高等數(shù)學(xué)測試題及解答

高等數(shù)學(xué)測試題及解答(分章「O'」嗷~~)

第一單元函數(shù)與極限

一、填空題

1、已知f(sinx

2)1cosx,則f(cosx)o

2

2、lim(43x)

2xx(lx)o

3、x0時，tanxsinx是x的階無窮小。

4、limxksinxOlx0成立的k為。

5、limearctanxxx

ex1,6>f(x)

xb,xOx0在x0處連續(xù)，則bo

7^limln(3x1)

6xo

x08、設(shè)f(x)的定義域是[0,1],則f(lnx)的定義域是o

9、函數(shù)y1ln(x2)的反函數(shù)為。

10、設(shè)a是非零常數(shù)，則lim(

xxaxa

1)Xo

11、已知當(dāng)x0時，(1ax2)31與cosx1是等價無窮小，則常數(shù)a

12、函數(shù)f(x)arcsin

13、lim

no3x1x2的定義域是ox2

x2a

xax2x2o14、設(shè)lim(x)8,則ao

15、lim(nnn1)(n2n)=。

二、選擇題

1、設(shè)￡&)*6)是[1,1]上的偶函數(shù)，11(分是[1,1]上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)

必為奇函數(shù)。

(A)f(x)g(x)；(B)f(x)h(x)；(C)f(x)[g(x)h(x)]；(D)

f(x)g(x)h(x)o第1頁2、(x)1x

1x,(x)13x,則當(dāng)x1時有。

(A)是比高階的無窮??；(B)是比低階的無窮小；

(O與是同階無窮?。?D)、o

x1,3、函數(shù)f(x)3x1kx0(x1)x0在x0處連續(xù)，貝lj

ko(A)3

2；(B)2

3；(C)1；(D)0o

4^數(shù)列極限limn[ln(n1)Inn]o

n

(A)1；(B)1；(C)；(D)不存在但非。

sinxxx5>f(x)0

IxcosxxOxOx0,貝ljx0是f(x)的。

(A)連續(xù)點(diǎn)；(B)可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。

6、以下各項(xiàng)中f(x)和g(x)相同的是()

(A)f(x)Igx,g(x)21gx；(B)f(x)x,g(x)

(C)f(x)7、limsinx

|x|22x；(D)f(x)1,g(x)secxx,g(x)x3x1；432xtan2xo=()

x0

(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在。

1

8、lim(lx)x()x0

1(A)1；(B)-1；(C)e；(D)eo

9^f(x)在xO的某一去心鄰域內(nèi)有界是limf(x)存在的()xx0

(A)充分必要條件；(B)充分條件；(C)必要條件；(D)既不充分也不必要條

件.第2頁10、limx(x1x)()

x

2

(A)1；(B)2；(C)

12

；(D)0o

11>設(shè){an},{bn},{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且liman0,limbn1,limcn,則必有()

n

n

n

(A)anbn對任意n成立；(B)bncn對任意n成立；(C)極限limancn不存

在；(D)極限limbncn不存在。

n

n

12、當(dāng)x1時，函數(shù)

Xlx1

2

1

ex1的極限()

(A)等于2；(B)等于0；(C)為；(D)不存在但不為。三、計(jì)算解

答1、計(jì)算下列極限(1)lim2sin

n

n

x2

n1

；(2)lim

cscxcotx

X

3x

x0

2x1

(3)limx(ex1)；(4)lim

xx2x1

1

(5)lim

X

8cosx2cosx12cosxcosx1

2

2

3

；(6)lim

xsinx

xtanx

33

cosx

X0

1llln(l

(7)lim；(8)limn12x223n(n1)arctan

2x)4x

2

o

x211

axb3、試確定a,b之值，使lim2。xx1

4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限

1

1213

1213

In

InloIn

(1)lim

n

1

(2)設(shè)xla0,且xn1

nnnn

xx

axn(n1,2,),證明limxn存在,并求此極限值。

n

xx

5^討論函數(shù)f(x)lim

n

的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。

第3頁

6、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且af(x)b,證明在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn),使

f()o第4頁第一單元函數(shù)與極限測試題詳細(xì)解答

一、填空題1、2sin

2

xof(sin

x2

)1(12sin

2

x2

2

)22sin

2

x2

2

f(x)22xf(cosx)22cos

x2sin

2

Xo

2、0。lim

(43x)

2

2

x

x(lx)

lim

9x24x16

XX

lim

3

2

x

Oo

3、高階。lim

tanxsinx

x

tanx(1cosx)

x

xOx0

1im(lcosx)0,

x0

tanxsinx是x的高階無窮小。

4、k0。

sin

lx

為有界函數(shù)，所以要使limxsin

x0

k

lx

0,只要limx0,即kOo

x0

k

x

5、0olimearctanx0(lime0,arctanx(

x

2

xx

2

x

))o

6、b2olimf(x)lim(xb)b,limf(x)lim(e1)2,

x0

x0

x0

x0

f(0)b,b2o

12

ln(3x1)

6x

3x6x

12

7、lim

x0

lim

x0

a

8、1xe根據(jù)題意要求0Inx1,所以1xeo9、ye

x1

2y1ln(x2),(y1)ln(x2),x2e

y1

xe

y1

2,y1ln(x2)的反函數(shù)為ye2axa

1

xa

x2a2axa

x1

2o

10、e

2a

原式二lim(l

x

)e

2a

o

11、a

32

由(1ax)3P

2

13

ax與cosx1?

2

12

x,以及

2第5頁

1

1

limx0

lim

(1ax)Icosx1

32

2

3

ax12

2

x0

X

2

23

a1,

可得a

14

12

o

12、x由反三角函數(shù)的定義域要求可得

3x11111x1

解不等式組可得，的定義域?yàn)椤f(x)1x42

42x11x0

13、0lim

n

x2

2

x2lim

2

(x2

2

x2)(x2x2

2

22

x2)

2

n

x2

2

lim

x2(x2)x2

2

22

n

x2

2

Oo

14、ln2lim(

x

x2axa

)lim(l

x

x

3axa

)

xa3ax

3axa

e

3a

8

3aln8a

13

ln8

ln23

3

ln2o

15、2lim(n

n

n1)(n2n)lim

(nn1)2

n)

n

(n2

2(1

lim

n

2n

In

)2。

1

二、選擇題

1、選(D)令F(x)f(x)g(x)h(x),由￡&),86)是［1,1］上的偶函數(shù),h(x)是

1,1］上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。

2、選(C)lim

(x)(x)

x1

1im

1x(lx)(1

x1

x)

lim

1x

(1x)［l

x1

(1x)］第6頁

lim

1x(lx)

13(1x)

x1

32

1

Ox02xlxOlx

4、選(B)limn[ln(n1)Inn]limln(l)n

xn

3、選(A)limf(x)

5、選(C)f(0)1,f(O)0,f(0)0

6、選(C)在(A)中f(x)lnx2的定義域?yàn)閤0,而g(x)21nx的定義域?yàn)?/p>

x0,

f(x)g(x)故不正確

在(B)f(x)x的值域?yàn)?，),g(x)2

x的值域?yàn)閤0,故錯

在(C)中f(x)1的定義域?yàn)镽,g(x)sec2xtanx的定義域?yàn)?/p>

{xR,xk

f(x)g(x),故錯

7、選(D)lim

x0

sinx

|x|

lim

x0

sinxx

1,lim

x0

sinx|x|

lim

x0

sinxx

1

lim

sinx|x|

x0

不存在

11

8、選(D)lim(lx)

x0

x

lim[l(x)]

x0

X

(1)

e

1

>

9、選(C)由函數(shù)極限的局部有界性定理知，limf(x)存在，則必有xO的某一去心

xxO

鄰域使f(x)有界，而f(x)在xO的某一去心鄰域有界不一定有l(wèi)imf(x)存在，例如

xxO

limsin

x0

lx

,函數(shù)1sin

lx

1有界，但在X0點(diǎn)極限不存在

10、選(C)

(limx(x1x)limx

x

x

2

(x1x)(x1x)

X1X

第7頁

22

lim

xx1x

2x

liml

11

x2x112

11、選(D)(A)、(B)顯然不對，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列

“當(dāng)n

充分大時”的情況，不可能得出“對任意n成立”的性質(zhì)。

(C)也明顯不對，因?yàn)椤盁o窮小?無窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。

12、選(D)lim

xlx1211x1

lex1lim(xl)ex1200x11

xHimxlx12ex1lim(x1)ex1x1

當(dāng)x1時函數(shù)沒有極限，也不是。

三、計(jì)算解答

1、計(jì)算下列極限：

(1)解：lim2sinnnx2n1lim2nnx2n12xo

1

(2)解：limcscxcotx

x

lx0limsinxx0cosxx2sinxlimlcosxlim1。2xOx0xxxsinx2

(3)解：limx(ex1)limxxxlx1。

(4)解：lim(x2x12xl)3xlim(lx22x1)3xlim[(1xlx1

2)llx22]o3

[limlxlx1

2

2)x12][limlx31x121)2]e33

(5)解：lim

x8cosx2cosx12cosxcosx123limx(2cosx1)(4cosx1)(2cosx1)(c

osx1)

3

lim

x4cosxlcosx141

2112o31第8頁

(6)解:lim

xsinx

xtanx

cosx

x0

lim

1xsinxcosxxtanx(xsinx

lim

1cosx2x

2

x0

cosx)

1434

lim

xsinx1cosx

2x

2

x0

lim

xsinx2x

2

xOx0

12

o

(7)解：lim[

x

112

12

123

12

13

ln(n1)

In

]

1

lim[(1

x

)0(

n1

)]

lim(l

x

In1

)lo

33

(8)解：lim

ln(larctan

2

2x)4x

2

3

x2

lim

2x4x

2

x232

lim(

x2

12x

1

)3

14

o

3、解：lim(

x

Xlx1

2

axb)lim

x1ax(ab)xb

x1

12

2

x

lim

(1a)x(ab)x(1b)

x1

X

1aOa1

13o

(ab)b22

1

121312

InIni11213

1

1

loIn

In11

In1

4、(1).1

1

而lim

In1

1

11lim

x

x

1

(2)先證有界(數(shù)學(xué)歸納法)

n1時，x2

axl

aaa

axk

a

2

設(shè)nk時，xka,則xk1數(shù)列｛xn｝有下界,

a第9頁

再證｛xn｝單調(diào)減,

xn1

xnaxnxnaxn1且xn0

xn1xn即｛xn｝單調(diào)減,limxn存在,設(shè)limxnA,nn則有

AaAA0(舍)或Aa,limxnan5、解：先求極限得f(x)limn

n2x2xn1101lxOx0x0

而limf(x)1limf(x)1f(0)0

x0x0

f(x)的連續(xù)區(qū)間為(,0)(0,)x0為跳躍間斷點(diǎn).。

6、解:令F(x)f(x)x,則F(x)在［a,b］上連續(xù)

而F(a)f(a)a0

F(b)f(b)b0

由零點(diǎn)定理,(a,b)使F()。即f()0,亦即f()

第10頁

第二單元導(dǎo)數(shù)與微分

一、填空題

1、已知f(3)2,則limf(3h)f(3)

2h

f(x)

xx0=o=oh02.f(0)存在，有f(0)0,則lim

3^yxxarctan1

，則yx1=o

4、f(x)二階可導(dǎo)，yf(1sinx),則y=；y=。

5、曲線yex在點(diǎn)處切線與連接曲線上兩點(diǎn)(0,1),(l,e)的弦平行。6、

yIn[arctan(1x)],則dy二。

7、ysin2x4,則dydxdx

12tx8>若f(t)limt(1),則f(t)=o

xx二，dy2二o

9、曲線yx21于點(diǎn)處的切線斜率為2。

10、設(shè)yxex,則y(0)。

11、設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exycos(xy)0確定，則

2x1t2dy12、設(shè)則2dxycostdydx

二、單項(xiàng)選擇

1、設(shè)曲線y1

x和yx在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則tan=()。2

(A)1；(B)1；(C)2；(D)3o

ktanx3、函數(shù)f(x)e,且f()e,則k()。4

(A)1；(B)1；(C)

4、已知f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且lim

處切線的方程是。12；(D)2o2,則曲線y￡&)在(1,2)

f(1x)f(l)2xx0

(A)y4x6；(B)y4x2；(C)yx3；(D)yx1。第11頁5、

設(shè)f(x)可導(dǎo)，則limf(xx)f(x)

x22=o

xOCA)0；(B)2f(x)；(C)2f(x)；(D)2f(x)f(x)。

6、函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(x)[f(x)]2,則f(n)(x)=o(A)

n[f(x)]n1；(B)n![f(x)]n1；(C)(n1)[f(x)]n1；(D)(n1)![f(x)]2?

7、若f(x)x2,則limf(x02x)f(xO)

x=()

x0

(A)2x0；(B)x0；(C)4x0；(D)4x?

8、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處存在f(xO)和f(xO),則f(xO)f(xO)是導(dǎo)

數(shù)f(xO)存在的()

(A)必要非充分條件；(B)充分非必要條件；

(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。

9、設(shè)f(x)x(x1)(x2)(x99)則f(0)()

(A)99；(B)99；(C)99!；(D)99!。

10、若f(u)可導(dǎo)，且yf(x2),則有dy()

(A)xf(x)dx；(B)2xf(x)dx；(C)2f(x)dx；(D)

2xf(x)dxo

11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f'(0)0,則存在0,使得()

(A)《)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加；(B)f(x)S(,0)內(nèi)單調(diào)減少；

(C)對任意的x(0,)有￡&)f(0)；(D)對任意的x,0)有血)f(0)?

12xsinl2>設(shè)f(x)xaxb2222xOx0在x0處可導(dǎo)，則()

(A)al,b0；(B)a0,b為任意常數(shù)；

(C)a0,b0；(C)al,b為任意常數(shù)。

三、計(jì)算解答第12頁

1、計(jì)算下列各題(1)ye

sin

2

lx

2

xIntdy

,求dy；(2)，求2

3

ytdx

t1

(3)xarctanyy,

xlx

x

dydx

2

2

；(4)ysinxcosx,求y(50)；

(5)y(),求y；

(6)f(x)x(x1)(x2)(x2005),求f(0)；

(7)f(x)(xa)(x),(x)在xa處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f(a)、f(a)；

(8)設(shè)f(x)在x1處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(1)2,求lim

x1

d

dx

f(cosx1)o

b(1sinx)a2

2、試確定常數(shù)a,b之值，使函數(shù)f(x)ax

e1

xOx0

處處可導(dǎo)。

3、證明曲線x2y2a與xyb(a,b為常數(shù))在交點(diǎn)處切線相互垂直。

4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上

升到500米空中時，問觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)

xl,x2有f(xlx2)f(xl)f(x2),且f(0)1,證明

f(x)f(x)O

6、求曲線yx3x5上過點(diǎn)(1,3)處的切線方程和法線方程。

32第13頁

第二單元導(dǎo)數(shù)與微分測試題詳細(xì)解答

一、填空題1、1lim

f(3h)f(3)

2hf(x)x

lim

x0

h0

lim

f(3h)f(3)

hf(0)

h0

(

12

)

12

f(3)1

2、f(0)lim

f(x)f(0)

x0

x0

3、Inxyxlnx1y|x1Inx

4、f(1sinx)cosx,f(1sinx)cos2xf(1sinx)sinx

2

yf(1sinx)cosx,yf(1sinx)cosxf(1sinx)sinx

5、(ln(el),e1)弦的斜率k

x

x

e110

e1

y(e)ee1xln(e1),當(dāng)xln(e1)時，yelo

6、

dx

arctan(1x)[1(1x)]

1arctan(1x)

dx

2

dyd[arctan(1x)]

1

arctan(1x)1(1x)

1

2

d(lx)

arctan(1x)[1(1x)]

4

2

4

2

dydx

4

7、4xsin2x,2xsin2x

dydx

2

3

2sinxcosx4x4xsin2x

44334

dy2xdx

2xsin2x

lx)

2tx

2

8、e

2t

2te

2t

f(t)limt(1

x

te

2t

2t2t

f(t)e2te

2

9、(1,2)y2x,由2x02xO1,yO112

yx1在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2

2

10^2yexe,yeexe

00

y(0)ee2

xxxxx第14頁

11、

ee

xyxy

ysin(xy)xsin(xy)

方程兩邊對x求導(dǎo)得exy(1y')sin(xy)(yxy，)0

解得y'

ee

xyxy

ysin(xy)xsin(xy)

o

12、

sinttcost

4t

3

由參數(shù)式求導(dǎo)公式得

dydx

yt，xt'

sint2t

f

再對X求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得

dydx

22

ddx

(yx，)

(yx')t'xt'

ltcostsint2

t

2

12t

sinttcost

4t

3

二、選擇題

1

1y2

k()|x11,k2(x)|x121、選(D)由交點(diǎn)為，

x2

yx

tan；tan(21);|

k2kllklk2

x

I3

3、選(C)f(x)etan

由f(

4

k

ktan

k1

xsecx

2

)e得ek2ek

f(lx)f(l)

12

f(1x)f(1)

4^選(A)由lim

2x2x

f(1x)f(1)11

lim()f(1)()2f(1)4x0x22

x0

x0

lim

切線方程為：y24(x1)即y4x6

5、選(D)lim

f(xx)f(x)

x

2

22

x0

2

[f(x)]2f(x)f(x)

6、選(B)f(x){[f(x)]}2f(x)f(x)2f(x)

324

f(x)[2f(x)]23f(x)f(x)23f(x)

3

設(shè)f

(n)

(x)n!f

n1

(x),則f

(n1)

n

(x)(nl)!f(x)f(x)(nl)!f

n2

(x)第15頁

f

(n)

(x)n!f

n1

(x)

lim2

x0

7^選(C)lim

f(xO2x)f(xO)

x

f(xO2x)f(xO)

2x

x0

2f(xO)

又f(x)(x2)2x,2f(xO)4x0

8、選(C)f(x)在xO處可導(dǎo)的充分必要條件是f(x)在xO點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f(xO)

右導(dǎo)數(shù)f(xO)都存在且相等。9、選(D)

f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)

x(x1)(x2)(x98)

99

f(0)(01)(02)(099)(1)99!99!

另解：由定義，f(0)lim

(1)

99

f(x)f(0)

x0

x0

lim(x1)(x2)(x99)

x0

99!99!

10、選(B)[f(x2)]f(x2)(x2)2f(x2)

2

dy2xf(x)dx

11、由導(dǎo)數(shù)定義知

f'(0)lim

f(x)f(0)

x

x0

0,

f(x)f(0)

x

0,

再由極限的保號性知0,當(dāng)x()時

從而當(dāng)x(,0)(X(0,))時，f(x)f(0)0(0),因此C成立，應(yīng)選C。

12、由函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，知函數(shù)在x0處連續(xù)

1imf(x)limxsin

x0

2

lx

x0

0,limf(x)lim(axb)b,所以b

x0

x0

又f(0)lim

f(x)f(0)

xsin

lim

0

2

1

0

x0

0,f(0)limf(x)f(0)axa,

xOxxOx

所以aOo應(yīng)選C。

第16頁

三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)dye

sin

2

lx

d(sin

2

lx

)e

sin

2

lx

2sin

lx

cos

lx

lx

2

)dx

lx

2

sin

2x

e

sin

2

lx

dx

(2)

dydx

3tlt

2

3t,

3

dydx

2

2

9tdy39t,|92t1

Idxt

22

(3)兩邊對x求導(dǎo)：1

11y

2

yyyy

2

1

y2y

3

32

y2y(y1)

2y

3

(

ly

2

1)

(4)ysinxcosx

12

sin2x

cos2xsin(2x

2

)y2cos(2x)

2

)2sin(2x2

2

)

設(shè)y則y

y

(n)

2

n1

sin(2xn

2

(n1)

2cos(2xn

49

n

2

)2sin(2x(n1))2

49

n

2

)

(50)

2sin(2x50

2

sin2x

(5)兩邊取對數(shù)：Inyx[lnxln(lx)]

ly

x

兩邊求導(dǎo)：

xlX

yInxln(lx)1

xlx

xlx

]

y()[Inxln(lx)1

(6)利用定義：

f(0)lim

f(x)f(0)

X

X0

lim(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!

x0

(7)f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)

又f(a)lim

f(x)f(a)

xa

lim

(x)(xa)(x)(a)

xa

xaxa第17頁

lim[

xa

(x)(a)

xa

(x)](a)(a)2(a)

[注：因(x)在xa處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。]

d

(8)lim

x1

dx

f(cos

x1)lim[f(cos

x1

x1)(sinx1)

12x1

]

limf(cos

x1

x1)lim

x1

sinx1

2x1

f(1)(

12

)1

2、易知當(dāng)x0時，f(x)均可導(dǎo)，要使f(x)在x0處可導(dǎo)

則f(0)f(0),且f(x)在x0處連續(xù)。即limf(x)limf(x)f(0)

x0

x0

limf(x)ba2而ab20limf(x)0x0

x0

又f(0)lim

e

f(x)f(0)

x0

x0

lim

x0

(1sinx)a2ba2

x

b

ax

f(0)lim

x0

1ba2

x

lim

x0

e

ax

lx

lim

x0

axx

a

aba1

由

ab2Ob1

22

3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(xO,yO),則xOyOaxOyOb

對xya兩邊求導(dǎo)：2x2yy0y

22

xy

曲線xya在(xO,yO)處切線斜率kly|xxO

bx

y

bx

2

22

xOyO

又由xyby

bx

20

曲線xyb在(xO,yO)處切線斜率k2yixxO第18頁

又klk2

xOyO

b

xO

)2

bxOyO

1

兩切線相互垂直。

4、設(shè)t分鐘后氣球上升了x米，則tan

兩邊對t求導(dǎo)：sec2

ddt

725

cos

2

x500

140500

725

ddt

1500

dxdt

當(dāng)x500m時,當(dāng)x500m時,

ddt

4

72512750

(弧度/分)

f(x)f(h)f(x0)h

f(h)f(0)

h

5、證明：f(x)lim

lim

f(xh)f(x)

h

f(x)f(h)f(x)f(0)

h0

lim

h0

h0

h

limf(x)

h0

f(x)f(0)f(x)

6、解：由于y3x26x,于是所求切線斜率為

kl3x6xx13,

2

從而所求切線方程為y33(x1),即3xy60

lkl

1313

又法線斜率為k2

所以所求法線方程為y3

(x1),即3yx80第19頁

第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

一、填空題

1、limxlnx_

x0

2、函數(shù)fx2xcosx在區(qū)間單調(diào)增。

3、函數(shù)fx48x33x4的極大值是。

4、曲線yx46x23x在區(qū)間一一是凸的。

5^函數(shù)fxcosx在x0處的2m1階泰勒多項(xiàng)式是

6、曲線yxe3x的拐點(diǎn)坐標(biāo)是

7、若fx在含xO的a,b(其中ab)內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且，則

fxO是fx在a,b上的最大值。

8、yx32x1在，內(nèi)有個零點(diǎn)。9、

limcotx(x0)sinxx

11)10>lim(2xOxxtanx

21loo11、曲線yex的上凸區(qū)間是

12、函數(shù)yex1的單調(diào)增區(qū)間是o

二、單項(xiàng)選擇

1、函數(shù)f(x)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f(0)O.f(0)l,f(0)2,則lim(A)不存

在；(B)0；(0-1；(D)-2o

2、設(shè)f(x)(x1)(2xl),x(,),則在(,1)內(nèi)曲線f(x)()

21f(x)xx2x()x0

(A)單調(diào)增凹的；(B)單調(diào)減凹的；(C)單調(diào)增凸的；(D)單調(diào)減凸的。

3、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，xO(a,b),f(xO)f(xO)0,則f(x)在xxO處()

(A)取得極大值；(B)取得極小值；第20頁(C)一定有拐點(diǎn)(xO,f(xO))；

(D)可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。

4、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，貝UI：在(a,b)內(nèi)f(x)0與II：在

(a,b)±f(x)f(a)之間關(guān)系是()

(A)i是n的充分但非必要條件；(B)I是n的必要但非充分條件；

(oI是n的充分必要條件；(D)I不是n的充分條件，也不是必要條件。

5、設(shè)f(x)、g(x)在a,b連續(xù)可導(dǎo),f(x)g(x)0,且f(x)g(x)f(x)g(x),則

當(dāng)axb時，則有()

(A)f(x)g(x)f(a)g(a)；(B)f(x)g(x)f(b)g(b)；f(x)

g(x)f(a)g(a)g(x)f(x)g(a)f(a)(C)；(D)?

6、方程x33x10在區(qū)間(，)內(nèi)()

(A)無實(shí)根；(B)有唯一實(shí)根；

(C)有兩個實(shí)根；(D)有三個實(shí)根。

7、已知f(x)在x0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)0,lim

處f(x)()

(A)不可導(dǎo)；(B)可導(dǎo)，且F(0)0；

(C)取得極大值；(D)取得極小值。

8、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)0,limf"(x)

|x|1,則()f(x)lcosxx02,則在點(diǎn)x0

X0

(A)f(0)是f(x)的極大值；(B)f(0)是f(x)的極小值；(C)(0,f(0))是曲線

yf(x)的拐點(diǎn)；(D)f(0)不是f(x)的極值點(diǎn)。

9、設(shè)a,b為方程f(x)0的二根，￡6)在心,目上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f'(x)在

(a,b)內(nèi)()

(A)只有一實(shí)根；(B)至少有一實(shí)根；(C)沒有實(shí)根；(D)至少有2個實(shí)根。

第21頁10、在區(qū)間［1,1］上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是()(A)f(x)

lx

2

;(B)f(x)|x1；

(C)f(x)1x2；(D)f(x)x22x1。

11、函數(shù)f(函在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)f'(x)0是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)

增加的()

(A)必要但非充分條件；(B)充分但非必要條件；(C)充分必要條件；(C)無

關(guān)條件。12、設(shè)yf(x)是滿足微分方程y"y'esin

且f'(x0)0,則f(x)在()0的解，

(A)x0的某個鄰域單調(diào)增加；(B)x0的某個鄰域單調(diào)減少；(C)xO處取得極小

值；(D)x0處取得極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(l)lim

x1

arccosxx1

；(2)lim

x0

Incotx

Inx

>

(3)lim

x0

；(4)lim21n(lx)；2

xOxxln(lx)x

；(6)lim

x0

ee

xsinx

11

⑸lim

xarctanx

x

3

Intan(ax)

x0

Intan(bx)

2、證明以下不等式

ba

⑴、設(shè)bae,證明ab。

(2)、當(dāng)0x

3

2

時，有不等式tanx2sinx3x?

(6)

3、已知yxsinx,利用泰勒公式求y(0)。

33n

4、試確定常數(shù)a與n的一組數(shù)，使得當(dāng)x0時，ax與In(1x)x為等價無窮小。

5、設(shè)f(x)在a.b上可導(dǎo)，試證存在(ab),使第22頁

lb3a3

baf(a)f(b)23f()f().,

6、作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積V最小，并求出該

體積最小值。

7、若f(x)在［0,1］上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f(l)0,設(shè)F(x)x3f(x),試證：在(0,1)

內(nèi)至少存在一個，使F"'()0。

第23頁

第三單元微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測試題詳細(xì)解答

一、填空題

1

Inxlx

1im(x)0

xOlx

2

1、0limxlnxlim

x0

x0

lim

x0

2、(,)f(x)2sinx0￡?)在(，)上單調(diào)增3、20

f(x)24x212x312x2(x2)

令f(x)0xl0,x22

當(dāng)x2時，f(x)0；當(dāng)x2時，f(x)0

極大值為f(2)20

4、(1,1)y4x312x3,y12x21212(x1)(x1)

當(dāng)x1時，y0.當(dāng)x(1,1)時，y0；當(dāng)x(1,)時，y0

曲線在(1,1)上是凸的

5、1

12!

2

14!

x(1)

4m

l(2m)!

x

2m

6、(,

2233

e

2

3x3x3x

)ye3xee(13x),

y3e

3x

(13x)3e

23

3x

e23

3x

(9x6)9e

3x

(x23

23

)

令y0x而當(dāng)x

23

，當(dāng)X

23e

2

時，y0；當(dāng)x時y0

時，y

222

拐點(diǎn)為(,e)

33

7、f(x0)0,f〃(xO)lim

f(x)f(xO)

xxO

xxO

lim

f(x)xxO

xxO

0

f(x)xxO

0

當(dāng)xxO時、f(xO)0,f(x)單調(diào)增加；當(dāng)xxO時，fO,f(x)單調(diào)減少第24

頁

8、1y3x220,丫在(,)上單調(diào)增加

又limylimy.在(，)內(nèi)有1個零點(diǎn)。

x

X

9、

16

原式lim

cosx(xsinx)

xsin

2

x0

x

limcosxlim

x0

xsinxx

3

x0

lim

1cosx3x

2

x0

16

10、

13

原式二lim

tanxxxtanx

2

x0

lim

tanxxx

3

x0

lim

secx13x

2

2

x0

2

13

lim

tanx

22

x

x0

13

2

11、(

22

?

222

x2x

令y〃0x)y'2xe,y”[2(2x)]e

2

222

，當(dāng)

x(

2

22

上凸,其它區(qū)間y"0,上凹，故應(yīng)填入（）時，y"0,,

22

)。

12、(|）函數(shù)yexx1的定義區(qū)間為（，）,在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可

導(dǎo)，且yex1,因?yàn)樵冢?,）內(nèi)丫'0,所以函數(shù)yexx1在（0,）上單調(diào)

增加。選擇題1、選（C）lim

f(x)xxl2

2

x0

lim

f(x)12x

x0

lim

f(x)2

x0

1

14

)0x(

12,1)

2、選(B)當(dāng)x(,1)時，，f(x)0,又f(x)4x14(x

1

f(x)在(，1)上單調(diào)減且為凹的。

2

34

x0是f(x)x3的拐點(diǎn)；3、選(D)f(x)x,則f'(0)f〃(0)0,設(shè)f(x)x,

4

則f'(0)f〃(0)0,而x0是f(x)x的極值點(diǎn)。

4、選(C)由f(x)在(a,b)內(nèi)f(x)0的充分必要條件是在(a,b)內(nèi)f(x)C(C為

常數(shù))，又因?yàn)閒(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù),所以Cf(a),即在(a,b)±f(x)f(a)o5、選

(C)由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)g(x)

[]0單調(diào)減少，x(a,b)第25頁

f(x)

g(x)f(a)

f(b).

6、選（D）令f（x）x33x1,則f(x)3x233(x1)(x1)；

當(dāng)x1時，f（x）0,f（x）單調(diào)增加,

當(dāng)x1,1)時,f(x)0,f(x)單調(diào)減少

當(dāng)x(1,)時,f(x)0,f(x)單調(diào)增加.

而￡(1)3,f(l)1

limf(x)，limf(x)

xx

乳乂）在（，1）上有一實(shí)根，在［1,1］上有一實(shí)根，在（1,）上有一實(shí)根。

7、選（D）利用極限的保號性可以判定f（x）的正負(fù)號:

limf(x)

1cosx20f（x）

1cosx0（在乂0的某空心鄰域）；

x0

由1cosx0,有f（x）0f（0）,即f（x）在x0取極小值。

8、選（B）由極限的保號性：

limf”(x)

Ixi1or(x)

|x|x0；由此f”（x）0（在0（在x0的某空心鄰域）

x0的某空心鄰域），f'（x）單調(diào)增，又由f'（0）0,『6）在*0由負(fù)變正，由極值

第一充分條件，x0是f（x）的極小點(diǎn)。

9、選（B）由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)（&1））使『（）0o

10、選(C),A選項(xiàng)f(x)在X0不連續(xù)，B選項(xiàng)f(x)在X0處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)

f(l)f(Do

11、選(B),如y*在(,)單增，但f'(0)0,故非必要條件。3第26頁

12、選(C),由f'(x0)0有y〃(x0)esin

取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限(1)解：lim

x1

x0

y，(x0)e

sinxO

0,所以f(x)在xO處

arccosxx1

1

lim

x1

2arccosx

1

11x

2

lim

x1

larccosx

1x

12

2x1

1

(2)解：lim

x0

Incotxlnx

limx0

(cscx)lx

lim

x0

2

xsinxcosxsin

2

x

lo

⑶解：lim

ee

2x

sinx

x0

xln(lx)

lim

e

sinx

(e

xsinx

1)

x0

x

3

lim

xsinxx

3

x0

lim

1cosx3x

2

x0

16

(4)解：lim[

x0

lx

lx

2

ln(lx)]lim

xln(lx)

xl23x

22

1lim

x0

1

11lim[]

x02x2(1x)2

x0

(5)解：lim

xarctanx

x

3

1lim

x0

x0

lim

x

2

2

2

x0

3x(1x)

13

o

1

tan(ax)

1im(6)解：1im

xOlntan(bx)x01

tan(bx)

bxsec(ax)aaxsec(bx)b

b

a

Intan(ax)

sec(ax)asec(bx)b

2

2

lim

x0

tan(bx)sec(ax)atan(ax)sec(bx)b

2

2

2

lim

x0

2

1

2^(1)證明：abblnaalnb第27頁

令f(x)xlnaalnx,則f(x)在［a,b］上連續(xù)

f(x)Ina

ax

0x［a,b］

f(x)在［a,b］上單調(diào)增加，f(b)f(a)

得blnaalnbalnaalna0,即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,

lcosx

2

2

)時

2

f(x)secx2cosx3

cosxcosx331cosx

2

cosxcosx30

f(x)0,￡&)在［0,

X(0,

2

)上單調(diào)增

2

)f(x)f(0)即tanx2sinx3x

3、解：泰勒公式f(x)f(0)f(0)x

f(0)2!x

x

2

f

(n)

(0)

n!

2m

xo(x)

nn

而sinxx

x

3

3!

x

52m1

5!

(1)

m1

(2m1)!

o(x)

yxsinxx

34

x

6

3!f

(6)

x

8

5!

對比x的導(dǎo)數(shù)有:

6

(0)

6!

13!

f

(6)

(0)

6!3!

120

4、解：lim

ax

n3

3

x0

ln(lx)x

lim

anx3x1x

23

n1

x0

lim[3x

2

x0

an3

X

n6

(1x)]1

3

n6,

3

an3

3

1a

12

5、即證：

bf(h)af(a)

ba

3

[3f()f()]

2

令F(x)xf(x),則F(x)在[a,b]上滿足拉氏定理的條件第28頁

(a,b),使

3

3

F(b)F(a)

ba

F)

即

bf(h)af(a)

ba

23

3f()f()

即

lb

3

a

3

baf(a)f(b)

：3f()f()]

2

6、解：設(shè)圓錐的高為h,底面圓半徑為R,則有比例關(guān)系

hrhR

2

2

rh

R

2

hr

2

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