高考數(shù)學一輪復(fù)習 第七章 立體幾何 分層限時跟蹤練40-人教版高三數(shù)學試題

分層限時跟蹤練(四十)(限時40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．給出以下命題，其中錯誤的是()A．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面B．垂直于同一平面的兩條直線互相平行C．垂直于同一直線的兩個平面互相平行D．兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面【解析】一條直線可以垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線，但這條直線不垂直這個平面．【答案】A2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m【解析】根據(jù)定理：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面，可知B正確．【答案】B3．(2015·葫蘆島模擬)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l【解析】由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β.由直線m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，則α與β相交，否則，若α∥β則推出m∥n，與m，n異面矛盾．故α與β相交，且交線平行于l.【答案】D4．(2015·長春模擬)設(shè)α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則m⊥β的一個充分條件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【解析】α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m?α，故不正確；α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；n⊥α，n⊥β?α∥β，而m⊥α，則m⊥β，故正確，故選D.【答案】D5．如圖7-5-12，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()圖7-5-12A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)【解析】取BD的中點O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假設(shè)A′C⊥BD，∵OC為A′C在平面BCD內(nèi)的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD，A錯誤；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD內(nèi)的射影為A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正確；∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C錯誤；VA′-BCD＝eq\f(1,3)S△A′BD·CD＝eq\f(1,6)，D錯誤．【答案】B二、填空題6．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個四棱錐的五個面中兩兩垂直的共有對．【解析】因為AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對．【答案】57．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，頂點在底面上的射影是底面正方形的中心，一個對角面的面積是一個側(cè)面面積的eq\f(\r(6),2)倍，則側(cè)面與底面所成銳二面角等于．【解析】如圖所示，根據(jù)eq\f(\f(1,2)\r(2)ah,\f(1,2)ah′)＝eq\f(\r(6),2)，得eq\f(h,h′)＝eq\f(\r(3),2)，即為側(cè)面與底面所成銳二面角的正弦值，故側(cè)面與底面所成銳二面角為eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)8．(2015·衡水聯(lián)考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為．【解析】如圖所示，∵AA1⊥底面A1B1C1∴∠APA1為PA與平面A1B1C1∵平面ABC∥平面A1B1C1∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵S△A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，∴V三棱柱ABC-A1B1C1＝AA1×S△A1B1C1＝eq\f(3\r(3),4)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3).又P為底面正三角形A1B1C1∴A1P＝eq\f(2,3)A1D＝eq\f(2,3)×eq\r(3)×sin60°＝1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1＝eq\f(AA1,A1P)＝eq\r(3)，∴∠APA1＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)三、解答題9.(2015·山東高考)如圖7-5-13，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．圖7-5-13(1)求證：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.【證明】(1)在三棱臺DEF-ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)連接HE.因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四邊形EFCH是平行四邊形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.10．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分別是棱AB、PC的中點，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥PB，AB＝BC＝2AD＝2PA＝2，圖7-5-14(1)求證：平面PAD⊥平面PBC；(2)求證：RS∥平面PAD；(3)若點Q在線段AB上，且CD⊥平面PDQ，求三棱錐Q-PCD的體積．【解】(1)證明：∵平面PAB⊥平面ABCD且相交于直線AB，AD?平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴PB⊥AD，又PB⊥PA，AD∩PA＝A，∴PB⊥平面PAD.∵PB?平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.(2)證明：取PB中點T，連接RT、ST，∵RT∥PA，ST∥BC，且PB⊥PA，PB⊥BC，∴PB⊥RT，PB⊥ST，又RT∩ST＝T，∴PB⊥平面RST，又PB⊥平面PAD，∴平面RST∥平面PAD，又RS?平面RST，∴RS∥平面PAD.(3)∵CD⊥平面PDQ，∴PQ⊥CD，又PQ⊥AD，CD∩AD＝D，∴PQ⊥平面ABCD.∴PQ⊥AB，由已知得AQ＝eq\f(1,2)，PQ＝eq\f(\r(3),2)，∴DQ＝eq\f(\r(5),2)，又CD＝eq\r(5)，CD⊥QD，∴S△CQD＝eq\f(1,2)CD·DQ＝eq\f(5,4)，∴三棱錐Q-PCD的體積V＝eq\f(1,3)S△CQD·PQ＝eq\f(1,3)×eq\f(5,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),24).eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．如圖7-5-15，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1圖7-5-15A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2【解析】設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).【答案】A2．(2015·石家莊模擬)在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2AB，F(xiàn)為棱CE上異于點C、E的動點，則下列說法正確的有()圖7-5-16①直線DE與平面ABF平行；②當F為CE的中點時，BF⊥平面CDE；③存在點F使得直線BF與AC平行；④存在點F使得DF⊥BC.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】①∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB，而DE?平面ABF，AB?平面ABF，∴直線DE與平面ABF平行，正確；②當F為CE的中點時，取CD的中點M，連接AM，MF，則MF綊eq\f(1,2)DE，又AB綊eq\f(1,2)DE，∴AB綊MF，∴四邊形ABFM是平行四邊形，BF∥AM.而AM⊥CD，DE⊥AM，CD∩DE＝D，∴AM⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE，因此正確；③點C是平面ABF外的一點，因此BF與AC為異面直線，不可能平行，不正確；④由②可得：當F為CE的中點時，BF⊥DF，DF⊥CE，BF∩CE＝F，∵DF⊥平面BCE，∴存在點F使得DF⊥BC，正確．綜上可得①②④正確．【答案】C3．正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為．【解析】如圖，取CD的中點F、SC的中點G，連接EF，EG，F(xiàn)G，設(shè)EF交AC于點H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故點P的軌跡是△EFG，其周長為eq\r(2)＋eq\r(6).【答案】eq\r(2)＋eq\r(6)4．已知△ABC的三邊長分別為AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB邊上的點，P是平面ABC外一點．給出下列四個命題：①若PA⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB邊的中點，則有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為eq\f(15,2)；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，則點P到平面ABC的距離為eq\r(23).其中正確命題的序號是．(把你認為正確命題的序號都填上)【解析】由題意知AC⊥BC，對于①，若PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此該三棱錐P-ABC的四個面均為直角三角形，①正確；對于②，由已知得M為△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC，∵PM⊥平面ABC，則PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正確；對于③，要使△PCM的面積最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，(CM)min＝eq\f(12,5)，∴(S△PCM)min＝eq\f(1,2)×eq\f(12,5)×5＝6，故③錯誤；對于④，設(shè)P點在平面ABC內(nèi)的射影為O，且O為△ABC的內(nèi)心，由平面幾何知識得△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1，且OC＝eq\r(2)，在Rt△POC中，PO＝eq\r(PC2－OC2)＝eq\r(23)，∴點P到平面ABC的距離為eq\r(23)，故④正確．【答案】①②④5．(2015·陜西高考)如圖7-5-17(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖7-5-17(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．圖7-5-17【解】(1)證明：在題圖(1)中，因為AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在題圖(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱錐A1-BCDE的高．由題圖(1)知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積為V＝eq\f(1,3)S·A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.6．(2015·天津高考)如圖7-5-18，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\