浙江省杭州八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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浙江省杭州八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50502.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或3.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.5.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.6.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過(guò)這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),,不共線時(shí),的面積的最大值是()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.8.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定9.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.10.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切11.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.12.在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標(biāo)函數(shù)14.(5分)國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開(kāi)展2019年全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng),活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū),點(diǎn)擊“開(kāi)始答題”按鈕后,系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是,則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差是____________.15.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,,則的最小值為_(kāi)_______.16.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知是遞增的等差數(shù)列,,是方程的根.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.21.(12分)2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時(shí),,∴,∴.②當(dāng)時(shí),,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.3、B【解析】

設(shè),通過(guò),再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),利用向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),用基底向量向量來(lái)表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來(lái)解決問(wèn)題.4、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.5、A【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡(jiǎn)得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時(shí),的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.8、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.9、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).10、D【解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.12、D【解析】

求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解?!驹斀狻空归_(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、12【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域,求出最優(yōu)解,即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,如下圖,由x+y-4=02x-3y-8=0,解得目標(biāo)函數(shù)y=3x-z,當(dāng)y=3x-z過(guò)點(diǎn)(4,0)時(shí),z有最大值,且最大值為12.故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則方差.15、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)方程的兩根為,由題意得,在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】方程x2-5x+6=0的兩根為2,3.由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,故d=,從而得a1=.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1.(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn,由(1)知=,則Sn=++…++,Sn=++…++,兩式相減得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考點(diǎn):等差數(shù)列的性質(zhì);數(shù)列的求和.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,解答中方程的兩根為,由題意得,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.18、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論的范圍,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立,可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,則,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù).所以,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2),則,.①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),,由,得,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);由,得,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).則,不合乎題意;②當(dāng)時(shí),即時(shí),.不妨設(shè),其中,令,則或.(i)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù).此時(shí),而,構(gòu)造函數(shù),,則,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,即當(dāng)時(shí),,所以,.,符合題意;②當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上為增函數(shù),,符合題意;③當(dāng)時(shí),同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí),則,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查恒成立問(wèn)題,正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵,屬于難題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo),可得(1),(1),結(jié)合已知切線方程即可求得,的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)可得,,再構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則(1),(1),故曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,又曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,,;(2)證明:由(1)知,,則,令,則,易知在單調(diào)遞減,又,(1),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,由于,(1),(2),故存在,使得,且當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,當(dāng),時(shí),,,單調(diào)遞減,故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn),且,即,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,由于,故(2),即,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值及最值,考查推理論證能力,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;(2)對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.21、(1)3360元;(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶的平均損失;(2)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值,再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值.【詳解】(1)記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為元,則;(2)由頻率分布直方圖,可得損失超過(guò)1000元的農(nóng)戶共有(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15(戶),損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50=3(戶),隨機(jī)抽取2戶,

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