第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（單元基礎(chǔ)卷）

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（單元基礎(chǔ)卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足（1），則的值為1．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，根據(jù)（1）即可得出的值．【解答】解：，（1），解得．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．2．設(shè)函數(shù)，則．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)直接可得結(jié)果．【解答】解：由題意可得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)函數(shù)，則．【分析】可以求出導(dǎo)函數(shù)，然后將換上即可．【解答】解：，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，函數(shù)求值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是．【分析】對(duì)求導(dǎo)，令，即可求解函數(shù)的增區(qū)間．【解答】解：因?yàn)?，所以，由，可得，所以函?shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．從橋上將一小球擲向空中，小球相對(duì)于地面的高度（單位：和時(shí)間（單位：，近似滿足函數(shù)關(guān)系．問(wèn)小球在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是．【分析】根據(jù)題意，由平均變化率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，則小球在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率的計(jì)算，注意平均變化率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．7．已知曲線上有一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為4或1【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①為切點(diǎn)，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則，即過(guò)點(diǎn)的切線的斜率；②不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則，則有，解可得或2（舍，此時(shí)切線的斜率．綜合可得：切線的斜率為4或1．故答案為：4或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解．【解答】解：由題意得的導(dǎo)函數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于基礎(chǔ)題．9．函數(shù)從到的平均變化率是2．【分析】直接利用平均變化率的計(jì)算公式求解即可．【解答】解：函數(shù)從到的平均變化率是．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均變化率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握平均變化率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)，若1是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，則．【分析】根據(jù)已知條件，對(duì)求導(dǎo)，再結(jié)合駐點(diǎn)的定義，即可求解．【解答】解：，則，是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．余弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，即可求解．【解答】解：，則，故余弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，繼而可求得切線的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案．【解答】解：由函數(shù)可得，故在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線方程為，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時(shí)，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可．【解答】解：氣球體積在，△內(nèi)平均變化率為△△，所以當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為△△．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了瞬時(shí)變化率，屬于基礎(chǔ)題．14．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，則下列各式恒成立的是A．（1）， B．（1）， C．（1）， D．（1），【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用所給信息判斷其導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得函數(shù)單調(diào)性，再進(jìn)行求解即可．【解答】不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以在上恒成立，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，整理得（1），．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．15．已知，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】由題意，利用舉例法即可判斷選項(xiàng)，，；利用不等式性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：不妨令，，，，此時(shí)，但，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，不妨令，，此時(shí)，但，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由，所以，則，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：若，不妨令，，此時(shí)，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式性質(zhì)以及不等式的大小比較，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．16．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則的圖像可能是A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可判斷．【解答】解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，，時(shí)，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟。17．求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值．【分析】根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，當(dāng)或時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，（1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間，的最大值和最小值．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求解切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，求出極值以及端點(diǎn)值，即可得到函數(shù)的最大值．【解答】解：（1），則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；（2）由（1）得，由，得，或．令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，因?yàn)?，?），，所以，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．已知函數(shù)．（其中為常數(shù)）．（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到（2）且（2），進(jìn)而求得切線方程；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，求得在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以（2）且（2），所以切線方程為，即，所以曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為．（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋钟?，令，解得，，?dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：10極小值所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；（3）解：當(dāng)時(shí)，，令，解得，（舍去）所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：100極大值極小值所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；又由且函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．20．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間，上有零點(diǎn)，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；（3）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的取值方程，即可求出的取值范圍，則，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，切線斜率為（1），又（1），切點(diǎn)為，所以切線方程為；（2），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為（1），，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)；又（3），（4），在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)．綜上，的值為0或3；（3）函數(shù)，，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，，，，又，，，解得，，構(gòu)造函數(shù)，，所以，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題．21．設(shè)函數(shù)，．（1）曲線在點(diǎn)，（2）處的切線與軸平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）證明：若，則對(duì)任意，，，有．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，令斜率為0，解方程可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義可知定義域?yàn)榇笥?的數(shù)，求出討論當(dāng)時(shí)導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)分類(lèi)討論函數(shù)的增減性；當(dāng)時(shí)討論函數(shù)的增減性；（3）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的取值范圍得到導(dǎo)函數(shù)一定大于0，則為