2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學真題含解析

二〇二三年綏化市初中畢業(yè)學業(yè)考試數(shù)學試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．本試題共三道大題，28個小題3．所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)一、單選題1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.計算的結(jié)果是（）A. B. C. D.3.如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（）A. B. C. D.4.納米是非常小的長度單位，，把用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.下列計算中，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.下列命題中敘述正確的是（）A.若方差，則甲組數(shù)據(jù)的波動較小B.直線外一點到這條直線垂線段，叫做點到直線的距離C.三角形三條中線的交點叫做三角形的內(nèi)心D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上8.綏化市舉辦了年半程馬拉松比賽，賽后隨機抽取了部分參賽者的成績（單位：分鐘），并制作了如下的參賽者成績組別表、扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．則下列說法正確的是（）組別參賽者成績ABCDEA.該組數(shù)據(jù)的樣本容量是人B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在這一組C.這組數(shù)據(jù)的組中值是D.這組數(shù)據(jù)對應(yīng)扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為9.在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，平行于x軸，點B，C的橫坐標都是3，，點D在上，且其橫坐標為1，若反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點B，D，則k的值是（）A1 B.2 C.3 D.10.某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的．在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物天，運完全部貨物．求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（）A. B.C D.11.如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.12.如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①；②；③當時，A.0個 B.1個 C.2個 D.3個二、填空題13.因式分解：_______．14.若式子有意義，則x的取值范圍是_______．15.在張完全相同的卡片上，分別標出，，，，從中隨機抽取張后，放回再混合在一起．再隨機抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是_________．16.已知一元二次方程的兩根為與，則的值為_______．17.化簡：_______．18.如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留與根號）19.如圖，在平面直角坐標系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標為_______．（結(jié)果用含，的式子表示）20.如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是______．21.在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則_______．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）22.已知等腰，，．現(xiàn)將以點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，延長交直線于點D．則的長度為_______．三、解答題23.已知：點是外一點．（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點作出的兩條切線，，切點分別為點、點．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）（2）在（1）的條件下，若點在上（點不與，兩點重合），且．求的度數(shù)．24.如圖，直線和為河的兩岸，且，為了測量河兩岸之間的距離，某同學在河岸的點測得，從點沿河岸的方向走米到達點，測得．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）（2）若從D點繼續(xù)沿的方向走米到達P點．求的值．25.某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準備租用、兩型客車（每種型號的客車至少租用一輛）．型車每輛租金元，型車每輛租金元．若輛型和輛型車坐滿后共載客人；輛型和輛型車坐滿后共載客人．（1）每輛型車、型車坐滿后各載客多少人？（2）若該校計劃租用型和型兩種客車共輛，總租金不高于元，并將全校人載至目的地．該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？（3）在這次活動中，學校除租用、兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運輸車．已知從學校到夏令營目的地的路程為千米，甲車從學校出發(fā)小時后，乙車才從學校出發(fā)，卻比甲車早小時到達目的地．下圖是兩車離開學校的路程（千米）與甲車行駛的時間（小時）之間的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，為何值時兩車相距千米．26.已知：四邊形為矩形，，，點是延長線上的一個動點（點不與點重合）．連接交于點．（1）如圖一，當點為的中點時，求證：．（2）如圖二，過點作，垂足為．連接，設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）如圖三，在（2）的條件下，過點作，交的延長線于點．當時，求線段的長．27.如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．（1）求證：．（2）求證：．（3）在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．28.如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式．（2）點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．（3）將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？

二〇二三年綏化市初中畢業(yè)學業(yè)考試數(shù)學試題考生注意： 1．考試時間120分鐘2．本試題共三道大題，28個小題3．所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)一、單選題1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故C選項合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D選項不合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．2.計算的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)冪進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)冪，熟練掌握求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．3.如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)左視圖的意義判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的左視圖為：，故選B．【點睛】本題考查了三視圖的畫法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關(guān)鍵．4.納米是非常小的長度單位，，把用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：．故選：A．【點睛】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定，確定與的值是解題的關(guān)鍵．5.下列計算中，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)積的乘方與冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，進行計算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了積的乘方與冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求解．【詳解】解：依題意，，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．7.下列命題中敘述正確的是（）A.若方差，則甲組數(shù)據(jù)的波動較小B.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離C.三角形三條中線的交點叫做三角形的內(nèi)心D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差的意義，點到直線的距離，三角形的重心的定義，角平分線的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.若方差，則乙組數(shù)據(jù)的波動較小，故該選項不正確，不符合題意；B.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故該選項不正確，不符合題意；C.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，故該選項不正確，不符合題意；D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了方差的意義，點到直線的距離，三角形的重心的定義，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8.綏化市舉辦了年半程馬拉松比賽，賽后隨機抽取了部分參賽者的成績（單位：分鐘），并制作了如下的參賽者成績組別表、扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．則下列說法正確的是（）組別參賽者成績ABCDEA.該組數(shù)據(jù)的樣本容量是人B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在這一組C.這組數(shù)據(jù)的組中值是D.這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)組的人數(shù)除以占比求得樣本的容量，結(jié)合統(tǒng)計圖求得的人數(shù)為15，進而根據(jù)中位數(shù)的定義，即可判斷B選項，根據(jù)組中值為，即可判斷C選項，根據(jù)的占比乘以，即可判斷D選項．【詳解】解：A、該組數(shù)據(jù)的樣本容量是，故該選項不正確，不符合題意；B、的人數(shù)為：，，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在這一組，故該選項正確，符合題意；C、這組數(shù)據(jù)的組中值是，故該選項不正確，不符合題意；D、這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了樣本的容量，條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，中位數(shù)的定義，求扇形統(tǒng)計圖的圓心角的度數(shù)，求頻數(shù)分布直方圖組中值，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵．9.在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，平行于x軸，點B，C的橫坐標都是3，，點D在上，且其橫坐標為1，若反比例函數(shù)（）的圖像經(jīng)過點B，D，則k的值是（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，列出等式計算即可．【詳解】設(shè)，∵點B，C的橫坐標都是3，，平行于x軸，點D在上，且其橫坐標為1，∴，∴，解得，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，熟練掌握ｋ的意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的．在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物天，運完全部貨物．求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列出分式方程即可求解．【詳解】解：設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，故選：B．【點睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，過點作于點，根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進而證明得出，當時，在上，當時，在上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，當時，在上，菱形中，，，∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當時，在上，∴，綜上所述，時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當時，函數(shù)圖象是直線的一部分，故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①；②；③當時，A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】D【解析】【分析】①根據(jù)題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進而求得，即可判斷②；過點分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)②的結(jié)論求得，勾股定理求得，即可判斷③．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設(shè)正方形的邊長為，∵點為邊的中點，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設(shè)，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題13.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．14.若式子有意義，則x的取值范圍是_______．【答案】且##且【解析】【分析】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，列出不等式計算即可．【詳解】∵式子有意義，∴且，∴且，故答案為：且．【點睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．15.在張完全相同的卡片上，分別標出，，，，從中隨機抽取張后，放回再混合在一起．再隨機抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意列表法求概率即可求解．【詳解】解：列表如下，共有16種等可能結(jié)果，符合題意的有8種，∴第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了列表法求概率，整除，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．16.已知一元二次方程的兩根為與，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將分式通分，代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，即，的兩根為與，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17.化簡：_______．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)分式加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．18.如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留與根號）【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點∵將沿弦翻折，使點與圓心重合，∴，又∴，∴是等邊三角形，∴，，∴,∴陰影部分面積故答案為：．19.如圖，在平面直角坐標系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標為_______．（結(jié)果用含，的式子表示）【答案】【解析】【分析】過點分別作軸的垂線垂足分別為，根據(jù)題意得出，則，得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線垂足分別為，∵與的相似比為，點是位似中心，∴∵，∴,∴，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了求位似圖形的坐標，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長為的等邊三角形，∴∴∴，∴點在射線上運動，如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則在中，，則，則當三點共線時，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則_______．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得出，進而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22.已知等腰，，．現(xiàn)將以點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，延長交直線于點D．則的長度為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求得，當以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，過點作交于點，當以點為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，過點作交于點，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵等腰，，．∴，∴，,∴，如圖所示，當以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，過點作交于點，∵，∴，，在中，，，∵等腰，，．∴，∵以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，如圖所示，當以點為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，過點作交于點，在中，，∴在中，∴∴∴∴∴，綜上所述，的長度為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題23.已知：點是外一點．（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點作出的兩條切線，，切點分別為點、點．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）（2）在（1）的條件下，若點在上（點不與，兩點重合），且．求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）或【解析】【分析】（1）①連接，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩圓交于點兩點，作直線交于點，②以點為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點，作直線，（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，①連接，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點兩點，作直線交于點，②以點為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點，作直線，則直線即為所求；【小問2詳解】如圖所示，點在上（點不與，兩點重合），且，∵是的切線，∴，∴，當點在優(yōu)弧上時，，當點在劣弧上時，，∴或．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24.如圖，直線和為河的兩岸，且，為了測量河兩岸之間的距離，某同學在河岸的點測得，從點沿河岸的方向走米到達點，測得．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）（2）若從D點繼續(xù)沿的方向走米到達P點．求的值．【答案】（1）河兩岸之間的距離是米（2）【解析】【分析】（1）過點作于點，設(shè)米，在中，，在中，，根據(jù)，建立方程，解方程即可求解；（2）根據(jù)題意求得的長，進而根據(jù)正切的定義，即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，過點作于點，設(shè)米，∵∴，∴，在中，，∴∴解得：答：河兩岸之間的距離是米；【小問2詳解】解：如圖所示，依題意，，∴，中，，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25.某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準備租用、兩型客車（每種型號的客車至少租用一輛）．型車每輛租金元，型車每輛租金元．若輛型和輛型車坐滿后共載客人；輛型和輛型車坐滿后共載客人．（1）每輛型車、型車坐滿后各載客多少人？（2）若該校計劃租用型和型兩種客車共輛，總租金不高于元，并將全校人載至目的地．該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？（3）在這次活動中，學校除租用、兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運輸車．已知從學校到夏令營目的地的路程為千米，甲車從學校出發(fā)小時后，乙車才從學校出發(fā)，卻比甲車早小時到達目的地．下圖是兩車離開學校的路程（千米）與甲車行駛的時間（小時）之間的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，為何值時兩車相距千米．【答案】（1）每輛型車、型車坐滿后各載客人、人（2）共有種租車方案，租輛型車，輛型車最省錢（3）在甲乙兩車第一次相遇后，當小時或小時時，兩車相距千米【解析】【分析】（1）設(shè)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人，由題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)租用型車輛，則租用型車輛，由題意列出一元一次不等式組，解不等式組，求整數(shù)解即可得出的值，設(shè)總租金為元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)，，由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過；乙車的函數(shù)圖像經(jīng)過，兩點．求出函數(shù)解析式，進而即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)每輛型車、型車坐滿后各載客人、人，由題意得解得答：每輛型車、型車坐滿后各載客人、人【小問2詳解】設(shè)租用型車輛，則租用型車輛，由題意得解得：取正整數(shù)，，，，共有種租車方案設(shè)總租金元，則隨著的增大而減小時，最小租輛型車，輛型車最省錢【小問3詳解】設(shè)，．由題意可知，甲車的函數(shù)圖象經(jīng)過；乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點．∴，，即解得或解得所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當小時或小時時，兩車相距25千米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程組，不等式組，以及函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．26.已知：四邊形為矩形，，，點是延長線上的一個動點（點不與點重合）．連接交于點．（1）如圖一，當點為的中點時，求證：．（2）如圖二，過點作，垂足為．連接，設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）如圖三，在（2）的條件下，過點作，交的延長線于點．當時，求線段的長．【答案】（1）見解析（2）（或）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)題意得出，即可證明；（2）在中，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）過點作于點，得出，為等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵為中點，∴，在和中，∴；【小問2詳解】∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴在中，，∵，∴，∴（或）；【小問3詳解】過點作于點，∵四邊形為矩形，且，∴，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴等腰直角三角形，∴，∵，∴平分，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27.如圖，為⊙O直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．（1）求證：．（2）求證：．（3）在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（