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江蘇省南通市2012屆高三數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)2012屆南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地密卷(一)數(shù)學(xué)I注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁(yè),包含填空題(第1題——第14題)、解答題(第15題——第20題).本卷滿分160分,考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后,請(qǐng)將答題卡交回.2.答題前,請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請(qǐng)注意字體工整,筆跡清楚.4.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.5.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔,不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答卷紙的相應(yīng)位置上.1.,,若對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限,則m的取值范圍為▲.2.已知全集,集合,則中最大的元素是▲.3.已知,若函數(shù)的最小正周期是2,則▲.4.執(zhí)行以下語(yǔ)句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:▲.WhileWhile<10EndWhilePrint“”5.已知函數(shù),,則的單調(diào)減區(qū)間是▲.6.在數(shù)軸上區(qū)間內(nèi),任取三個(gè)點(diǎn),則它們的坐標(biāo)滿足不等式:的概率為▲.7.P為拋物線上任意一點(diǎn),P在軸上的射影為Q,(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(Ⅱ)若,設(shè)直線過(guò)點(diǎn),且與軌跡交于、兩點(diǎn),直線與交于點(diǎn).試問(wèn):當(dāng)直線在變化時(shí),點(diǎn)是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)寫出這條定直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(本題滿分16分)如圖所示:一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m,圓心為O,通過(guò)細(xì)繩懸掛在天花板上,圓環(huán)呈水平狀態(tài),并且與天花板的距離為2m,在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A1,A2,A3。點(diǎn)C為上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn)O、B),同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A1,A2,A3,B均用細(xì)繩相連接,且細(xì)繩CA1,CA2,CA3的長(zhǎng)度相等。設(shè)細(xì)繩的總長(zhǎng)為(1)設(shè)∠CA1O=(rad),將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式;(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì),當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí),細(xì)繩總長(zhǎng)y最小,并指明此時(shí)BC應(yīng)為多長(zhǎng)。BBA1A2COA319.(本題滿分16分)已知,數(shù)列有(常數(shù)),對(duì)任意的正整數(shù),并有滿足。(1)求的值;(2)試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列,若是,求出其通項(xiàng)公式。若不是,說(shuō)明理由;(3)令,是否存在正整數(shù)M,使不等式恒成立,若存在,求出M的最小值,若不存在,說(shuō)明理由。20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于的不等式對(duì)一切都成立,求范圍;(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn):總存在正實(shí)數(shù)使,試問(wèn):他的判斷是否正確;若正確,請(qǐng)寫出的范圍;不正確說(shuō)明理由.?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)23.【必做題】本題滿分10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.1.(矩陣與變換)求矩陣M=的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.2.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C的參數(shù)方程為,其中為參數(shù).以O(shè)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值.二.[必做題]每小題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.3.如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,⊥AC,M是的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線上,且滿足.(Ⅰ)當(dāng)取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角最大?PNMABC(PNMABC4.已知數(shù)列滿足:.(Ⅰ)求證:使;(Ⅱ)求的末位數(shù)字.數(shù)學(xué)參考答案1.2.33.-14.285.6.的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)在點(diǎn)之間,故考慮它們的排列順序可得答案為7.解析:焦點(diǎn)=,而的最小值是8.(3)(4)9.210當(dāng)離圓最遠(yuǎn)時(shí)最小,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為:記,則,計(jì)算得=11.,12.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵,∴.整理,得(),發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是橢圓,其焦點(diǎn)恰為兩點(diǎn),所以13.若則不符合題意,若則于是,亦可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立展開(kāi)討論。14.由于在上是減函數(shù),所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同實(shí)根。通過(guò)換元結(jié)合圖象可得15.解;(1)設(shè)f(x)圖象上的兩點(diǎn)為A(-x,y1)、B(2+x,y2),因?yàn)閑q\f((-x)+(2+x),2)=1f(-x)=f(2+x),所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,∴x≥1時(shí),f(x)是增函數(shù);x≤1時(shí),f(x)是減函數(shù)。(2)∵eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b)=(sinx,2)·(2sinx,eq\f(1,2))=2sin2x+1≥1,eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d)=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,∵f(x)在是[1,+∞)上為增函數(shù),∴f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))>f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))f(2sin2x+1)>f(cos2x+2)2sin2x+1>cos2x+21-cos2x+1>cos2x+2cos2x<02kπ+<2x<2kπ+,k∈zkπ+<x<kπ+,k∈z∵0≤x≤π∴<x<綜上所述,不等式f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))>f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))的解集是:{x|<x<}。16.解:(Ⅰ)證明:∵,∴.又∵,是的中點(diǎn),∴,∴四邊形是平行四邊形,∴.∵平面,平面,∴平面.(Ⅱ)證明:∵平面,平面,∴,又,平面,∴平面.過(guò)作交于,則平面.∵平面,∴.∵,∴四邊形平行四邊形,∴,∴,又,∴四邊形為正方形,∴,又平面,平面,∴⊥平面.∵平面,∴.(Ⅲ)∵平面,,∴平面,由(2)知四邊形為正方形,∴.∴,17.解法一:(Ⅰ)由題意知:,又∵,∴動(dòng)點(diǎn)必在以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,∴,又∵,. ∴橢圓的方程為.(Ⅱ)由題意,可設(shè)直線為:.取得,直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 若,由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上,則直線只能為.②以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上.事實(shí)上,由,得即,記,則.設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得, ∴,即與重合,這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)恒在定直線上.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)取得,直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為取得,直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線上,則直線只能為.以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上.事實(shí)上,由,得即,記,則.的方程是的方程是消去得…… ①以下用分析法證明時(shí),①式恒成立。要證明①式恒成立,只需證明即證即證……………… ②∵∴②式恒成立.這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)恒在定直線上.解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由,得即.記,則.的方程是的方程是 由得 即 .這說(shuō)明,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)恒在定直線上.18.(Ⅰ)解:在△COA1中,BA1A2COBA1A2COA3=()……7分(Ⅱ),令,則………………12分當(dāng)時(shí),;時(shí),,∵在上是增函數(shù)∴當(dāng)角滿足時(shí),y最小,最小為;此時(shí)BCm…16分19解:(1)由已知,得,∴(2)由得則,∴,即,于是有,并且有,∴即,而是正整數(shù),則對(duì)任意都有,∴數(shù)列是等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式是。(3)∵∴;由是正整數(shù)可得,故存在最小的正整數(shù)M=3,使不等式恒成立。20.(1)定義域∴∴在遞增,遞減(2)由題eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)∴時(shí),時(shí),時(shí),數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案1.解:矩陣M的特征多項(xiàng)式為=.令得矩陣M的特征值為-1和3.當(dāng)所以矩陣M的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為.當(dāng)所以矩陣M的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為.2.解:直線l的普通方程為:,設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離為.∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.3.解:(1)以

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