2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)講義：探究之存在性問題

課程主題中考探究之存在性問題在平面直角坐標(biāo)系中探究是否存在一點(diǎn)，使此點(diǎn)或與之相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)與其他兩點(diǎn)或三點(diǎn)構(gòu)成某個(gè)特殊幾何圖形.這類題不僅要求對(duì)平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)和特殊三角形或四邊形的知識(shí)熟練掌握，還要善于挖掘其中隱含的數(shù)量關(guān)系，對(duì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力要求較高.在平面直角坐標(biāo)系中，探討是否存在一些點(diǎn)，使其構(gòu)成某些特殊圖形，有以下常見類型：(1)構(gòu)造等腰三角形，通常要考慮以已知的線段“為腰”和“為底”兩種情況；(2)構(gòu)造直角三角形，要考慮以三個(gè)頂點(diǎn)分別為直角三角形的情況；(3)構(gòu)造相似三角形，現(xiàn)根據(jù)題目的要求確定相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)構(gòu)造平行四邊形，①利用點(diǎn)的平移表示點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解；②做出圖形，構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)移線段長，進(jìn)而表示點(diǎn)的坐標(biāo)；③不需作圖，只需明確點(diǎn)的大致位置，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程進(jìn)行求解.考點(diǎn)一特殊三角形存在性問題【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,2),動(dòng)點(diǎn)P在y=33x的圖象上運(yùn)動(dòng)(不與O重合)，連接AP.過點(diǎn)P作PQ⊥AP,交x(1)求線段AP長度的取值范圍；(2)試問：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QAP是否為定值?如果是，求出該值；如果不是，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).考點(diǎn)二特殊四邊形存在性問題【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-12(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD=2∠(3)已知E、F分別是直線AB和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).【例2】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，((1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△ACD的周長最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.(3)點(diǎn)E是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE和BE.求△BCE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E(4)若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)三相似三角形存在性問題【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD‖BC,AB=DC,,BC在x軸上,點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為(1)求出直線AC的函數(shù)解析式；(2)求過點(diǎn)A,C,D的拋物線的函數(shù)解析式;(3)在拋物線上有一點(diǎn)P(m,n)(n<0),過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,垂足為M,連接PC,使以點(diǎn)C,P,M為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOC相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若直線y=-13x+(3)點(diǎn)B是該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D是直線x=22上位于x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是第四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線.x=22右側(cè).若以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的△BED與△AOC相似，求點(diǎn)一、選擇題1.如圖,△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn).也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是()A.2.5sB.3sC.3.5sD.4s2.如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題3.如圖,已知線段AB=4,O是AB的中點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)O,∠1=60°,P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn),當(dāng)△APB為直角三角形時(shí)，則BP=.三、解答題4.如圖所示，二次函數(shù)y=kx-12+2的圖象與一次函數(shù)y=kx-k+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)若△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠ODC=2∠BEC,5.如圖1,在△ABC中,AB=AC=20,tanB=34,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合).以D127為頂點(diǎn)作∠ADE=∠B,射線DE交AC(1)求證:△(2)當(dāng)DE∥AB時(shí)(如圖2),求AE的長;(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF=CF?若存在，求出此時(shí)BD的長；若不存在，請(qǐng)說明理由，6.如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過點(diǎn)P的直線.y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).7.已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于A(-3,0),B(1,0)(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).①如圖1,設(shè)k=AFAD,當(dāng)②如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形是否與△ABC相似?若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說明理由.如圖,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2△BCD的面積等于△AOC的面積的34時(shí),(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(3,0),B(-1,0)(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)問在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAM為直角三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.(3)若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D，滿足DA=OA，過D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)△ADG的內(nèi)心為I，試求CI的最小值.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A(4,3),與y軸相交于點(diǎn).B0(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)并求直線AB的表達(dá)式；(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線和對(duì)稱軸l上，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).如圖1,△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)A、O、B分別落在拋物線F1:y=13x2+73x的圖象