高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 分層限時(shí)跟蹤練39-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時(shí)跟蹤練(三十九)(限時(shí)40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，有下列命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m⊥α，m⊥n，則n∥α.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．0【解析】①錯(cuò)，兩直線可平行或異面；②兩平面可相交，只需直線m平行于兩平面的交線即可，故命題錯(cuò)誤；③錯(cuò)，直線n可在平面內(nèi)．【答案】D2．(2015·唐山模擬)對于平面α、β、γ和直線a、b、m、n，下列命題中真命題是()A．若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，則a⊥αB．若a∥b，b?α，則a∥αC．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥bD．若a?β，b?β，a∥α，b∥α，則β∥α【解析】A．根據(jù)線面垂直的判定定理可知，m，n必須是相交直線，所以A錯(cuò)誤．B.根據(jù)直線和平面平行的判定定理可知，a必須在平面α外，所以B錯(cuò)誤．C.根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則交線平行，所以C正確．D.根據(jù)面面平行的判定定理可知，直線a，b必須是相交直線，才能得到面面平行，所以D錯(cuò)誤．【答案】C3．(2015·新鄉(xiāng)模擬)設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面，其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”為真命題的是()A．③④ B．①③C．②③ D．①②【解析】根據(jù)空間中的直線、平面的位置關(guān)系的判斷方法去篩選知②、③正確．【答案】C4．在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D在PA上，且PD＝eq\f(1,2)DA，過點(diǎn)D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若△ABC的面積為9，則△DEF的面積是()A．1 B．2C．4 D.eq\f(9,4)【解析】由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(EF,BC)，所以△DEF∽△ABC，所以eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，而S△ABC＝9，所以S△DEF＝1，故選A.【答案】A5．設(shè)α、β、γ為三個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．【答案】C二、填空題6．如圖7-4-6，四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為．圖7-4-6【解析】取PD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD.【答案】平行7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO【解析】如圖，假設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q滿足條件Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.【答案】Q為CC1的中點(diǎn)8．已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.其中正確命題的序號是．【解析】①如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因?yàn)镃D∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯(cuò)誤．②因?yàn)閍、b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．③由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直，易知③正確．④當(dāng)a∥b時(shí)，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l⊥【答案】②③三、解答題9．如圖7-4-7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC圖7-4-7(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【證明】(1)如圖，連接SB，∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.10．如圖7-4-8，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.圖7-4-8(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求四面體B-CDE的體積．【解】(1)證明：取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，則PF為中位線，PFeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)DC，又∵EAeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)DC，∴EAeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))PF.故四邊形AFPE是平行四邊形，即AF∥EP.∵EP?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)∵BA⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE且交于AC，∴BA⊥平面ACDE，即BA就是四面體B-CDE的高，BA＝AC＝2.∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD，∴S梯形ACDE＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，S△ACE＝eq\f(1,2)×AE×AC＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴S△CDE＝3－1＝2，∴VB-CDE＝eq\f(1,3)·BA·S△CDE＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()圖7-4-9A．①③ B．②③C．①④ D．②④【解析】對圖形①，平面MNP∥平面ABC，可得AB∥面MNP；對圖形④，AB∥PN，故AB∥面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．【答案】C2．(2015·開原模擬)若α、β是兩個(gè)相交平面，點(diǎn)A不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則過點(diǎn)A且與α和β都平行的直線()A．只有1條 B．只有2條C．只有4條 D．有無數(shù)條【解析】據(jù)題意如圖，要使過點(diǎn)A的直線m與平面α平行，則據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得經(jīng)過直線m的平面與平面α的交線n與直線m平行，同理可得經(jīng)過直線m的平面與平面β的交線k與直線m平行，則推出n∥k，由線面平行可進(jìn)一步推出直線n與直線k與兩平面α與β的交線平行，即要滿足條件的直線m只需過點(diǎn)A且與兩平面交線平行即可，顯然這樣的直線有且只有一條．【答案】A3．(2015·唐山統(tǒng)考)在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為．【解析】過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA、PC于點(diǎn)E、F，過E、F分別作EN∥PB、FM∥PB，分別交AB、BC于點(diǎn)N、M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.【答案】84．(2015·溫州模擬)如圖7-4-10，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，圖7-4-10將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是①|(zhì)BM|是定值；②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動；③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE.【解析】取DC中點(diǎn)N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵M(jìn)B?平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以|MB|是定值，①正確；B是定點(diǎn)，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時(shí)存在，其他情況不存在，③不正確．所以①②④正確．【答案】①②④5．(2015·陜西二檢)如圖7-4-11，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1圖7-4-11(1)求證：B1D1⊥AE；(2)求證：AC∥平面B1DE.【證明】(1)如圖，連接BD，則BD∥B1D1.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中點(diǎn)F，連接AF，CF，EF，則FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F(xiàn)分別是CC1，BB1的中點(diǎn)，∴EF綊BC.又BCeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))AD，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED.∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE.6．(2015·云南昆明三中、玉溪一中高三統(tǒng)一考試)如圖7-4-12，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.圖7-4-12(1)求證：平面AFC⊥平面CBF；(2)在線段CF上是否存在一點(diǎn)M，使得OM∥平面ADF？并說明理由．【解】(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，所以CB⊥平面ABEF，因?yàn)锳F?平面ABEF，所以AF⊥CB，又AB為圓O