大學(xué)物理(尹國勝-彭成曉主編)第12章-真空中的靜電場-思考題-典型例題

PAGEPAGE12思考題12-1.怎樣認識電荷的量子化和宏觀帶電體電量的連續(xù)分布？答：常見的宏觀帶電體所帶的電荷遠大于基本電荷量，在一般靈敏度的電學(xué)測試儀器中，電荷的量子性是顯示不出來的.因此在分析帶電情況時，可以認為電荷是連續(xù)分布的.這正像人們看到流水時，認為它是連續(xù)的，而并不感覺到水是由一個個分子、原子等微觀粒子組成的一樣.12-2.

兩個完全相同的均勻帶電小球，分別帶電量q1=2C正電荷，q2=4C負電荷，在真空中相距為r且靜止，相互作用的靜電力為F.（1）今將q1、q2、r都加倍，相互作用力如何變？（2）只改變兩電荷電性，相互作用力如何變？（3）只將r增大4倍，相互作用力如何變？（4）將兩個小球接觸一下后，仍放回原處，相互作用力如何變？（5）接上題，為使接觸后，靜電力大小不變應(yīng)如何放置兩球？答：（1）作用力不變.（2）作用力不變.（3）作用力變?yōu)镕／25，方向不變.（4）作用力大小變?yōu)镕／8，方向由原來的吸引變?yōu)橥瞥猓ń佑|后電量先中和，后多余電量等分）.12-3.若通過一閉合曲面的E通量為零，則此閉合曲面上的E一定是（1）為零，也可能不為零；（2）處處為零.答：為零，也可能不為零,因為通量除了和電場強度有關(guān)，還和電場與曲面的夾角有關(guān).12-4.比較場與實物的同和異？答：同：都是物質(zhì)存在的形式，客觀存在并能為人所認識；存在的形式都具有多樣性；都有質(zhì)量、能量、動量、角動量；進行的物理過程，也遵從質(zhì)量守恒、能量守恒、動量守恒和角動量守恒等普遍規(guī)律；都不能創(chuàng)生，不能消滅，只能從一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式.異：實物由原子分子組成，具有不可入性.而場所占據(jù)的空間能為其他場同時占有，且互不影響；實物的質(zhì)量密度較大（103千克/米3），場的質(zhì)量密度很小（10-23千克/米3）；實物不能達到光速，場一般以光速傳播，實物受力可產(chǎn)生加速度，場不能被加速；實物可作參考系，場不能當參考系.12-5.能否單獨用電場強度來描述電場的性質(zhì)？為什么要引入電勢？答：可以只用電場強度來描述電場性質(zhì).但是，引入電勢后，即可從不同角度加深對電場的認識，也可簡化運算，因為電勢V是標量，一般情況下計算V比計算E方便，求得V后根據(jù)E=-gradV，即可得電場強度E了.12-6.電勢零點的選擇是完全任意的嗎？答：由定義來看，電勢只具有相對值，從此意義上說，電勢零點選擇是完全可以任意的.但在理論研究中，往往要采用一些抽象模型，如無限大帶電體、點電荷等，在這種情況下，電勢零點就有一定的限制，即必須使得電場中個點的電勢具有確定的值，這才有物理意義.例如，無限大均勻帶點平面，由于電荷分布在無限范圍，就不能選無限遠處的電勢為零，通常選帶電平面本身的電勢為零.又如點電荷，因為電荷集中在一個點上，因此不能選點電荷本身作為電勢零點，而通常選無限遠處為電勢零點.無限長帶電直線的電勢零點，既不能選在其本身上，也不能選無限遠處，只能選空間中的其他任意點.實際問題中常以大地或電器的金屬外殼為電勢零點.另外電勢零點選擇應(yīng)盡量使計算簡單.12-7.電勢與場強的關(guān)系式有積分形式和微分形式.計算時在怎樣的情況下使用較方便.答：電勢與場強的關(guān)系有微分形式：積分形式：當場強分布已知或帶電系統(tǒng)的電荷分布具有一定對稱性，因場強較易用高斯定理求出，用積分形式計算電勢方便.當帶電系統(tǒng)的電荷分布已知，電荷分布的對稱性又不明顯時，易用電勢疊加法，即計算電勢，再用微分式計算場強方便.12-8.假如電場力作功與路徑有關(guān)，定義電勢的公式還有沒有意義？從原則上講，這時還能不能引入電勢的概念？答：加入電場力的功和路徑有關(guān)，那么積分在未指明積分路徑以前就沒有意義，因為它與路徑有關(guān)，路徑不同，積分的結(jié)果也不同，相同的初位置，可以有無限多積分值，則就沒有確定的意義，即不能根據(jù)它引入電勢的概念.12-9.怎樣判斷電勢能、電勢的正負與高低？答：判斷正負，必須首先選定參考零點.將給定電荷（可正可負）移至零點，根據(jù)電場力做功的正負，決定該電荷在給定點電勢能的正負；將單位正電荷（必須是正）從給定點移至零點，電場力做功的正負，決定給定點電勢的正負.比較高低，與零點選擇無關(guān).將給定電荷（可正可負）從A點移至B點，若電場力作正功，則WA>WB，電場力作負功，WA<WB.將單位正電荷（必須是正）從A移至B，電場力作正功，VA>VB；電場力作負功，VA<VB.12-10、庫侖定律與高斯定理、環(huán)路定理的關(guān)系.答：庫侖定律是直接從實驗中總結(jié)出來的，是整個靜電學(xué)理論的實驗基礎(chǔ).由于它只是從電荷相互作用的角度研究靜電現(xiàn)象，局限性較大，只適用于相對靜止的點電荷的場.高斯定理和環(huán)路定理是庫侖定律的推論，由于它們是用場的觀點，從兩個不同的側(cè)面，對靜電場的基本性質(zhì)給出了完整的描述，適用于一切場源電荷激發(fā)的場.當然，從另外一個角度，也可以先從實驗中總結(jié)出高斯定理和環(huán)路定理，再由它們導(dǎo)出庫侖定律.比如，可根據(jù)實驗空腔導(dǎo)體內(nèi)不帶電的實驗，得到高斯定理.再把高斯定理用于中心置一點電荷的閉合球面，即可導(dǎo)出庫倫定律.因此高斯定理和環(huán)路定理又叫做靜電場的第一、第二定律，這時庫侖定律就只處于一種推論的地位.習(xí)題12-2.電子所帶電量（基本電荷-e）最先是由密立根通過油滴實驗測出的，其實驗裝置如圖所示.一個很小的帶電油滴在電場E內(nèi)，調(diào)節(jié)E的大小，使作用在油滴上的電場力與油滴的質(zhì)量平衡.如果油滴的半徑為cm，平衡時E=N/C，油的密度為0.851g/cm3,求油滴上的電荷.圖12-2題解：沒油滴的電量為Q，體密度為，半徑為R（設(shè)油滴所帶電量為體分布），這時的電場力和重力分別為F圖12-2題由F=G得：EQ=mg=OA∞∞圖12-4題12-4.將一“無限長”帶電細線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電荷線密度為λ，四分之一圓弧OA∞∞圖12-4題解：在O點建立坐標系如下圖所示.半無限長直線A∞在O點產(chǎn)生的場強：半無限長直線B∞在O點產(chǎn)生的場強：四分之一圓弧段在O點產(chǎn)生的場強：由場強疊加原理，O點合場強為：圖12-5題12-5.真空中一立方體形的高斯面,邊長a＝0.1m，位于圖中所示位置．已知空間的場強分布為：Ex=bx,Ey=0,Ez=0．常量b＝1000N/(C·圖12-5題解：如下圖所示通過x＝a處平面1的電場強度通量Φ1=-E1S1=-ba3通過x=2a處平面2Φ2=E2S2=2ba3其它平面的電場強度通量都為零．因而通過該高斯面的總電場強度通量為(N·m2/C)12-6.如圖所示，有一三棱柱放在電場強度為N/C的勻強電場中.求通過此三棱柱的電場強度的通量.圖12-6題解：三棱柱的閉合曲面有五個面組成：，，，，，通過各個面的電場強度通量為圖12-6題面：面：面：面：面：因而通過閉合三棱柱的電場強度的通量為即，在均勻電場中，穿入三棱柱的電場線與穿出三棱柱的電場線相等，故通過閉合三棱柱的電場強度的通量為零.圖12-7題12-7.一帶電細線彎成半徑為R的半圓形，其電荷線密度為λ=λ0sinθ，式中θ為半徑R與x軸所成的夾角，λ0為一常數(shù)，如圖12—7所示，試求環(huán)心圖12-7題解：在θ處取電荷元，其電量為它在O點處產(chǎn)生的場強為在x、y軸上的兩個分量，所以圖12-13題12-13.半徑為R、長為的均勻帶電圓柱體，電荷體密度為，求圓柱體軸線上O點的場強.設(shè)O點離圓柱體近端的距離為b，如圖12—13所示圖12-13題解：用積分法求解這題目時，如取點電荷為積分元，則要用三重積分.但是我們?nèi)A盤為積分元，用圓盤在軸線上一點產(chǎn)生的場強的公式，只要計算定積分就可以求得圓柱體軸線上一點的場強.如圖12-13取坐標，距O點的距離y處，一厚度為dy的圓盤在O點產(chǎn)生的場強的大小方向與Y軸相反，式中是厚度為dy的圓盤上的電荷面密度，和圓柱體的電荷密度的關(guān)系=所以有dE===[]12-14.如圖所示，在電矩為p的電偶極子的電場中，將一電荷為q的點電荷從A點沿半徑為R的圓弧(圓心與電偶極子中心重合，R>>電偶極子正負電荷之間距離)移到B點，求此過程中電場力所作的功．圖12-14題圖12-14題式中為從電偶極子中心到場點的矢徑．于是知：A、B兩點電勢分別為q從A移到B電場力作功(與路徑無關(guān))為圖12-17題12-17.圖中所示為一沿x軸放置的長度為l的不均勻帶電細棒，其電荷線密度為λ＝λ0(x-a)，λ0圖12-17題解：在任意位置x處取長度元dx，其上帶有電荷dq=λ0(x－a)dx，它在O點產(chǎn)生的電勢O點總電勢12-18.兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為R1＝0.03m和R2＝0.10m．已知兩者的電勢差為450V，求內(nèi)球面上所帶的電荷．解：設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為Q，則兩球間的電場強度的大小為(R1<r<R2)兩球的電勢差∴＝2.14×10-9C12-20、如圖所示，半徑為R1和R2的兩個同心球面均勻帶電，電量分別為Q1和Q2.（1）試求區(qū)域1，2，3中的電勢；（2）討論Q1=-Q2和Q2=-Q1R2/R1兩種情況下各區(qū)域中的電勢，并畫出V-r曲線.圖12-20題圖12-20題電勢分布：當Q2=-Q1時：V3=0；當Q2=-Q1時：在此兩種情況下的U-r曲線如圖12-21．在一個平面上各點的電勢滿足下式：，x和y為這點的直角坐標，a和b為常數(shù).求任一點電場強度的Ex和Ey兩個分量.解：根據(jù)，知：圖12-22題12-22、一高為h的直解形光滑斜面，斜面傾角為.在直角頂點A處有一電量為-q的點電荷，另有一質(zhì)量為m帶電量+q的小球在斜面的頂點B由靜止下滑.設(shè)小球可看作質(zhì)點，試求小球到達斜面底部C點時的速率.圖12-22題解：因重力和電場力都是保守力，小球從頂點B到達C點過程中能量守恒12-23.長厘米的直導(dǎo)線AB均勻地分布著線密度為λ的電荷.求：（1）在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線一端B相距R處P點的場強；AdxOAdxOBPx R （a）R′AdxBx （b）圖12-23題解：（1）如圖12-23（a）所示，取A點為坐標原點，向右為x軸正方向.直導(dǎo)線上任一dx線元到A點距離為x，其電場強度為而各段在P處產(chǎn)生場強方向相同（沿x軸正方向），故總場強為方向沿x軸正方向.（2）若以導(dǎo)線AB中心為坐標原點，如圖8—1（b）所示.dx線元在Q點產(chǎn)生的電場為（方向如圖所示）由于對稱性，其疊加場強沿y正方向，水平方向相互抵消.在Q點的場強為方向沿y軸正方向.當導(dǎo)線l為無限長時，由上式可求得場強為.12-24.如圖題12-4所示，一厚為a的無限大帶電平板，電荷體密度ρ=kx(0≤x≤a)，k為一正值常數(shù).求：（1）板外兩側(cè)任一點M1、M2的電場強度大小；（2）板內(nèi)任一點M的電場強度；（3）場強最小的點在何處.圖12-24題解：（1）在x處取厚為d圖12-24題電荷面密度為則（2）板內(nèi)任一點M左側(cè)產(chǎn)生的場強方向沿x軸正向M右側(cè)產(chǎn)生的場強方向沿x軸負向所以（3）E=0時場強最小，即12-25.如圖所示，圓錐體底面半徑為R，高為H，均勻帶電，電荷體密度為ρ，求頂點A處的場強.圖12-25題解：在離頂點A為x處選厚為dx的薄圓盤，此圓盤半徑為r圖12-25題即此薄圓盤的帶電量電荷面密度σ=電量/面積=利用均勻帶電圓盤在軸線上任一點的場強結(jié)果可得此薄圓盤在A點的場強此題也可以在柱面坐標系中用三重積分來計算.12-26.一根長為L的細棒，彎成半圓形，其上均勻帶電，電荷線密度為，試求在圓心O點的電勢.解：半圓形導(dǎo)線半徑：O點電勢由電勢迭加原理求解.，所以12-27.如圖12-27所示，在XY平面內(nèi)有與Y軸平行、位于x=a/2和x=-a/2處的兩條無限長平行的均勻帶電細線，電荷密度分別為λ和-λ，求Z軸上任一點的電場強度.圖圖12-27題解：過Z軸上任一點(0，0，z)分別以兩條帶電細線為軸作單位長度的圓柱形高斯面，如下圖所示，按高斯定理求出兩帶電直線分別在該處產(chǎn)生的場強大小為式中正負號分別表示場強方向沿徑向朝外和朝里，如圖所示，按場強疊加原理，該處合場強的大小為方向如圖所示或用矢量表示圖12-28題12-28.真空中有一高h=20cm、底面半徑R=10cm的圓錐體.在其頂點與底面中心的中點上置一q=10-6圖12-28題解：以頂點與底面圓心的中點為球心，為半徑做一球面如下圖所示可以看出，通過圓錐側(cè)面的電通量等于通過整個球面的電通量減去通過以圓錐底面為底的球冠面的電通量.整個球面的電通量為通過球冠面的電通量式中S為球冠面面積，S0為整球面積.通過圓錐側(cè)面的電通量12-29.一厚度為d的無限大平板，均勻帶電，電荷體密度為，求空間場強分布.解：由于電荷分布對無限大平板的中央平面（即圖中在x=0處）而言具有面對稱性，因此電場分布對中央平面也具面對性，同時也不難得出在中央平面上各點的場強為零.作如圖所示的圓柱形高斯面：圓柱面?zhèn)让媾c中央面垂直，左底面左在中央面上，右底面右與中央面平行，且距離為x，因電場強度的方向與x軸平行，所以通過圓柱面的電通量為：=而圓柱面所包圍的電荷.根據(jù)高斯定理得∴在無限大平板之外，同理可得∴綜上所述，空間電場的分布為()()(x≥)(r≤)用高斯定理求電場的分布，分析電場分布的對稱性是關(guān)鍵，但適當選取高斯面也重要，須知，不是選取任意高斯面都能求出具有對稱性分布的電場之場強.12-30.如圖所示，AB=2R，是以B點為中心，R為半徑的半圓，A點有正電荷B點有負電荷.(1)將正電荷從O點沿移到D點，電場力作功多少？ C圖12-30題(2)將負電荷從DC圖12-30題解：由靜電場力作功與路徑無關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)靜電場力作功與電勢差的關(guān)系.(1)由點電荷的電勢公式和電勢迭加原理得O點的電勢：D點的電勢：將電荷從D點沿移到D點電場力所作的功為(2)同理可得將-從D點沿AB的延長線移到無窮遠點，電場力所作的功為電勢能的改變?yōu)閳D12-31題12-31.一環(huán)形薄片由細繩懸吊著，環(huán)的外半徑為R，內(nèi)半徑為R/2，并有電荷Q均勻分布在環(huán)面上．細繩長3R，也有電荷Q均勻分布在繩上，如圖所示,試求圓環(huán)中心O處的電場強度(圓環(huán)中心在細繩延長線上)．圖12-31題解：先計算細繩上的電荷在O點產(chǎn)生的場強．選細繩頂端作坐標原點O，x軸向下為正如下圖所示．在x處取一電荷元dq=dx=Qdx/(3R)它在環(huán)心處的場強為整個細繩上的電荷在環(huán)心處的場強圓環(huán)上的電荷分布對環(huán)心對稱，它在環(huán)心處的場強E2=0由此，合場強方向豎直向下．12-32．一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,若保持電荷分布不變,在該球體挖去半徑為r的一個小球體,球心為,兩球心間距離,如圖所示.求:在球形空腔內(nèi),球心處的電場強度.在球體內(nèi)P點處的電場強度.設(shè)、O、P三點在同一直徑上，且.圖12-32題解：挖去電荷體密度為ρ的小球，以形成球腔時的求電場問題，可在不挖時求出電場E1，而另在挖去處放上電荷體密度為-ρ的同樣大小的球體，求