第4講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案理新人教版

第4講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

【2013年高考會(huì)這樣考】

1.考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用.

2.以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識(shí)載體，考查指數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)圖象的應(yīng)用.

3.以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點(diǎn)考查參數(shù)的計(jì)算或比較大小.

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1.熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算是學(xué)好該部分知識(shí)的基礎(chǔ)，較高的運(yùn)算能力是高考得分

的保障，所以熟練掌握這一基本技能是重中之重.

2.本講復(fù)習(xí)，還應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)

的性質(zhì).重點(diǎn)解決：⑴指數(shù)塞的運(yùn)算；（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

AJKAOJIZIZHUDAOXUE................................................................................................................................................................................................................

01?考基自主導(dǎo)學(xué)必考必記：教學(xué)相長

基礎(chǔ)梳理

1.根式

⑴根式的概念

如果一個(gè)數(shù)的〃次方等于a（A>l且，N*）,那么這個(gè)數(shù)叫做a的〃次方根.也

就是，若三,則x叫做a的。次方根，其中〃>1且〃CN*.式子電叫做根式,

這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

⑵根式的性質(zhì)

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的。次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的。次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這

時(shí)，a的A次方根用符號(hào)%表示.

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的。次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)的正的

〃次方根用符號(hào)電表示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)一%表示.正負(fù)兩個(gè)〃次方根可

以合寫為+第0>0）

④當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，刷/=組

nI—&a

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，j=\a\=<.

[—aa<

⑤負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

2.有理數(shù)指數(shù)募

⑴騫的有關(guān)概念

①正整數(shù)指數(shù)騫：a"=a，a....仆(n€N*)；

②零指數(shù)塞：a°=l(aWO)；

1

③負(fù)整數(shù)指數(shù)騫：1。=1(。片0,0?N*);

a

④正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞：「=g7(a>0,m、n￡N*,且z?>l);

m11

⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞：a——=一=(a>0,m、N*_g.n>l).

nm

⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)

①aZ'=e(a>0,八sCQ)

②⑷'=式(。>0,八sCQ)

③(呀=空(。>0,b>Q,rCQ).

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

定義域R

值域（0,十四

性質(zhì)過定點(diǎn)（0,1）

當(dāng)x>0時(shí)，0<了<1;

x<0時(shí)，0<尸<1

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；

x<0時(shí)，y>1.

在（一OO,十8）上是增函

在（一8,十8）上是減函數(shù)

數(shù)

_____助#微電

一個(gè)關(guān)系

分?jǐn)?shù)指數(shù)賽與根式的關(guān)系

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)爆的實(shí)質(zhì)是相同的工分?jǐn)?shù)指數(shù)賽與根式亙以相互轉(zhuǎn)化“通常利用一

分?jǐn)?shù)指數(shù)賽進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算二一

兩個(gè)防范

⑴指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按：0

<aVl和a>l進(jìn)行分類討論.

⑵換元時(shí)注意換元后“新元”的范圍.

三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（n

畫指數(shù)函數(shù)尸及>0,且*1）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：3a）,（0,1）,T,'

V町

雙基自測(cè)

頷

1.（2011?山東）若點(diǎn)（a,9）在函數(shù)尸3、的圖象上，則tan］的值為（）.

A.0B+

3

C.1D.^3

2.（2012?郴州五校聯(lián)考）函數(shù)府=2k”的圖象是（）

1_

3.若函數(shù)4勾=汨］，則該函數(shù)在（一8,+8）上是（）.

A.單調(diào)遞減無最小值B.單調(diào)遞減有最小值

C.單調(diào)遞增無最大值D.單調(diào)遞增有最大值

/］\1。?.3

4.（2011?天津）已知0=5年"4）=5"c=|則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

5.（2012?天津一中月考）已知〃5+Q5=3,貝UW+「=

KAOXIANGTANJIUDAOXI..........

02?考向探究導(dǎo)析研析考向：案例突破

考向一指數(shù)得的化簡與求值

【例1】A化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）.

2［12

分力1旅

2

（1）'；

1

51（1\/2￥

（2）73+1_3。_?-1「卜3.斤3.

［審題視點(diǎn)］熟記有理數(shù)指數(shù)騫的運(yùn)算性質(zhì)是化簡的關(guān)鍵.

_11_11111115

+

解⑴原式=^^6,b23~6

5121

⑵原式=_5，一/1一（4%-b-^-

13、

空—5,

513

51

4yjaB4aZr

方法總結(jié)》化簡結(jié)果要求

⑴若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；

⑵若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)騫表示；

(3)結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)騫，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)哥.

【訓(xùn)練1】計(jì)算：

(1)0.027-7-十J肅一(81)。;

3

小aL3

⑵舊r

0.1~2/厘

考向二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

【例2】A已知函數(shù)《勾=1+萬,x3(a>0且aWl).

⑴求函數(shù)《匈的定義域；

⑵討論函數(shù)”匈的奇偶性；

(3)求a的取值范圍，使腕>0在定義域上恒成立.

［審題視點(diǎn)］對(duì)解析式較復(fù)雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當(dāng)變形;恒成立問題可通過

求最值解決.

解⑴由于Q—iwo,且個(gè)片1,所以x*o.

:函數(shù)《匈的定義域?yàn)閧x|x€R,且XWO}.

⑵對(duì)于定義域內(nèi)任意x,有

《一匈=[7^+5](一匈3

(in

=k+獷=儂，

，4句是偶函數(shù).

(3)當(dāng)〃>1時(shí)，對(duì)牙>0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知^>1,

11

1>0,~~~+~>0,

a—LZ

(11)

又x>0時(shí)，x>0,：.x~~~~+~>0,

"一12J

即當(dāng)x>0時(shí)，fx)>0.

又由(2)知《匈為偶函數(shù)，即《一匈=《匈，

則當(dāng)xVO時(shí)，一x>0,有《一匈=(勾>0成立.

綜上可知，當(dāng)〃>1時(shí)，《另>0在定義域上恒成立.

第十x

當(dāng)0Vz<1時(shí)，《勾=；.

a—

當(dāng)x>0時(shí)，1>/>0,^'+1>0,

aA-l<0,x3>0,止匕時(shí)人為<0,不滿足題意；

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,《一勾=人藥<0,也不滿足題意.

綜上可知，所求a的取值范圍是a>l.

方法總結(jié)》⑴判斷此類函數(shù)的奇偶性，常需要對(duì)所給式子變形，以達(dá)到所需要的

fX

形式，另外，還可利用《一勾±《為，7來判斷.

1—X

⑵將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，是解決恒成立問題的常用方法.

a

【訓(xùn)練2】設(shè)《用=+丁是定義在R上的函數(shù).

3.

⑴《為可能是奇函數(shù)嗎?

⑵若《勾是偶函數(shù)，試研究其在(0,+8)的單調(diào)性.

考向三指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用

ex+「

【例3】A(2009?山東)函數(shù)尸三~7的圖象大致為(

e-e

［審題視點(diǎn)］函數(shù)圖象的判斷要充分利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性.

e2-Y+12

解析當(dāng)x>0時(shí)，e2*—1>0且隨著x的增大而增大，故尸

e—1e—1

=1十二「>1且隨著X的增大而減小，即函數(shù)y在(0,+8)上恒大于1且單調(diào)

遞減，又函數(shù)了是奇函數(shù)，故選A.

答案A

方望期利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可研究復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比如：函

xx

\c—c-

數(shù)尸三17,尸—;一,y=igWT)等.

dI14

【訓(xùn)練3］已知方程10*=10—x,lgx+x=10的實(shí)數(shù)解分別為a和生則a+夕

的值是.

?考題專項(xiàng)突破考題展示：名師解讀

難點(diǎn)突破3—如何求解新情景下指數(shù)函數(shù)的問題

高考中對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查，往往突出新概念、新定義、新情景中的問題，題目除

最基本問題外，注重考查一些小、巧、活的問題，突出考查思維能力和化歸等數(shù)

學(xué)思想.

一、新情景下求指數(shù)型函數(shù)的最值問題的解法

【示例】A（2011?福建五市模擬）設(shè)函數(shù)了=4為在（-8,+oo）內(nèi)

fx?fx>K、

有定義.對(duì)于給定的正數(shù)&定義函數(shù)63=《X.取函數(shù)Q）

K,fx<.Ky

=2+A-+e-\若對(duì)任意的xC（—oo,+oo）,恒有反3=《為，則K的最大值為

力、（*）=代工）恒成立㈡八上）>K對(duì)任意的！

啰恒成立

I

（ffi）一?由K<f（恒成立，得K<，（上）3

廟題意，得K</（上）=2+上+屋"對(duì)上6R

Z1:恒成立.由/'（X）=1y=-—J=0,得；

-----?:cc

v----/*'=1,1=0,且上<0時(shí)，/'（工）V0,□:>0；

:時(shí)，f'（X）>0,所以/（“）min=f（0）=3,所以；

”K〈3,K的最大值為3

（JB）f

I

（H）一?此題較好地體現(xiàn)了化歸思想

二、新情景下求與指數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題的解法

【示例】A若4㈤=31*—二石㈤=2-3?-w,xCR,且Q)=

工x,工xW￡x,

',,二則”勾=工㈤對(duì)所有實(shí)數(shù)X成立，則實(shí)數(shù)2的取值

上2x?hX>4X,

范圍是.

(w)y（x）=j,（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)工成立的等價(jià)條件是

力（；，：）&T2（.T）對(duì)所有實(shí)數(shù)工成立

f(X)=H)㈡丁］(X)&fz(M)㈡3晨"W2?

3—1㈡3sTf<2對(duì)所有實(shí)數(shù)1成立.

因?yàn)閨；r—1|—I：r.—a|的最大值為|a-1\,

所以有311W20|以一1log32^1-

logs2W以W1+logs2

(Q)fl—log32W&<1+log32

此題確定I工一1-I-c-d的最大值可利用

其幾何意義，即求數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距

離差的最大值

我來逆綠

WOLAIYANLIAN

完成課時(shí)作業(yè)，大展身手

一、選擇題

1.下列函數(shù)中值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的是（）

2.（2012?杭州月考）函數(shù)尸臚@>1）的圖象是（）

3.設(shè)力=4°。乃=8°",乃=5T:則（）

A.為＞%＞EB.乃＞%＞為

C.%＞乃＞與D.%〉乃〉為

4.已知Q）=3xi（24x《4,6為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,則式藥的值域（）

A.[9,81]B.[3,9]

C.[1,9]D.[1,+oo）

5.已知函數(shù)而=才-*（＞0且￡1）,當(dāng)x＞2時(shí)，儂＞1,則儂在R上（）

A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù)

C.當(dāng)x＞2時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)亦2時(shí)是減函數(shù)

D.當(dāng)x＞2時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)行2時(shí)是增函數(shù)

二、填空題

6.卓玉十郎X,=.

7.已知正數(shù)a滿足才一2a—3=0,函數(shù)（為=k,若實(shí)數(shù)m、A滿足

則m、n的大小關(guān)系為.

三、解答題

8.函數(shù)儂=處＞＞0,且￡1）在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大盤求。的

值.

9.函數(shù)尸lg（3—4x+/的定義域?yàn)镸,當(dāng)xC〃時(shí)，求《Z=2'+2—3X4x

的最值.

10.已知函數(shù)儂=4.—4X+3.

⑴若2=—1,求儂的單調(diào)區(qū)間；

⑵若磔有最大值3,求a的值.

雙基自測(cè)

Z7T7TI—

1.解析由題意有9=9,則a=2,「.tan7=tan:=43.答案D

65v

x>l,

2.解析儂?答案B

L，mi,

i

3.解析設(shè)尸《藥，t=2x+\,則尸［r=2'+l,x€(—8,+8)

r=2-'+l在(一oo,+oo)上遞增，值域?yàn)?1,+8).

1

因此尸:在(1,+8)上遞減，值域?yàn)?0J).答案A

,⑴10

4.解析c=~log30.3=5—log30.3=51og3-,10&3.4>1。&2=1,

10

10&3.6<10g4=1,Iog3y>log33=l,

101010

XIog23.4>log,y>log3y,.,.logj3.4>log；-^>k>&3.6

又?.了=5*是增函數(shù)，.?.a>c>6.答案C

11

5.解析由已知條件號(hào)+。一9=9?整理得：。+廠=7

又(a+L)2=49,因此才十12=47.答案747

【訓(xùn)練1】

1.解

13

42,42333344

⑵原式%?七對(duì)。-b°=~

【訓(xùn)練2】2解⑴假設(shè)《匈是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)镽,

e*a(e-xa}

；《一勾=_不藥，即_+_：=一二十二，

aeIzeJ

(n

整理得a+-d+e、=O,

Ia)

1

即。+-=0,即#+1=0顯然無解.

a

■■《匈不可能是奇函數(shù).

(2)因?yàn)镼)是偶函數(shù)，所以《一匈=4匈，

ezez1

即一+G=—+—,整理得a—(eA-e^=0,

aeae卜a,

1

又?「對(duì)任意xWR都成立，.,.有〃-一=0,得〃=±1.

當(dāng)a=l時(shí)，4勾=e=+ex,以下討論其單調(diào)性，

任取Xi,X2C(0,+8)且Al<X2,

則《茍)一{A2)=exi+e—Xi—ex2—e—x2

罰一6苞exi+再一

exi+西'

.」X1,茲€(0,+oo)且畫〈茲，

/.+A^>1,e過一e&VO,ex1-\-x2—1>0,

-X

ea

.?..)一儂)<0,即傘］)<仆2),二函數(shù)儂=—+、，

ae

當(dāng)a=l時(shí)在(0,+8)為增函數(shù),

同理，當(dāng)a=—1時(shí)，儂在(0,+8)為減函數(shù).

【訓(xùn)練3】解析作函數(shù)尸《匈=10*,了=4匈=lgx,y=力(匈=10—x的圖

象如圖所示，由于y=4匈與了=/匈互為反函數(shù)，...它們的圖象是關(guān)于直線y=x

對(duì)稱的.又直線尸力⑶與尸X垂直，.)=《匈與尸力(匈的交點(diǎn)4和尸歐匈與了

=力㈤的交點(diǎn)8是關(guān)于直線尸x對(duì)稱的.而了=*與了=力(匈的交點(diǎn)為(5,5).又方

夕+3

程10'=10—X的解&為4點(diǎn)橫坐標(biāo)，同理，夕為3點(diǎn)橫坐標(biāo)..?.丁=5,即々

+夕=10.答案10

課時(shí)作業(yè)

1.解析：???l—x€R,尸4*的值域是正實(shí)數(shù)集，

\pj

.?.7=Qr的值域是正實(shí)數(shù)集.答案：B

/X,

2.解析:尸2㈤=1_當(dāng)X>0時(shí)，與指數(shù)函數(shù)尸儀2>1)

ax<

的圖象相同；當(dāng)亦0時(shí)，尸。一、與尸豕的圖像關(guān)于？軸對(duì)稱，由此判斷B正

確.答案：B

3.解析：利用幕的運(yùn)算性質(zhì)可得%=2",乃=2.，乃=小,

再由尸2*是增函數(shù)可知選D.答案：D

4.解析：由儂過定點(diǎn)(2,1)可知b=2,因而=3=2在區(qū)4］上是增函

數(shù)，可知C正確.答案：C

5.解析：令2—x=t,則胃2—x是減函數(shù)，,當(dāng)x>2時(shí)，儂>1,

.?.當(dāng)HO時(shí)，才>1.」.0。<1.」.式因在R上是增函數(shù).答案：A

11/i1\

6.解析：原式=27X2%+(2§義3萬16=2+22x33=2+4X27=110.

答案：110

7.解析：2a—3=