電場(chǎng)中能量極值問(wèn)題探究

電場(chǎng)中能量極值問(wèn)題探究在每年的高考試卷中，能量問(wèn)題作為三大觀點(diǎn)之一，是高中物理主干知識(shí)的“超重點(diǎn)”，其中關(guān)于能量極值問(wèn)題的分析探討更是經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)，也是命題壓軸的首選。分析解決這類問(wèn)題一般要經(jīng)歷以下思考過(guò)程：（1）該過(guò)程涉及哪些力做功？（2）該過(guò)程涉及哪些能量變化？哪些能增加，哪些能減少？（3）該過(guò)程中，考查哪種能量極值，可否直接求？或者，根據(jù)能量守恒，除被考查的那種能量以外，其他能的總和的極值是否方便求解，進(jìn)而間接求被考查的那種能量的極值。那么關(guān)于電場(chǎng)中的能量極值問(wèn)題，我們肯定也要從這三個(gè)思路入手：一、僅受電場(chǎng)力作用的能量極值問(wèn)題：例題1：如圖，圓O所在平面內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)存在，電場(chǎng)方向與圓面平行。一個(gè)帶正電荷的微粒(不計(jì)重力)從圖中A點(diǎn)出發(fā)，以相同的初動(dòng)能12J在圓內(nèi)向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，已知圖中AB是圓的一條直徑，∠BAC=30°，只有當(dāng)該微粒從圖中C點(diǎn)處離開圓面時(shí)的動(dòng)能才能達(dá)到最大值24J，則(?A.電場(chǎng)沿O→C方向 B.電場(chǎng)沿A→C方向

C.若粒子從B點(diǎn)離開，其動(dòng)能為18J D.答案：AD

解析：帶正電的粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中僅受電場(chǎng)力作用，只有電場(chǎng)力做功，只發(fā)生電勢(shì)能與動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意，帶電粒子以相同的初動(dòng)能從A點(diǎn)出發(fā)，從C點(diǎn)離開圓面時(shí)，帶電粒子只受電場(chǎng)力作用，粒子的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理知，說(shuō)明電場(chǎng)力做功最大，即AC間電勢(shì)差最大；若過(guò)C點(diǎn)作勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)面，該等勢(shì)面與圓只能有一個(gè)交點(diǎn)，即該等勢(shì)面在C點(diǎn)與圓相切，而電場(chǎng)方向與等勢(shì)面是垂直的，從A到C電場(chǎng)力對(duì)小球做正功，小球的位移方向與電場(chǎng)力的夾角小于90°，因而電場(chǎng)方向沿OC方向，A正確，B錯(cuò)誤；從A到C，由動(dòng)能定理：qER(1+sin30°)=EkC-EkA=24J-12J=12J，從A到B小結(jié)：本題巧妙地利用了勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電勢(shì)最高最低的點(diǎn)，只有一個(gè)。且圓心和電勢(shì)最高最低的點(diǎn)的連線就是電場(chǎng)線的方向。也就是該圓在電勢(shì)最高、最低點(diǎn)的切面就是等勢(shì)面。抓住這一作圖特點(diǎn)，本題迎刃可解。例題2：如圖所示，半徑為R的圓是圓柱形區(qū)域的橫截面，c為圓心，∠acb=600，在圓上a點(diǎn)有一粒子源能以相同的速率向圓面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，柱形區(qū)域內(nèi)存在平行于圓面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子從電場(chǎng)中射出的最大動(dòng)能是初動(dòng)能的4倍，經(jīng)過(guò)b點(diǎn)的粒子在b點(diǎn)的動(dòng)能是初動(dòng)能的3倍，己知初動(dòng)能為Ek，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，下列選項(xiàng)可能正確的有()

A.電場(chǎng)強(qiáng)度大小為2EkqR B.電場(chǎng)強(qiáng)度大小為14EkqR

C.電場(chǎng)強(qiáng)度方向從a到b答案：ABC

解析：方法一：公式法：設(shè)電場(chǎng)方向與ab連線夾角為θ，為使粒子離開電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能最大，則需要粒子沿電場(chǎng)線方向的運(yùn)動(dòng)的位移越大越好。依據(jù)題意，粒子的射出點(diǎn)d和圓心c點(diǎn)連線一定和電場(chǎng)方向平行，如圖所示。在粒子從a運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中由動(dòng)能定理有：qERcos?θ=2Ek，對(duì)離開電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能最大的粒子在電場(chǎng)中由動(dòng)能定理有：qER[1+sin∠eac=3Ek即qER[1+sin(90°+θ-60°)]=3Ek，由以上兩式解得：sin?θsinθ=-473時(shí)，cosθ方法二：作圖法;延長(zhǎng)ab至m，使bm的長(zhǎng)度為ab的一半。那么如果勻強(qiáng)電場(chǎng)沒(méi)有邊界，m點(diǎn)電勢(shì)與圓形電場(chǎng)區(qū)域里的出射點(diǎn)d電勢(shì)相等，而圓邊界上僅有一個(gè)點(diǎn)與m電勢(shì)相等，所以d點(diǎn)可通過(guò)過(guò)嗎點(diǎn)做圓的切線尋找，于是出現(xiàn)上圖兩種情況。規(guī)范做圖，第一個(gè)圖很容易看出來(lái)四邊形mdcf為矩形，場(chǎng)強(qiáng)方向沿ab方向，很容易選出AC答案。當(dāng)然作為選擇，我們也可以把圖做大一些，靠直尺測(cè)量求電場(chǎng)線與ab夾角的余弦，迅速排除D，選擇B，如果計(jì)算也可以，如下：電場(chǎng)線與ab夾角的余弦，就是∠amg的正弦。根據(jù)幾何關(guān)系?cmf??mcg所以有sin∠amg=sin∠cmg-∠cma=小結(jié)：本題第一種方法屬于常規(guī)思路解題，面臨的就是解三角函數(shù)方程組，計(jì)算量很大，導(dǎo)致本題難度較大。但是第二種方法，通過(guò)規(guī)范作圖，找到了場(chǎng)強(qiáng)的真正方向，那么再求解，肯定難度就低了很多。所以，這種作圖法，還是需要大家去體會(huì)的。二、復(fù)合場(chǎng)中的能量極值問(wèn)題：例題3：如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓形光滑絕緣軌道，軌道的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，軌道所在空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為mgq，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與水平面夾角為30°，軌道內(nèi)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球，給小球一個(gè)沿軌道切線的初速度，使小球恰能沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，忽略一切阻力，則小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()

A.在M點(diǎn)的速率最小B.最大速率為5gRC.對(duì)軌道的壓力最大為6mg D.電勢(shì)能最小時(shí)，動(dòng)能最大答案：BC解析：小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的重力和電場(chǎng)力恒定不變，由平行四邊形定則可知它們的合力方向指向右下方，大小為F合=mg根據(jù)“等效場(chǎng)”的原理，小球通過(guò)P點(diǎn)的速率最小，A錯(cuò)誤；通過(guò)“等效最高點(diǎn)”P點(diǎn)時(shí)有F合=mg=mvP2R，解得vP=gR，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理得F合×2R=12mvQ2-12m小結(jié)：本題通過(guò)利用“等效場(chǎng)”的原理，把一個(gè)復(fù)合場(chǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的只受一個(gè)恒力作用的豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)，但是涉及到動(dòng)能極值，需要看合力方向上位移最大的位置；涉及到重力勢(shì)能極值，需要看豎直方向的最高最低點(diǎn)在哪，涉及到電勢(shì)能極值，需要看電場(chǎng)力方向上最遠(yuǎn)的位置在哪。也就是熟悉各種功能關(guān)系，并且利用好功的定義式，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。例題4：如圖所示，長(zhǎng)為3l的輕桿AB兩端分別固定有小球a、b(可視為質(zhì)點(diǎn))，小球a的質(zhì)量為m、帶電量為+q，小球b的質(zhì)量為m、不帶電。輕桿可繞桿上的固定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，OB的長(zhǎng)度為l。豎直面內(nèi)存在水平向左、大小為E=2mg3q的勻強(qiáng)電場(chǎng)(未畫出)。當(dāng)桿處在水平位置時(shí)，釋放小球a、b，小球a、b發(fā)生擺動(dòng)。已知sin37°=0.6，（1）當(dāng)OA桿向下轉(zhuǎn)過(guò)多大角度時(shí)，系統(tǒng)獲得最大動(dòng)能；(2)求系統(tǒng)獲得最大動(dòng)能時(shí)，小球A的速度大??；答案：（1）37°角；（2）8解析：（1）設(shè)轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能最大，此時(shí)系統(tǒng)合力做功表達(dá)式為W=mg根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們知道轉(zhuǎn)過(guò)37°角時(shí)，系統(tǒng)合力做功最多，系統(tǒng)動(dòng)能最大。(2)OA桿由水平位置向下轉(zhuǎn)動(dòng)37°過(guò)程，系統(tǒng)合力做功表達(dá)式為W=對(duì)小球a、b組成的系統(tǒng)，由動(dòng)能定理有1a、b小球的角速度相同，其線速度v=ωr解得v小結(jié)：本題通過(guò)利用動(dòng)能最大時(shí)，找出合力做功的表達(dá)式，也就是利用解析式法，分析判定出37°角時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大，也是一種常見思維。綜合以上幾個(gè)例題，不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)電場(chǎng)中的能量極值問(wèn)題，歸根結(jié)底依舊是功能關(guān)系，只是更具備靈活性了，但是我們不難發(fā)現(xiàn)，電場(chǎng)中的能量極值問(wèn)題，更喜歡借助一個(gè)圓來(lái)考查，畢竟這個(gè)做題技巧還是需要我們深刻體會(huì)的，并且學(xué)以致用以后，會(huì)加快我們快速解題的。跟蹤訓(xùn)練：1．如圖所示，AB，CD是一個(gè)圓的兩條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度方向平行該圓所在平面，在圓周所在的平面內(nèi)將一個(gè)帶正電的粒子從A點(diǎn)以相同的速率沿不同方向射向圓形區(qū)域，粒子將經(jīng)過(guò)圓周上的不同點(diǎn)，其中經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)粒子的動(dòng)能最?。舨挥?jì)粒子所受的重力和空氣阻力，則下列判斷中正確的是(????)A.電場(chǎng)強(qiáng)度方向由A指向B B.電場(chǎng)強(qiáng)度方向由C指向DC.粒子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大 D.粒子到達(dá)D點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能最小答案：BD

解析：僅在電場(chǎng)力作用下從A點(diǎn)進(jìn)入，離開C點(diǎn)的動(dòng)能最小，電勢(shì)能最大，則C點(diǎn)是沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向離A點(diǎn)最遠(yuǎn)，所以電場(chǎng)線與過(guò)C的切線相垂直，由于帶電微粒是帶正電，故勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向沿CD方向，由C指向D，A錯(cuò)誤，B正確；由上可知，電場(chǎng)線方向從C到D，由沿著電場(chǎng)線方向，電勢(shì)降低，則有D點(diǎn)的電勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，C錯(cuò)誤，D正確。故選BD。2.如圖所示，圓形區(qū)域豎直軸與水平軸分別為PQ和MN，O為圓心?？臻g存在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。帶電的微粒以相同速率v沿各個(gè)方向從A點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，從圓周上不同點(diǎn)離開，其中從C點(diǎn)離開時(shí)動(dòng)能最大。則以下判斷正確的是()

A.從M點(diǎn)離開圓形區(qū)域的帶電微粒的動(dòng)能最小B.從M點(diǎn)離開圓形區(qū)域的帶電微粒的機(jī)械能最小C.從N點(diǎn)離開圓形區(qū)域的帶電微粒的機(jī)械能最大D.到達(dá)B點(diǎn)的粒子電勢(shì)能最大答案：BC

解析：正點(diǎn)電荷以相同速率v沿各個(gè)方向從A點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，從圓周上不同點(diǎn)離開，其中從C點(diǎn)離開時(shí)動(dòng)能最大．根據(jù)動(dòng)能定理知，合力做功最大，即AC沿合力方向上的距離最大．由于AP兩點(diǎn)合力方向上的距離不是最小，根據(jù)動(dòng)能定理知，合力做功不是最小，則離開時(shí)帶電微粒的動(dòng)能不是最小，從N點(diǎn)離開時(shí)，合力做功不為零，根據(jù)動(dòng)能定理知，從N點(diǎn)離開時(shí)的速率大于v，從A點(diǎn)到M點(diǎn)電場(chǎng)力所做的負(fù)功最多，電勢(shì)能增加最多，所以到達(dá)M點(diǎn)的粒子電勢(shì)能最大．故BC正確。3．如圖所示，在光滑絕緣水平面上有一半徑為R的圓，AB是一條直徑，空間有與水平面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。在圓上A點(diǎn)有一發(fā)射器，以相同的動(dòng)能平行于水平面沿不同方向發(fā)射帶電量為+q的小球，小球會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，以過(guò)C點(diǎn)的小球動(dòng)能最大，且AC兩點(diǎn)間的距離為3R。忽略小球間的相互作用，下列說(shuō)法正確的是(A.電場(chǎng)的方向與AB間的夾角為30B.電場(chǎng)的方向與AB間的夾角為60C.若A點(diǎn)的電勢(shì)φA=0，則CD.若在A點(diǎn)以初動(dòng)能Ek0發(fā)射的小球，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能答