數(shù)學(xué)（北師大版選修23）練習(xí)2章整合提升

第二章本章整合提升一、選擇題1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：由題意，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為P3(2)＋P3(3)，其中P3(2)表示投3次恰好投中2次，P3(3)表示投3次恰好投中3次．由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好k次發(fā)生的概率計(jì)算公式知，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為P3(2)＋P3(3)＝Ceq\o\al(2,3)0.62(1－0.6)1＋Ceq\o\al(3,3)0.63(1－0.6)0＝0.648，選A．答案：A2．(2017·浙江卷)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則()A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2 B．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2C．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2 D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2解析：由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點(diǎn)分布，∴Eξ1＝p1，Eξ2＝p2，Dξ1＝p1(1－p1)，Dξ2＝p2(1－p2)．又∵0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，∴Eξ1＜Eξ2．把方差看作函數(shù)y＝x(1－x)，根據(jù)0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)知，Dξ1＜Dξ2．答案：A3．(2015·湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A．2386 B．2718C．3413 D．4772附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544．解析：因?yàn)閄～N(0,1)，P(－1＜X＜1)＝0.6826，所以P(0＜X＜1)＝0.3413．由概率計(jì)算公式得0.3413＝eq\f(陰影部分的點(diǎn)數(shù),總的點(diǎn)數(shù))＝eq\f(陰影部分的點(diǎn)數(shù),10000)，所以陰影部分的點(diǎn)數(shù)為3413.故選C．答案：C4．某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,9) D．eq\f(3,20)解析：記“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”為事件M，記“學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)”為事件N．則P(M)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))，P(MN)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))．那么在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).選A．答案：A二、填空題5．(2015·廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)．若EX＝30，DX＝20，則p＝________．解析：依題可得EX＝np＝30且DX＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3)．答案：eq\f(1,3)6．(2016·四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．解析：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果有(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，所以在1次試驗(yàn)中正面向上的枚數(shù)ξ的取值為0,1,2，其中P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)．在1次試驗(yàn)中成功的概率為P(ξ≥1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16)．故EX＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2)．答案：eq\f(3,2)7．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率為________．解析：方法一設(shè)A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，則P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99)．方法二第一次取到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率為eq\f(4,99)．答案：eq\f(4,99)三、解答題8．某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率為P2，在射擊比賽活動(dòng)中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測(cè)，在一次檢測(cè)中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；(2)計(jì)劃在2016年每月進(jìn)行1次檢測(cè)，設(shè)這12次檢測(cè)中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)為ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范圍．解：(1)因?yàn)镻1＝eq\f(2,3)，P2＝eq\f(1,2)，根據(jù)“先進(jìn)和諧組”的定義可得，該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的包括兩人兩次都射中，兩人恰好各射中一次，所以該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3)．(2)該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))(Peq\o\al(2,2))＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2)，而ξ～B(12，P)，所以Eξ＝12P．由Eξ≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)P\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤1．9．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解：(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2．從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04．所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)