廣東省普寧第二中學2024年高考適應性考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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廣東省普寧第二中學2024年高考適應性考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.2.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.83.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.4.已知函數(shù),,若存在實數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知復數(shù)z,則復數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i6.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.7.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.8.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.9.已知復數(shù),則對應的點在復平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線,垂足為,且,設拋物線的焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.11.下列函數(shù)中,圖象關于軸對稱的為()A. B.,C. D.12.已知復數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.工人在安裝一個正六邊形零件時,需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.14.若復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復數(shù),則________.15.變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是____.16.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個數(shù),已知,且當時,每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)證明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.18.(12分)已知兩數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值點;(2)當時,若恒成立,求的最大值.19.(12分)在平面直角坐標系中,設,過點的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點.(1)當在區(qū)間上變動時,求中點的軌跡;(2)設拋物線焦點為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.20.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點,.(1)求證:平面;(2)求證:.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.22.(10分)已知橢圓與x軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線與橢圓C交于兩點,連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點,若,直線MN是否恒過定點,如果是,請求出定點坐標,如果不是,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍,然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交,則,解得.因此,所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算,同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù),考查計算能力,屬于基礎題.2、A【解析】

依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎題.3、D【解析】

根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐,畫出圖形,結合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側棱底面的四棱錐,如圖所示:結合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.4、A【解析】

根據(jù)實數(shù)滿足的等量關系,代入后將方程變形,構造函數(shù),并由導函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當且僅當,即當時,等號成立,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查了導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.5、B【解析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復數(shù)z的虛部為.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.6、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎題.7、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎題.8、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運算能力,屬于基礎題.9、A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡,由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意,對應點為,在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算,考查復數(shù)對應點的坐標所在象限,屬于基礎題.10、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標和焦點坐標,進而求出點的坐標,代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為,由題意知,焦點,準線方程,所以,解得,把點代入拋物線方程可得,,因為,所以,所以點坐標為,代入斜率公式可得,.故選:A【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運算求解能力;屬于基礎題.11、D【解析】

圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域為,不關于原點對稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱.12、A【解析】,故,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】分析:首先將選定第一個釘,總共有6種方法,假設選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個可以從6個釘里任意選一個,共有6種選擇方法,并且是機會相等的,若第一個選1號釘?shù)臅r候,第二個可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點睛:該題考查的是有關分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個的將對應的過程寫出來,所以利用列舉法將對應的結果列出,而對于第一個選哪個是機會均等的,從而用乘法運算得到結果.14、【解析】

設,代入已知條件進行化簡,根據(jù)復數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設,由,得,所以,所以.故答案為:【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù),考查復數(shù)相等的條件,屬于基礎題.15、5【解析】

分析:畫出可行域,平移直線,當直線經(jīng)過時,可得有最大值.詳解:畫出束條件表示的可行性,如圖,由可得,可得,目標函數(shù)變形為,平移直線,當直線經(jīng)過時,可得有最大值,故答案為.點睛:本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的定點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.16、2022【解析】

根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項,利用累加法進行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項,由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用,結合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項是解決本題的關鍵.綜合性較強,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ).【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系,求出平面的法向量,通過計算與的夾角得出與平面所成角.【詳解】(I)證明:取AC的中點M,連接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP?平面PBM,∴AC⊥BP.(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,∴∠ABC=120°,∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,又AC⊥BM,∴BM∥CD.∵PA=PC,CM,∴PM,∵PB,∴cos∠BMP,∴∠PMB=120°,以M為原點,以MB,MC的方向為x軸,y軸的正方向,以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M﹣xyz,如圖所示:則A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),設平面ACP的法向量為(x,y,z),則,即,令x得(,0,1),∴cos,,∴直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos,|.【點睛】本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理使用,難度一般.18、(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【解析】

(1)求出導函數(shù),求得的解,確定此解兩側導數(shù)值的正負,確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導數(shù)求出函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域為,當時,,令得,當所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點.(2)當時,.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關鍵作用.19、(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】

(1)設的方程為,根據(jù)題意由點到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設?坐標分別是?,利用韋達定理以及中點坐標公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設的方程為于是聯(lián)立設?坐標分別是?則設的中點坐標為,則消去參數(shù)得:(2)設,,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點睛】本題考查了動點的軌跡方程、直線與拋物線的位置關系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計算能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)通過證明,即可證明線面平行;(2)通過證明平面,即可證明線線垂直.【詳解】(1)連,因為為平行四邊形,為其中心,所以,為中點,又因為為中點,所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因為平面平面,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以,.【點睛】此題考查證明線面平行和線面垂直,通過線面垂直得線線垂直,關鍵在于熟練掌握相關判定定理,找出平行關系和垂直關系證明.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點面距離即可.【詳解】(1)因為棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分別為AB,BC的中點所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設點到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點面距離,屬綜合中檔題.22、(1)(2)直線恒過定

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