第二十七章 相似（章末測(cè)試）-【上好課】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（人教版）（解析版）

第二十七章相似（章末測(cè)試）一、單選題（每題4分，共40分）1．下列圖形中不一定是相似圖形的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)等腰直角三角形C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)正方形【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)等邊三角形一定相似，故A不符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)等腰直角三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)等腰直角三角形一定相似，故B不符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以兩個(gè)菱形不一定相似，故C符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)正方形一定相似，故D不符合題意；故選C．2．下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．3cm，4cm，5cm，6cm B．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cm D．8cm，4cm，1cm，3cm【詳解】解：A．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C．，故選項(xiàng)正確，該選項(xiàng)符合題意；D．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．如圖，在中，D、E分別在AB邊和AC邊上，，M為BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AM交DE于點(diǎn)N，則（

）A． B． C． D．【詳解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故選C.4．已知菱形，是動(dòng)點(diǎn)，邊長(zhǎng)為4，，則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（

）①；

②為等邊三角形

③

④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】在四邊形是菱形中，∵，∴∵∴∴△ABC為等邊三角形，∴又，∴，故①正確；∴，∴∠FCE=∠ACB=60°,∴為等邊三角形，故②正確；∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，又∵∠CEF=∠CAB=60°,∴∠BEC=∠AGE，由①得，∠AFC=∠BEC，∴∠AGE=∠AFC，故③正確；∴∠AEG=∠FCG∴△AEG∽△FCG，∴，∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，∴△ACF∽△FCG，∴∴∵AF=1，∴BE=1，∴AE=3，∴，故④正確.故選D.5．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，∠BAD＝60°,則△OCE的面積是（

）A． B．2 C． D．4【詳解】∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，又∵O是菱形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S△ACD=OD·AC=×2×4=4，又∵O、E分別是中點(diǎn)，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，∴S△COE=S△CAD=×4=，故選A.6．如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE=CF=AC．連接DE，DF并延長(zhǎng)，分別交AB，BC于點(diǎn)G，H，連接GH，則的值為（）A． B． C． D．1【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴，∵，∴.故選C．7．圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（

）A． B．C． D．【詳解】解：由題可知，第一個(gè)高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），第二個(gè)高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），因?yàn)橐好娑际撬降?，圖1和圖2中的高腳杯是同一個(gè)高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個(gè)三角形相似，∴，∴（cm），故選：C．8．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng)，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢(shì)是（

）A．先變長(zhǎng)后變短 B．先變短后變長(zhǎng)C．不變 D．先變短后變長(zhǎng)再變短【詳解】解：連接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四邊形CDFE為矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.設(shè)=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的長(zhǎng)是定值不變，∴當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和不變．故選：C.9．在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（

）A．四邊形 B．四邊形 C．四邊形 D．四邊形【詳解】解：如圖所示，四邊形的位似圖形是四邊形．故選：A10．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【詳解】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD//BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2），故選：A．二、填空題（每題4分，共20分）11．如圖，已知直角中，是斜邊上的高，，，則_______．【詳解】解：在中，，由射影定理得，，∴，故答案為．12．如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若的面積為1，則四邊形的面積為_(kāi)_______．【詳解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，∴EC是△ABF的中位線；在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；又∵△ECF的面積為1，∴S△ABF=4，∴S四邊形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案為：3．13．《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深A(yù)C為_(kāi)___米．【詳解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BDAC，∴△ACE∽△DBE，∴，∴，∴AC=8(米)，故答案為：8(米)．14．如圖，在中，，是邊上的高．（1）若，則________；（2）若，則________；（3）若，則________．【詳解】解：（1）∵在中，，是邊上的高．∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=4，故答案為：4；（2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，故答案為：；（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，由勾股定理得：AD=，由（1）中△ADC∽△ACB，∴，即，解得：BC=，經(jīng)檢驗(yàn)，BC=，故答案為：．15．如圖,矩形的兩邊在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),以軸上的某一點(diǎn)為位似中心,作位似圖形,且點(diǎn)的坐標(biāo),則位似中心的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【詳解】解：如圖所示，連接BF交y軸于P，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形,點(diǎn)B,F的坐標(biāo)分別為(?4,4),(2,1)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,1)，∴CG=3，∵BC∥GF，∴△PGF∽△PCB，∴GP：PC=GF：BC=1：2，∴GP=1，PC=2，∴OP=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)，即：位似中心的坐標(biāo)為（0，2）.故答案為（0，2）.三、解答題（16題8分，17-19題每題9分，20題11分，21題14分）16．如圖，相交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證:；(2)直接回答與是不是位似圖形?(3)若，求的長(zhǎng)．【詳解】(1)證明:∵，∴；(2)點(diǎn)A、D、P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為點(diǎn)B、C、P，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線不相交于一點(diǎn)，故與不是位似圖形；(3)解:∵∴∵，∴，∴∴．17．如圖，以原點(diǎn)O為位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB與△OCD的相似比．【詳解】∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(6,0)，∴OB=4，OD=6，∴，∵△OAB與△OCD關(guān)于點(diǎn)O位似，∴△OAB∽△OCD，∵相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比是相似三角形的相似比，又∵OB與OD為一組對(duì)應(yīng)邊，∴△OAB與△OCD的相似比為．18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)，①若BC＝12，求線段BE的長(zhǎng)；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．【詳解】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．19．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問(wèn)題．（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．【詳解】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得y=∴2y=∴這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為mm，mm(2)、設(shè)PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面積為S，則AE=80-x（mm）．.由（1）知=∴=∴y=則S=xy===∵∴S有最大值∴當(dāng)x=40時(shí)，S最大=2400（mm2）此時(shí)，y==60．∴面積達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩邊PQ、PN長(zhǎng)分別是40mm，60mm．20．如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①當(dāng)AD=AE時(shí)，，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合）,點(diǎn)E在AC上此情況不符合題意．②當(dāng)AD=DE時(shí)，由（1）結(jié)論可知：AB=DC=．③當(dāng)AE=DE時(shí)，是等腰直角三角形，，即．綜上所訴：或．21．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)（）圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為，，反比例函數(shù)（）的圖