2)根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時除以4.2,兩邊再同時減去5求解;(3)根據(jù)比例的基本性質(zhì),原式化成x=0.27×,再根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時除以求解?!驹斀狻浚?)解:(2)解:(3)解:變式2.(2022·湖南長沙·??夹∩跽骖})解方程。
【答案】;【分析】,先把括號去掉,然后將左邊合并為,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,將方程左右兩邊同時加上9y,再同時加上7,最后根據(jù)等式的性質(zhì)2,將方程左右兩邊同時除以23即可;,根據(jù)等式的性質(zhì)2,將方程左右兩邊同時乘6,然后根據(jù)乘法分配律,將方程變?yōu)?,再通過計算去掉分數(shù),即,然后去掉括號,將左邊合并為,接著根據(jù)等式的性質(zhì)1和2,將方程左右兩邊同時加上8,再同時減去3,最后再同時除以5?!驹斀狻拷猓航猓鹤兪?.(2023春·成都市·六年級小升初模擬)解方程。
7x-5×(x+)=x+27
【答案】x=68;x=28;x=【分析】x÷4+3=x÷3-,根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系,把x÷4寫出;x÷3寫出,原式化為:+3=-,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時減去,再加上,原式化為:-=3+,化簡含有x的算式,即求出-的差,再根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時除以-的差即可;7x-5×(x+)=x+27,化簡,去掉括號,原式化為:7x-5x-1=x+27,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時減去x,再加上1,原式化為:7x-5x-x=27+1,再進行計算;=(5x+5)÷6,把(5x+5)÷6化為,=,解比例,原式化為:6×(4x-1)=3×(5x+5),化簡,原式化為:24x-6=15x+15,再根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時減去15x,再加上6,原式化為:24x-15x=15+6,化簡方程左邊含有x的算式,即求出24-15的差,再根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時除以24-15的差,即可?!驹斀狻縳÷4+3=x÷3-解:+3=--+3+=--+-=x-x=x=x÷=÷x=×12x=687x-5×(x+)=x+27解:7x-5x-1=x+272x-1=x+272x-x-1+1=x-x+27+1x=28=(5x+5)÷6解:=6×(4x-1)=3×(5x+5)24x-6=15x+1524x-15x-6+6=15x-15x+15+69x=21x=21÷9x=考點7、找等量關(guān)系與列方程【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同,尋找題干中的等量關(guān)系,利用未知數(shù)表示出來。例1.(2022·浙江嘉興·五年級期末)王阿姨買了2.4千克蘋果和3.8千克梨,總共付了92.6元。已知梨每千克13元,蘋果每千克多少元?下列數(shù)量關(guān)系中錯誤的是(
)。A.蘋果的單價×蘋果的數(shù)量十梨的單價×梨的數(shù)量=總價B.(蘋果的單價+梨的單價)×(蘋果的數(shù)量+梨的數(shù)量)=總價C.總價-蘋果的單價×蘋果的數(shù)量=梨的單價×梨的數(shù)量D.總價-梨的單價×梨的數(shù)量=蘋果的單價×蘋果的數(shù)量【答案】B【分析】單價×數(shù)量=總價,基本數(shù)量關(guān)系:蘋果的單價×蘋果的數(shù)量十梨的單價×梨的數(shù)量=總價,在此基礎(chǔ)根據(jù)乘法分配律和加法各部分之間的關(guān)系還能轉(zhuǎn)化出另外的數(shù)量關(guān)系,據(jù)此分析。【詳解】A.蘋果的單價×蘋果的數(shù)量十梨的單價×梨的數(shù)量=總價,數(shù)量關(guān)系正確;B.(蘋果的單價+梨的單價)×(蘋果的數(shù)量+梨的數(shù)量)=總價,數(shù)量關(guān)系錯誤;C.總價-蘋果的單價×蘋果的數(shù)量=梨的單價×梨的數(shù)量,數(shù)量關(guān)系正確;D.總價-梨的單價×梨的數(shù)量=蘋果的單價×蘋果的數(shù)量,數(shù)量關(guān)系正確。故答案為:B【點睛】關(guān)鍵是理解單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系。例2.(2022·遼寧·五年級期末)媽媽在商場買了一瓶洗面奶和一盒面膜,一共花了240元。其中洗面奶的價錢是面膜的一半,洗面奶和面膜的價錢分別是多少元?方法1:洗面奶的價錢是面膜的一半,也就是()的價錢()的價錢×。解:設(shè)面膜的價錢是元方法2:也可以想面膜的價錢是洗面奶的()倍。解:設(shè)洗面奶的價錢是元。【答案】
洗面奶
面膜
2【分析】根據(jù)題意,方法1:洗面奶的價錢是面膜的一半,也就是洗面奶的價錢=面膜的價錢×,設(shè)面膜的價錢數(shù)x元,則洗面奶的價錢是x元,列方程:x+=240,據(jù)此解答;方法2:洗面奶的價錢數(shù)面膜的一半,也就是面膜的價錢是洗面奶的2倍,設(shè)洗面奶的價錢是x元,則面膜的價錢是2x元,列方程:x+2x=240,據(jù)此解答。【詳解】方法1:洗面奶的價錢是面膜的一半,也就是洗面奶的價錢面膜的價錢。方法2:也可以想面膜的價錢是洗面奶的2倍?!军c睛】解答本題的關(guān)鍵是明確洗面奶和面膜的關(guān)系,進而進行解答。變式1.(2022·福建寧德·五年級期中)按要求寫出等量關(guān)系,并列方程。(不用解答)興趣小組共有36人,其中女生人數(shù)是男生3倍。等量關(guān)系式:______________________________=總共人數(shù)。如果設(shè)男生x人,列方程是()?!敬鸢浮?/p>
男生人數(shù)+女生人數(shù)
x+3x=36【分析】由題意可知,設(shè)男生有x人,則女生人數(shù)有3x人,興趣小組共有36人,據(jù)此列方程,解方程即可?!驹斀狻磕猩藬?shù)+女生人數(shù)=總共人數(shù)解:設(shè)男生有x人,則女生人數(shù)有3x人。x+3x=364x=36x=99×3=27(人)所以男人有9人,女生有27人?!军c睛】本題考查用方程解決問題,明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。變式2.(2022·福建寧德·五年級期中)按要求寫出等量關(guān)系,并列方程。(不用解答)一堆煤26噸,每天用0.5噸,用去若干天后,還剩下12噸。等量關(guān)系式:______________________________=這堆煤的噸數(shù)。如果設(shè)用去x天,列方程是()?!敬鸢浮?/p>
每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)+剩下的噸數(shù)
0.5x+12=26【分析】由題意可知,把用去的天數(shù)設(shè)為未知數(shù),等量關(guān)系式:這堆煤的總噸數(shù)-每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)=剩下的噸數(shù),據(jù)此解答?!驹斀狻康攘筷P(guān)系式:每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)+剩下的噸數(shù)=這堆煤的噸數(shù)。解:設(shè)用去x天。0.5x+12=260.5x=26-120.5x=14x=14÷0.5x=28所以,用去28天?!军c睛】分析題意找出題中的等量關(guān)系式是解答題目的關(guān)鍵。變式3.(2022·河南周口·五年級期中)碩望小學為拓寬學生視野,新運來1580本圖書,由A、B兩名圖書管理員整理。A管理員整理了3天,每天整理312本,剩下的B管理員整理了2天正好整理完,B管理員平均每天整理多少本?題中的等量關(guān)系式為(),解:設(shè)B管理員平均每天整理x本,可列方程為()?!敬鸢浮?/p>
B管理員每天整理的圖書量×2+A管理員每天整理的圖書量×3=1580
2x+312×3=1580【分析】此題中B管理員整理剩下的圖書,依據(jù)等量關(guān)系式:每天整理的數(shù)量×天數(shù)=總共整理的圖書量即可解答。【詳解】可以列式為:B管理員每天整理的圖書量×2+A管理員每天整理的圖書量×3=1580解:設(shè)B管理員平均每天整理x本。2x+312×3=15802x+936=15802x=1580-9362x=644x=644÷2x=322【點睛】此題主要考查用列方程的方法解決實際問題的方法。A級(基礎(chǔ)過關(guān))1.(2022·重慶璧山·統(tǒng)考小升初真題)下列式子(
)是方程。A.a(chǎn)÷0.3<2.8 B.n+7 C.8x+12=112 D.91.2÷0.57=160【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式叫做方程,由方程的意義可知,方程必須同時滿足以下兩個條件:(1)是等式;(2)含有未知數(shù);兩個條件缺一不可,據(jù)此判斷?!驹斀狻緼.a(chǎn)÷0.3<2.8,含有未知數(shù)a,但a÷0.3<2.8不是等式,所以a÷0.3<2.8不是方程;B.n+7,含有未知數(shù)n,但n+7不是等式,所以n+7不是方程;C.8x+12=112,含有未知數(shù)x,8x+12=112也是等式,所以8x+12=112是方程;D.91.2÷0.57=160是等式,但91.2÷0.57=160不含未知數(shù),所以91.2÷0.57=160不是方程。故答案為:C【點睛】此題主要考查根據(jù)方程的意義來辨識方程,明確只有含有未知數(shù)的等式才是方程。2.(2023·北京·小升初模擬)x=4是下列方程(
)的解。A.5x-2x=120 B.2x+4x=24 C.2.5x+1.5x=10【答案】B【分析】把x=4代入所給的每個方程,看看等式左邊是否等于右邊即可?!驹斀狻縳=4時,左邊=5×4-2×4=12,右邊=120,左邊≠右邊,所以x=4不是方程5x-2x=120的解;x=4時,左邊=2×4+6×4=24,右邊=24,左邊=右邊,所以x=4是方程2x+4x=24的解;x=4時,左邊=2.5×4+1.5×4=16,右邊=10,左邊≠右邊,所以x=4不是方程2.5x+1.5x=10的解。故答案為:B【點睛】本題主要考查檢驗方程解的方法,將求出的未知數(shù)值代入原方程,分別計算等號左右兩邊的結(jié)果,如果兩邊相等,則為原方程的解;如不相等,則不是原方程的解。3.(2022·福建寧德·五年級期中)小麗有a張郵票,小冬有b張郵票,如果小冬送給小麗10張,那么兩人郵票就樣多。下面(
)符合題意。A. B. C. D.【答案】D【分析】由題意可知,如果小冬送給小麗10張,則小麗現(xiàn)在有a+10張,小冬有b-10張,現(xiàn)在兩人郵票一樣多,據(jù)此解答即可?!驹斀狻坑煞治隹芍簝扇爽F(xiàn)在的郵票一樣多用式子表示為:。故答案為:D【點睛】本題考查用字母表示數(shù),明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。4.(2022·重慶·五年級期末)根據(jù)等式4a=5b(a、b均不為0),下列等式不成立的是(
)。A.4a×4=5b×4 B.4a+8a=5b+8a C.4a×4=5b×5 D.4a÷2=5b÷2【答案】C【分析】依據(jù)等式的性質(zhì)即方程兩邊同時加或減相同的數(shù),同時乘或除以同一個不等于0的數(shù),左右兩邊仍然相等;從而解答問題?!驹斀狻緼.等式兩邊同時乘4,等式成立。B.等式兩邊同時加8a,等式成立。C.等式左邊乘4,右邊乘5,等式不能成立。D.等式兩邊同時除以2,等式成立。故答案為:C【點睛】解答此題的主要依據(jù)是:等式的性質(zhì)的靈活應(yīng)用。5.(2022·湖南常德·六年級期末)甲數(shù)的和乙數(shù)的相等,甲數(shù)和乙數(shù)相比(
)。A.甲大 B.乙大 C.一樣大 D.無法比較【答案】A【分析】根據(jù)題意可知,甲數(shù)乙數(shù),利用等式的性質(zhì)求出甲乙兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,再判斷即可?!驹斀狻考讛?shù)乙數(shù)甲數(shù)乙數(shù)所以甲數(shù)大于乙數(shù)。故答案為:A。【點睛】本題考查分數(shù)乘除法、等式的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)。6.(2023春·江蘇南通·六年級專題練習)小明每天做50道口算題,小方每天比小明多做n道,小方一周(7天)比小明多做(
)道。A.350 B.7n+50 C.7n+350 D.7n【答案】D【分析】小方每天比小明多做n道,那么7天比小明多做7n道?!驹斀狻縩×7=7n(道)小方一周(7天)比小明多做7n道。故答案為:D【點睛】此題考查了用字母表示數(shù)的方法,關(guān)鍵是弄清題中字母所表示的意義,再進一步解答。7.(2022秋·江蘇徐州·六年級校考期中)至少用()個棱長2厘米的小正方體可以拼成一個大正方體,拼成正方體的棱長和是()厘米;如果用若干個棱長2厘米的小正方體拼成一個大正方體,用表示每條棱上小正方體的個數(shù),那么拼成大正方體的體積是()立方厘米。【答案】848【分析】根據(jù)正方體棱長相等的性質(zhì),則至少8個小正方體才能拼成較大的正方體;拼成的正方體棱長是2×2=4厘米,根據(jù)棱長和公式即可求解;每條棱是2厘米,根據(jù)正方體體積公式即可求解。【詳解】2×2×2=8(個)2×2×12=4×12=48(厘米)=【點睛】本題主要考查正方體的棱長和公式和體積公式的靈活運用。8.(2023春·江蘇南通·六年級專題練習)萬達廣場開業(yè),一家玩具店用800元進了小熊和小豬兩種毛絨玩具,小熊玩具進了130個,每個a元,小豬玩具共用去m元。要知道進小熊玩具用去多少元,可以用含有字母的式子表示是(),還可以用不同的字母式表示是()?!敬鸢浮?30a800-m【分析】用每個小熊玩具得價錢乘進的個數(shù),即可得進小熊玩具用去多少元;用進小熊和小豬兩種毛絨玩具的總錢數(shù)減進小豬玩具用的錢數(shù),也可得進小熊玩具用去多少元。【詳解】要知道進小熊玩具用去多少元,可以用含有字母的式子表示是130a,還可以用不同的字母式表示是800-m?!军c睛】本題主要考查了含字母式子求值,比較簡單。9.(2023春·河南許昌·六年級??计谥校w育老師買了1個足球和4個排球,正好用去245元,已知排球的單價是足球的,一個足球()元?!敬鸢浮?05【分析】根據(jù)排球的單價是足球的可知,1個足球的單價=3個排球的單價,可得:(3+4)個排球是245元,假設(shè)排球的單價是x元,x×(3+4)=245,先求出排球,然后再用排球的單價乘3求出足球的單價?!驹斀狻拷猓杭僭O(shè)排球的單價是x元,可得:x×(3+4)=2457x=2457x÷7=245÷7x=3535×3=105(元)所以,一個足球105元?!军c睛】正確理解理解1個籃球的單價=3個排球的單價,是解答此題的關(guān)鍵。10.(2023春·江蘇淮安·六年級專題練習)數(shù)學知識之間存在密切的聯(lián)系。如圖,如果A表示等腰三角形,那么B可以表示等邊三角形。如果A表示等式,那么B可以表示();如果B表示正方體,那么A可以表示()?!敬鸢浮糠匠涕L方體【分析】等邊三角形是特殊的等腰三角形,正方體是特殊的長方體,方程是含有未知數(shù)的等式,據(jù)此解答。【詳解】如圖,如果A表示等式,那么B可以表示方程;如果B表示正方體,那么A可以表示長方體。【點睛】此題考查的目的是理解長方體與正方體、等腰三角形與等邊三角形、方程與等式之間的關(guān)系。11.(2022·廣東·六年級期中)一個足球比一個籃球貴42元,一個足球的價格是籃球的1.6倍。足球和籃球各多少錢?(列方程解答)等量關(guān)系式:(
)【答案】112元;70元;籃球的價錢+42元=籃球的價錢×1.6【分析】設(shè)一個籃球x元錢,根據(jù)等量關(guān)系:籃球的價錢+42元=籃球的價錢×1.6,依此列方程并解答即可?!驹斀狻康攘筷P(guān)系式:籃球的價錢+42元=籃球的價錢×1.6解:設(shè)一個籃球x元x+42=1.6xx+42-x=1.6x-x0.6x=420.6x÷0.6=42÷0.6x=7070+42=112(元)答:一個足球112元,一個籃球70元錢?!军c睛】此題考查的是列方程解答問題,應(yīng)先根據(jù)題意找出等量關(guān)系式,然后再解答。12.(2023春·廣東廣州·六年級專題練習)看圖列方程并解答?!敬鸢浮縳=160【分析】從線段圖中可知,橘子有200千克,比蘋果多,求蘋果有多少千克?把蘋果的質(zhì)量看作單位“1”,則橘子的質(zhì)量是蘋果的(1+),可得出等量關(guān)系式:蘋果的質(zhì)量×(1+)=橘子的質(zhì)量,據(jù)此列出方程并求解?!驹斀狻浚?+)=200解:=200÷=200÷=200×=160蘋果有160千克。13.(2023春·江蘇宿遷·六年級專題練習)解比例或方程。(1)x-40%x=
(2)x+=0.6
(3)∶=2.4∶x【答案】(1)x=;(2)x=;(3)x=2.8【分析】(1)左邊化簡為x,根據(jù)等式的基本性質(zhì):兩邊同時除以,方程得解。(2)根據(jù)等式的基本性質(zhì):兩邊同時減去,兩邊再同時除以,方程得解。(3)根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得方程x=×2.4,根據(jù)等式的基本性質(zhì):兩邊同時除以,方程得解。【詳解】(1)x-40%x=解:x=x÷=÷x=(2)x+=0.6解:x+-=0.6-x÷=÷x=(3)∶=2.4∶x解:x=×2.4x÷=1.6÷x=2.814.(2022春·河北石家莊·六年級統(tǒng)考期末)解方程。4.4x+0.4=5.2x
x÷=15×
40%x-=【答案】x=0.5;x=;x=【分析】4.4x+0.4=5.2x,根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時減去4.4x,再根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時除以5.2-4.4的差即可;x÷=15×,先計算出15×的積,再根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時乘即可;40%x-=,根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時加上,再根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時除以40%即可【詳解】4.4x+0.4=5.2x解:4.4x+0.4-4.4x=5.2x-4.4x0.8x=0.40.8x÷0.8=0.4÷0.8x=0.5x÷=15×解:x÷=10x÷×=10×x=40%x-=解:40%x-+=+40%x=+40%x=40%x÷40%=÷40%x=B級(能力提升)1.(2022·四川樂山·六年級期末)如圖,擺第一個圖形需要4根火柴,擺第二個圖形需要7根火柴那么擺第八個圖形需()根火柴,擺個圖形需要()根火柴?!敬鸢浮?/p>
25
【分析】擺第一個圖形需要4根火柴,擺第二個圖形需要7根火柴,擺第三個圖形需要10根火柴,擺個圖形需要的火柴數(shù):。從圖形上找規(guī)律,第一個圖形的最左側(cè)的1根火柴是固定,在右邊增加3根火柴圍成一個小正方形,第二個圖形在第一個圖形的基礎(chǔ)上再依次在右邊增加3根火柴圍成一個小正方形,依次類推。【詳解】由分析可知,擺個圖形需要的火柴數(shù):。當時,(根)【點睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)每多1個圖形就多3根火柴棒是解本題的關(guān)鍵。2.(2022·江蘇·六年級期中)A×B是兩個小數(shù)相乘。小明將小數(shù)A個位的6錯看成了9,小紅將小數(shù)A十分位的7錯看成了2,他倆計算的結(jié)果相差了27.3。那么小數(shù)B等于()?!敬鸢浮?.8【分析】因為A個位的6錯寫成了9,那么A這個數(shù)比原來增加了9-6=3,那么A×B的結(jié)果變?yōu)椋ˋ+3)×B,小紅將小數(shù)A十分位的7錯看成了2,相當于小紅寫的結(jié)果比原來的A少了(7-2)×0.1=0.5,那么A×B的結(jié)果變?yōu)椋ˋ-0.5)×B,用(A+3)×B-(A-0.5)×B=27.3求出B即可。【詳解】小明:9-6=3,原式:(A+3)×B=A×B+3×B小紅:(7-2)×0.1=5×0.1=0.5原式:(A-0.5)×B=A×B-0.5×B則A×B+3×B-(A×B-0.5×B)=A×B+3B-A×B+0.5B=3.5B27.3÷3.5=7.8則B=7.8【點睛】本題主要考查乘法分配律的靈活應(yīng)用和用字母表示數(shù)的知識點,用字母表示數(shù)要注意數(shù)字和字母之間的乘號可以省略,數(shù)字在前,字母在后。3.(2022·山西·六年級課時練習)如果方程ax+8=42的解是x=4,那么a+1的值是(
)。A.5 B.34 C.9.5【答案】C【分析】先把方程的解代入方程求出a的值,再把a的值代入含有字母的式子計算出結(jié)果,據(jù)此解答?!驹斀狻慨攛=4時,4a+8=42解:4a=42-84a=34a=34÷4a=8.5當a=8.5時,a+1=8.5+1=9.5。故答案為:C【點睛】使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解,利用方程的解求出a的值是解答題目的關(guān)鍵。4.(2022·湖南長沙·校考小升初真題)如果△+△+△+△+□=270,□+△+△+△+□=290,那么,□+△=()。【答案】120【分析】首先利用第二個式子減去第一個式子得出口和△的關(guān)系,用其中一個表示另一個,再代入任何一個式子求出一個,進一步求出另一個解決問題?!驹斀狻俊鳎鳎鳎鳎酰?70①□+△+△+△+□=290②②-①得:□-△=290-270=20□=20+△,③把③代入①得:△+△+△+△+△+20=270△=50所以□=20+△=70所以□+△=120【點睛】注意利用代換的方式把其中一個數(shù)用另一個數(shù)表示,兩個未知數(shù)就成了一個未知數(shù),進一步解決問題即可。5.(2022秋·江蘇·六年級專題練習)張老師搬新家,需要購買一套餐桌椅,一張桌子配6把椅子共花了1320元,如果一張桌子600元,那么一把椅子多少元?設(shè)一把椅子x元,根據(jù)題意可以列方程為(),一把椅子()元?!敬鸢浮?x+600=1320120【分析】已知一張桌子600元,假設(shè)一把椅子x元,根據(jù)等量關(guān)系:一把椅子的價錢×6+一張桌子的價錢=1320元,代入列方程解答即可?!驹斀狻拷猓涸O(shè)一把椅子x元。6x+600=13206x+600-600=1320-6006x=7206x÷6=720÷6x=120即一把椅子120元?!军c睛】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題,關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解。6.(2023·浙江臺州·六年級統(tǒng)考期末)如圖,一張桌子可以坐4人,兩張桌子拼起來可以坐6人,三張桌子拼起來可以坐8人……,像這樣五張桌子拼起來可以坐()人,坐32人需要()張桌子拼起來?!敬鸢浮?215【分析】第1張桌子,坐4人,4=2×1+2;第2張桌子,坐6人,6=2×2+2;第3張桌子,坐8人,8=2×3+2;……第n張桌子,坐(2n+2)人;按此規(guī)律解答?!驹斀狻恳?guī)律:第n張桌子,坐(2n+2)人;n=5時2×5+2=10+2=12(人)坐32人需要:(32-2)÷2=30÷2=15(張)像這樣五張桌子拼起來可以坐12人,坐32人需要15張桌子拼起來?!军c睛】通過數(shù)與形的結(jié)合,從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律,并按規(guī)律解題。7.(2023春·福建廈門·六年級??计谥校┪覈顿徶枚惙ā芬?guī)定:汽車購置稅稅率為10%。一輛汽車裸車價a元,買這輛汽車要付()元的購置稅。張叔叔付14.3萬元買了一輛這樣的車,這輛車的裸車價是()萬元?!敬鸢浮?.1a13【分析】購置稅占裸車價的10%,根據(jù)求一個數(shù)的百分之幾是多少,用乘法計算,買這輛汽車要付0.1a元的購置稅。買一輛這樣的車付了14.3萬元,是裸車價的(1+10%),求裸車價,用除法計算?!驹斀狻?0%a=0.1a(元)14.3÷(1+10%)=14.3÷1.1=13(萬元)則我國《購置稅法》規(guī)定:汽車購置稅稅率為10%。一輛汽車裸車價a元,買這輛汽車要付0.1a元的購置稅。張叔叔付14.3萬元買了一輛這樣的車,這輛車的裸車價是13萬元?!军c睛】本題考查已知比一個數(shù)多百分之幾的數(shù)是多少,求這個數(shù),明確用除法是解題的關(guān)鍵。8.(2022秋·江蘇常州·六年級??计谀┮恢徊A孔疃嗄苋菁{34個紅球和28個白球,或者18個紅球和36個白球,那么這只玻璃瓶最多能容納()白球。【答案】45個【分析】用34個紅球減去18個紅球,36個白球減去28個白球,分別得出16個紅球和8個白球,也就是8個白球=16個紅球,那么1個白球就等于2個紅球,將18個紅球全部換成白球就是18÷2=9個,然后用9加36即可解答。【詳解】(34-18)÷(36-28)=16÷8=2(個)1個白球可以換2個紅球;18÷2+36=9+36=45(個)這只玻璃瓶最多能容納45個白球。【點睛】此題主要考查學生對等量代換的理解與應(yīng)用,找出差額,等量代換即可。9.(2022·河北·唐縣教五年級期末)觀察下圖:如果每個梨一樣重,要使天平保持平衡,右邊托盤應(yīng)該添加一個(
)。A.桃 B.蘋果 C.梨 D.無法確定【答案】C【分析】1個桃的質(zhì)量=1個蘋果的質(zhì)量,根據(jù)等式的性質(zhì),天平左邊增加了1個梨,右邊也得增加1個梨,據(jù)此解答。【詳解】由分析得,如果每個梨一樣重,要使天平保持平衡,右邊托盤應(yīng)該添加一個梨。故選:C【點睛】此題考查的是等式的性質(zhì)的應(yīng)用,掌握等式兩邊同時加或減去同一個數(shù)(0除外),等式仍然成立是解題關(guān)鍵。10.(2023春·廣西·六年級小升初模擬)求未知數(shù)的值。
【答案】=10;【分析】(1)方程兩邊先同時乘6,把方程化簡成,然后方程兩邊先同時減去,再同時加上6,最后同時除以2,求出方程的解;(2)先將比例方程改寫成,把方程化簡成,然后方程兩邊先同時除以,再同時減去,最后同時加上,求出方程的解?!驹斀狻浚?)解:(2)解:11.(2022·遼寧·六年級專題練習)解方程。x-(+)-=0
x÷5+x÷0.4=2.7
2x-4×(x+3)=2x-27
3x-4(x+)=2x-
x-3×(4-x)=12
x-【答案】x=;x=1;x=;x=;x=;x=5;x=;x=;x=25【分析】x-(+)-=0,先計算出(+)的和,再加上,就是x的值,即可解答;x÷5+x÷0.4=2.7,先化簡,原式化為:x+x=2.7,先計算出與的和,再用2.7除以與的和,即可解答;2x-4×(x+3)=2x-27,先化簡方程,原式化為:4x+12=27,4x=15,用15除以4,即可解答;,先計算出+-的差,再除以,即可解答;,先化簡,方程兩邊同時乘6,原式化為:6x-2x-4=6-3x+3,化簡,原式化為:7x=13,再用13除以7,即可解答;,先化簡,方程兩邊同時×6,原式化為:6x-3x-3=18+4-2x,化簡,原式化為:5x=25,再用25÷5,即可解答;3x-4(x+)=2x-,先化簡,原式化為:3x-4x-=2x-,再化簡,原式化為:3x=-,再用-的差除以3,即可解答;x-3×(4-x)=12,先化簡方程,原式化為:x-12+3x=12,再化簡為:x=24,再用24除以,即可解答;x-,先化簡,原式化為:5x-x+2.5=102.5,再化簡,原式化為:4x=102.5-2.5,再用102.5-2.5的差除以4,即可解答。【詳解】x-(+)-=0解:x-(+)-=0x--=0x=+x=x÷5+x÷0.4=2.7解:x+x=2.7x=2.7x=2.7÷x=2.7×x=12x-4×(x+3)=2x-27解:2x-4x-4×3=2x-272x+4x-2x=27-124x=15x=解:x=+-x=+-x=x=÷x=×x=解:6x-2×(x+2)=6-3×(x-1)6x-2x-4=6-3x+36x-2x+3x=9+44x+3x=137x=13x=13÷7x=解:6x-3×(x+1)=18+2×(2-x)6x-3x-3=18+4-2x3x+2x=18+4+35x=25x=25÷5x=53x-4(x+)=2x-解:3x-4x-=2x-2x+4x-3x=-3x=1x=1÷3x=x-3×(4-x)=12解:x-12+3x=12x=12+12x=24x=24÷x=24×x=x-解:5x-(x-2.5)=20.5×55x-x+2.5=105.54x=102.5-2.54x=100x=100÷4x=2512.(2023·湖南株洲·六年級統(tǒng)考期末)今年“雙11”,菜鳥驛站連續(xù)第二年開啟“快遞包裝換雞蛋”的行動。這些紙箱一共能換30個雞蛋,每個大紙箱比每個小紙箱多換3個雞蛋。每個大紙箱能換多少個雞蛋?每個小紙箱呢?【答案】每個大紙箱換6個雞蛋;每個小紙箱換3個雞蛋【分析】根據(jù)題意可知,2個大紙箱換雞蛋的個數(shù)+6個小紙箱換雞蛋的個數(shù)=30個雞蛋,設(shè)每個小紙箱換x個雞蛋,則每個大紙箱換(x+3)個雞蛋,據(jù)此列方程解答?!驹斀狻拷猓涸O(shè)每個小紙箱換x個雞蛋,則每個大紙箱換(x+3)個雞蛋。6x+(x+3)×2=306x+2x+6=308x+6=308x=30-68x=24x=24÷8x=33+3=6(個)答:每個大紙箱換6個雞蛋,每個小紙箱換3個雞蛋?!军c睛】本題可用列方程解決問題,找到對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。13.(2023春·廣東深圳·六年級??计谥校┘鸭延袃蓚€圓柱形水杯,一個藍色的和一個綠色的。這兩個水杯的高都是20厘米,藍色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2,藍色水杯水深7厘米,綠色水杯水深4厘米,現(xiàn)在往這兩個水杯里同時倒入同樣多的水,直到水面高度相等,這時藍色水杯的水面上升了多少厘米?【答案】2.4厘米【分析】已知藍色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2,則假設(shè)藍色水杯的底面半徑是3厘米,綠色水杯的底面半徑是2厘米,已知現(xiàn)在往這兩個水杯里同時倒入同樣多的水,直到水面高度相等,則現(xiàn)在藍色水杯里水的體積-原來藍色水杯里水的體積=現(xiàn)在綠色水杯里水的體積-原來綠色水杯里水的體積,根據(jù)圓柱的體積公式:V=πr2h,設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米,據(jù)此列方程為:3.14×32×x-3.14×32×7=3.14×22×x-3.14×22×4,然后解出方程,最后用現(xiàn)在水的高度減去原來藍色水杯里水的高度,即可求出藍色水杯的水面上升了多少厘米?!驹斀狻考僭O(shè)藍色水杯的底面半徑是3厘米,綠色水杯的底面半徑是2厘米,解:設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米。3.14×32×x-3.14×32×7=3.14×22×x-3.14×22×43.14×9×x-3.14×9×7=3.14×4×x-3.14×4×428.26x-197.82=12.56x-50.2428.26x-12.56x=197.82-50.2415.7x=147.58x=147.58÷15.7x=9.49.4-7=2.4(厘米)答:這時藍色水杯的水面上升了2.4厘米?!军c睛】本題可用列方程來解決問題,關(guān)鍵是找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。C級(培優(yōu)拓展)1.(2022·云南·河口六年級期末)已知a+b+c=180,如果b=a+c,a=2c;那么6a+4b=();2c+2b=()?!敬鸢浮?/p>
720
240【分析】因為a=2c,b=a+c,所以b=3c。而a+b+c=180,所以2c+3c+c=180。這樣就能算出c是多少,進而a和b表示多少都能算出來,帶入計算即可?!驹斀狻?80÷(1+2+3)=180÷6=3030×2=6030×3=90將a=60,b=90帶入6a+4b得:6×60+4×90=360+360=720將b=90,c=30帶入2c+2b得:2×30+2×90=60+180=240【點睛】本題考查轉(zhuǎn)化思想,都轉(zhuǎn)化成最小的c,就能快速算出其他字母表示的數(shù),從而解決問題。2.(2022·浙江寧波·六年級統(tǒng)考期末)根據(jù)下面四幅圖的規(guī)律,第7幅圖中有()個●,()個△。【答案】3613【分析】第1幅圖,●0個;△有1個;第2幅圖,●有1個,1=12;△有3個;3=22-12;第3幅圖,●有4個,4=22;△有5個;5=32-22;第4幅圖,●有9個,9=32;△有7個;7=42-32;……第n幅圖,●有(n-1)2個,△有[n2-(n-1)2]個;據(jù)此規(guī)律解答?!驹斀狻恳?guī)律:第n幅圖,●有(n-1)2個,△有[n2-(n-1)2]個;當n=7時●有:(7-1)2=36(個)△有:72-62=49-36=13(個)【點睛】通過數(shù)與形的結(jié)合,從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律,并按規(guī)律解題。3.(2022·浙江杭州·六年級期末)已知☆+□+□=35,□÷☆=3,那么☆=(
)。在下面方框里寫出思考過程。【答案】5;過程見詳解【分析】□÷☆=3,等式兩邊同時乘☆,則□=3☆,再代入☆+□+□=35求出☆的值,據(jù)此解答?!驹斀狻俊酢隆睿?,則□÷☆×☆=3☆,□=3☆?!睿酰酰?5☆+3☆+3☆=357☆=357☆÷7=35÷7☆=5【點睛】本題主要考查利用等量代換和等式的性質(zhì)求未知數(shù)的值,找出□和☆的數(shù)量關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。4.(2023春·江蘇·六年級專題練習)數(shù)學中規(guī)定:連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段叫做多邊形的對角線。正多邊形……邊數(shù)456…一個頂點可畫對角線數(shù)量123…對角線總數(shù)量259…聰聰是個喜歡思考的學生,他發(fā)現(xiàn)正多邊形的對角線數(shù)量和正多邊形的邊數(shù)存在某種規(guī)律(如圖),照這樣的規(guī)律,正七邊形共有()條對角線,正n邊形共有()條對角線?!敬鸢浮?【分析】觀察題意可知,根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出(n-3)條對角線,從n個頂點出發(fā)每個引出(n-3)條,而每條重復(fù)一次,所以n邊形對角線的總條數(shù)為n(n-3)÷2(n≥3,且n為整數(shù))?!驹斀狻扛鶕?jù)分析可知,n邊形從一個頂點出發(fā)可引出(n-3)條對角線,7-3=4(條)所以從正七邊形的一個頂點出發(fā)則有4條對角線,n(n-3)÷2=(條)正n邊形共有條對角線?!军c睛】此題主要考查了多邊形的對角線,關(guān)鍵是掌握計算公式。5.(2022·山東·六年級期中)方程:的解為____。【答案】2022【分析】把x提取出來,并提取公因數(shù),分母應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求和,轉(zhuǎn)化成分數(shù)裂項求解?!驹斀狻拷猓骸军c睛】本題考查了分數(shù)裂項,如何構(gòu)造出分數(shù)裂項的基本形式是解題的關(guān)鍵。6.(2022·遼寧·六年級專題練習)解方程。3x-4(x+)=2x-
4.8÷3x+29=33
【答案】x=;x=2.8;x=4.4;x=0.4;x=;x=【分析】去括號,移項,再根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時除以3即可;移項合并同類項,再根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時除以2即可;根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時乘1.2,去括號,移項,合并同類項,再根據(jù)根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時
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