重難點 三角形與特殊三角形 中考數(shù)學復習

重難點02三角形與特殊三角形考點一：三角形的基礎知識三角形的基礎知識是學習三角形后續(xù)知識的基礎，也是其他幾何圖形學習的基礎，雖然中考中單獨考察的幾率不是很大，但是它卻可以融合在其他圖形中輔助解題。特別是三角形內(nèi)角和定理、外角定理、角平分線的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì)，都是解決幾何問題中不可或缺的輔助手段，也更需要我們重視這塊知識的復習。題型01三角形的內(nèi)角和與外角定理易錯點：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和=180°三角形外角定理：三角形的一個外角=與它不相鄰兩個內(nèi)角的和三角形內(nèi)角和與外角定理是幾何圖形求解角度時常用的等量關(guān)系；即使是其他多邊形，也常轉(zhuǎn)化為三角形求角度；【中考真題練】1．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝．2．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°3．（2023?遂寧）若三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3，則這個三角形是三角形．4．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝度．5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝°．【中考真題練】1．（2024?鹽城模擬）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°2．（2023?新邵縣校級一模）如圖，在△ABC中，延長AB至D，延長BC至E如果∠1+∠2＝230°，則∠A＝．3．（2023?紹興模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F(xiàn)在直線l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°4．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°5．（2023?石峰區(qū)一模）如圖，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B，C處開工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度數(shù)是．題型02三角形的三邊關(guān)系解題大招01：三角形兩邊之差＜第三邊＜三角形兩邊之和解題大招02：判定三邊能否組成三角形，直接用“定理”，且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長即可解題大招03：“三點共線”類最值：當兩線段長固定，且首尾相連，可用三點共線來求其最大值與最小值【中考真題練】1．（2023?福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．92．（2023?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，63．（2023?金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm4．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．【中考模擬練】1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖，人字梯的支架AB，AC的長度都為2m（連接處的長度忽略不計），則B、C兩點之間的距離可能是（）A．3m B．4.2m C．5m D．6m2．（2024?新華區(qū)一模）為估計池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點O，測得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距離不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m3．（2024?邳州市校級一模）三角形的兩邊長分別為2和9，周長為偶數(shù)，則第三邊長為．4．（2023?六安三模）三角形的兩邊長分別是10和8，則第三邊的取值范圍是．5．（2023?二道區(qū)校級模擬）已知一個三角形的兩邊長分別為4和5，若第三邊的長為整數(shù)，則此三角形周長的最大值．6．（2023?婁星區(qū)一模）已知四根小棒的長度分別為5cm、6cm、10cm、12cm，從中取出三根小棒，能圍成三角形的概率為．題型03三角形“三線”的性質(zhì)由△的三線組成的幾個“心”：△三邊中線交點—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點的距離=重心到這條中線定點距離的一半；△三條角平分線交點—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；△三邊中垂線交點—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個頂點的距離（連接）相等；解題大招01：三角形中線常見作用及其輔助線常見“用途”：平分線段、平分面積；輔助線類型：倍長中線造全等—→延伸：倍長中線類模型；解題大招02：三角形高線常見作用及其輔助線常見“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；輔助線類型：見特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；解題大招03：角平分線常見作用及其輔助線常見“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；輔助線類型：見角平分線作雙垂、見角平分線作對稱、截長補短構(gòu)全等、見角平分線＋垂直，延長出等腰；解題大招04：中垂線常見作用及其輔助線常見“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長等；輔助線類型：連接兩點【中考真題練】1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點E到直線AD的距離為．2．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是．3．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是．4．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．5．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝．【中考模擬練】1．（2024?沭陽縣校級模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為cm2．2．（2024?天山區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD＝2，P為AB上一動點，則PD的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024?南昌一模）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長度是．4．（2024?永靖縣一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．5．（2023?長清區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（）A．8 B．7 C．6 D．5考點二：全等三角形全等三角形的性質(zhì)是對應邊相等、對應角相等。附帶推論是全等三角形對應邊上的“三線”也分別相等。全等三角形判定方法有“4+1”種，出題時常把全等三角形的判定和性質(zhì)同時出題，難度一般不大，但是這個考點后期的可結(jié)合性比較大，所以也是非常重要的一個考點。題型01全等三角形的判定易錯點01：全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL易錯點02：三角形全等的基本步驟：①準備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論?！局锌颊骖}練】1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點O，AC∥BD，只添加一個條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【中考模擬練】1．（2024?朝陽區(qū)模擬）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法是：如圖在∠AOB的邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到∠AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL2．（2024?重慶模擬）根據(jù)下列條件，不能畫出唯一確定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝43．（2023?文昌二模）如圖，點A，F(xiàn)，E，C在一條直線上，AF＝CE，AD＝CB，則添加下列條件仍不能判斷△ADE≌△CBF的是（）A．DE＝BF B．DE∥BF C．AD∥CB D．∠D＝∠B＝90°4．（2023?西寧二模）如圖，正方形格點圖中，點A、B、C、D、E、F均在格點上，若以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，請寫出一個滿足條件的F點坐標．5．（2024?伊通縣一模）如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACE．6．（2023?農(nóng)安縣模擬）如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF．求證：△AED≌△BFC．題型02全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL解題大招01：解題大招：有關(guān)三角形全等問題應用的三個方向：①證邊相等就證它們所在的三角形全等；②證角相等就證它們所在的三角形全等；③全等三角形可以提供相等線段、相等角解題大招02：【中考真題練】1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為．2．（2023?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為BC的中點，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長為．3．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．4．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當點D落在BC邊上時，點P需移動s．5．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．6．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．7．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．8．（2023?營口）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長．9．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時，求△AED的面積．【中考模擬練】1．（2024?寧波模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AC邊上，點D不與點B，C重合，且BD＝CE，則（）A．∠AFE＜∠FAE B．∠AFE＜∠FEA C．∠AFE＝∠FAE D．∠AFE＝∠FEA2．（2024?蜀山區(qū)一模）如圖，△ABC中，高AD，BE相交于點H，連接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，則DE＝．3．（2024?潼南區(qū)一模）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，B、D、E在同一直線上，則∠BEC的度數(shù)為．4．（2024?河東區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在△ABC外，連接AE，BE，CE，過點A作AF⊥AE，交CE于點F，連接BF，若AE＝AF＝．則：（Ⅰ）線段EF的長等于；（Ⅱ）△ABC的面積為．5．（2024?南崗區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC、BD相交于點E，AC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，則CD邊的長為．6．（2024?蓮湖區(qū)一模）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點，且AF＝CD，點E，F(xiàn)，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．7．（2024?天河區(qū)校級一模）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度數(shù)．8．（2024?湖州一模）如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿射線BC的方向平移至A′B′，使B′為BC的中點，連結(jié)AA′，記A′B′與AC的交點為O．（1）求證：△AOA′≌△COB′；（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度數(shù)．考點三：特殊三角形特殊三角形在中考數(shù)學中包含等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形。其中等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”和直角三角形的“勾股定理”是特殊三角形非常重要的性質(zhì)。題型01等腰三角形的性質(zhì)和判定易錯點01：等腰三角形是軸對稱圖形，有1條或3條對稱軸易錯點02：等腰三角形重要性質(zhì)：“三線合一”、等邊對等角易錯點03：等腰三角形判定方法：①定義法；②等角對等邊當一個三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形，遇到時要記得用?！局锌颊骖}練】1．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．70° B．100° C．110° D．140°2．（2023?河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°3．（2023?菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°5．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為．7．（2023?煙臺）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE．（1）如圖1，求證：DE＝BF；（2）如圖2，若AD＝2，BF的延長線恰好經(jīng)過DE的中點G，求BE的長．【中考模擬練】1．（2024?宿遷二模）等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則這個等腰三角形的底角為（）A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°2．（2024?道里區(qū)一模）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，腰AB的長為4，則底邊BC的長為．3．（2024?喀什地區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接BF交AC于點D，若∠A＝40°，則∠EBD是．4．（2024?咸豐縣模擬）已知A（2，0），B（0，2），點C在坐標軸上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的C有（）個．A．5 B．6 C．7 D．85．（2024?惠安縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是邊AC的中線，根據(jù)下列作圖步驟：①分別以B，C為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點；②連接M，N并延長，交BD于點P；③連接AP，CP．則下列結(jié)論正確的是（）A．延長CP，則CP垂直平分AB B．AP平分∠BAC C．△APB是等腰三角形 D．AP＝BP＝CP6．（2023?紫金縣三模）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．67．（2024?道里區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，AD＝BE，則BE的長．8．（2024?利津縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．則△AMN的周長為．9．（2023?黑龍江模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，則S△BDC的值為（）A．24 B．12 C．6 D．310．（2023?長春二模）如圖，直線y＝4x+4與坐標軸交于A、B兩點，點C為x軸負半軸上一點，∠CAB＝45°．則點C的坐標是．題型02等邊三角形的性質(zhì)和判定解題大招01：等邊三角形的判定方法重點記憶有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，但是如果一個三角形中出現(xiàn)2個60°內(nèi)角，也要往等邊三角形方向想。解題大招02：等邊三角形面積的求解方法：【中考真題練】1．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°2．（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．3．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm．4．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是．5．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為．【中考模擬練】1．（2023?黔東南州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D，點E是AD延長線上一點，若AE＝AC，則∠AEC的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．65° D．75°2．（2024?長沙縣一模）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝45°，則∠EAB等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°3．（2023?團風縣模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內(nèi)的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF＝（）A．12 B．8 C．4 D．34．（2023?肥西縣二模）如圖，在等邊△ABC中，點A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A．4 B．2+ C．+2 D．2+25．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點E是AC的中點，過點E作EF⊥AB于點F，延長BC交EF的反向延長線于點D，若EF＝1，則DF的長為．6．（2023?長春模擬）兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖②所示的△ABC和△ADE，點B、C、D依次在同一條直線上，連接CE．若CD＝1，CE＝3，則點A到直線BC的距離為．題型03直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)有些是通用的，有些是特殊角的直角三角形才有的，使用時需要注意區(qū)分【中考真題練】1．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m2．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（）A．1 B．2 C．6 D．83．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm4．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝．【中考模擬練】1．（2024?昭通一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜邊AB上的高，BD＝2，那么AB等于（）A．5 B．6 C．8 D．122．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）定義：一個三角形的一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形叫做“倍角三角形”．若直角△ABC是“倍角三角形”，∠C＝90°，∠A≤∠B，則∠A的度數(shù)為．3．（2023?漳浦縣模擬）在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝．5．（2023?蓮湖區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，點D為BC的中點，AE⊥BC于點E，則DE的長是（）A．1 B． C．3 D．66．（2024?靈山縣一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，AC＝6，F(xiàn)是線段DE上一點，連接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，則BC的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．127．（2024?湖南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜邊AC的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E兩點，若BD＝4，則AC的長是．8．（2024?新昌縣一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點E是邊BC延長線上一點，連結(jié)AE，DE，過點C作CF⊥DE于點F，且DF＝EF．（1）求證：AD＝CE．（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面積．題型04勾股定理及其應用解題大招01：常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)解題大招02：勾股定理是初中數(shù)學中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想【中考真題練】1．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．22．（2023?南京）我國南宋數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是（）A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里3．（2023?日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無法確定4．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（）A． B． C． D．5．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為里．6．（2023?安徽）清初數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝．7．（2023?菏澤）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，點E在線段BC上運動，點F在線段AE上，∠ADF＝∠BAE，則線段BF的最小值為．8．（2023?湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝．9．（2023?揚州）我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．10．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．11．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．12．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計）【中考模擬練】1．（2024?黔南州一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝6，在BC上取一點M（不與B、C點重合），連接AM，當AM的長度為整數(shù)值時，符合條件的AM值共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2024?元謀縣一模）如圖所示，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則△ABC的面積為（）A． B．5 C． D．103．（2024?邱縣一模）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形的形狀改變而變化．當△ABC是直角三角形時，對角線AC的長為（）A．5 B． C． D．44．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）學習了勾股定理后，老師給大家留了一個作業(yè)題，小華看了后，無從下手，請你幫幫小華．如圖，△ABC的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，CD⊥AB于點D，則CD的長是（）A． B．4 C． D．5．（2024?鞍山模擬）勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m6．（2024?涼州區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個正方形，點G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面積為13，則AB的長為（）A．5 B． C． D．7．（2024?潯陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．8．（2023?杭州模擬）在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小小同學發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．據(jù)此規(guī)律，當a＝45時，b的值是（）a357911…b412244060…c513254161…A．1011 B．1012 C．1013 D．10149．（2024?常州模擬）如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，連接AC，分別交EF，GH于點M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面積為24，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．4 B．4.5 C．4.8 D．510．（2024?高新區(qū)模擬）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍?，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺11．（2023?丹江口市模擬）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點C′處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C′處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，高為30cm，則螞蟻爬行的最短距離為（）cm．A．10 B．50 C．10 D．7012．（2024?西安一模）為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，走向綜合性、實踐性的課程教學變革，某中學推進項目式學習，組織九年級數(shù)學研學小組，進行了“測量古樹高度”的項目式學習活動．其中甲、乙兩個研學小組分別設計了不同的測量方案；他們各自設計的測量方案示意圖及測量數(shù)據(jù)如表所示：活動課題測量古樹AB的高度研學小組甲組乙組測量示意圖測量說明CE⊥AB于點E，BECD為一個矩形架，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)．CD⊥AB于點D，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)．測量數(shù)據(jù)CD＝4m，CE＝12m，∠ACE＝30°．∠ACD＝45°，∠BCD＝60°，CD＝4m．請你選擇其中的一種測量方案，求古樹AB的高度．（結(jié)果保留根號）重難點02三角形與特殊三角形解析考點一：三角形的基礎知識三角形的基礎知識是學習三角形后續(xù)知識的基礎，也是其他幾何圖形學習的基礎，雖然中考中單獨考察的幾率不是很大，但是它卻可以融合在其他圖形中輔助解題。特別是三角形內(nèi)角和定理、外角定理、角平分線的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì)，都是解決幾何問題中不可或缺的輔助手段，也更需要我們重視這塊知識的復習。題型01三角形的內(nèi)角和與外角定理易錯點：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和=180°三角形外角定理：三角形的一個外角=與它不相鄰兩個內(nèi)角的和三角形內(nèi)角和與外角定理是幾何圖形求解角度時常用的等量關(guān)系；即使是其他多邊形，也常轉(zhuǎn)化為三角形求角度；【中考真題練】1．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝100°．【分析】由題意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定義可求得∠CAD＝85°，再由三角形的內(nèi)角和可求得∠AGD＝50°，利用對頂角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和即可求∠DFC．【解答】解：如圖，由題意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案為：100°．2．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【分析】由平行線的性質(zhì)可求∠ADC得度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．3．（2023?遂寧）若三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3，則這個三角形是直角三角形．【分析】設這個三角形最小的內(nèi)角是x°，則另外兩內(nèi)角的度數(shù)分別為2x°，3x°，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再將其代入3x°中即可得出結(jié)論．【解答】解：設這個三角形最小的內(nèi)角是x°，則另外兩內(nèi)角的度數(shù)分別為2x°，3x°，根據(jù)題意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴這個三角形是直角三角形．故答案為：直角．4．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝22.5度．【分析】根據(jù)題意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5．5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝55°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進行計算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案為：55．【中考真題練】1．（2024?鹽城模擬）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可知：∠α＝30°+45°＝75°，故選：B．2．（2023?新邵縣校級一模）如圖，在△ABC中，延長AB至D，延長BC至E如果∠1+∠2＝230°，則∠A＝50°．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，再結(jié)合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，從而可求∠A的度數(shù)．【解答】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∵∠1+∠2＝230°，∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，解得：∠A＝50°．故答案為：50°．3．（2023?紹興模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F(xiàn)在直線l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義求出∠ABO＝45°，∠BOE＝70°，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠OBE＝20°，進一步即可得到∠ABE的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故選：B．4．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點E，則∠ECD度數(shù)為（）A．5° B．8° C．10° D．12°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠ACD的度數(shù)數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于點E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故選：C．5．（2023?石峰區(qū)一模）如圖，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B，C處開工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度數(shù)是75°．【分析】先求出∠ABC，∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案為：75°．題型02三角形的三邊關(guān)系解題大招01：三角形兩邊之差＜第三邊＜三角形兩邊之和解題大招02：判定三邊能否組成三角形，直接用“定理”，且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長即可解題大招03：“三點共線”類最值：當兩線段長固定，且首尾相連，可用三點共線來求其最大值與最小值【中考真題練】1．（2023?福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故選：B．2．（2023?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項不符合題意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；∵4+5＞7，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．3．（2023?金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設第三條線段長為xcm，再利用三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設第三條線段長為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．4．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為3或4或5或6或7（答案不唯一）（寫出一個即可）．【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊確定第三邊的范圍，根據(jù)題意計算即可．【解答】解：設三角形的第三邊長為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三邊的長為整數(shù)，∴x＝3或4或5或6或7．故答案為：3或4或5或6或7（答案不唯一）．【中考模擬練】1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖，人字梯的支架AB，AC的長度都為2m（連接處的長度忽略不計），則B、C兩點之間的距離可能是（）A．3m B．4.2m C．5m D．6m【分析】根據(jù)三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和求出BC的取值范圍，判斷各選項即可得的答案．【解答】解：∵AC＝AC＝2m，∴2﹣2＜BC＜2+2，即0m＜BC＜4m．故選：A．2．（2024?新華區(qū)一模）為估計池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點O，測得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距離不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，30m不可能．故選：D．3．（2024?邳州市校級一模）三角形的兩邊長分別為2和9，周長為偶數(shù)，則第三邊長為9．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再求得周長的取值范圍．根據(jù)周長為偶數(shù)，確定第三邊的長．【解答】解：設第三邊長x．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7＜x＜11．∴三角形的周長l的取值范圍是：18＜l＜22．又∵三角形的周長為偶數(shù)，因而滿足條件的數(shù)有20．∴第三邊長為20﹣2﹣9＝9．故答案為9．4．（2023?六安三模）三角形的兩邊長分別是10和8，則第三邊的取值范圍是2＜x＜18．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可得答案．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：10﹣8＜x＜10+8，解得：2＜x＜18．故答案為：2＜x＜185．（2023?二道區(qū)校級模擬）已知一個三角形的兩邊長分別為4和5，若第三邊的長為整數(shù)，則此三角形周長的最大值17．【分析】第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出x的取值范圍，再由第三邊的長為整數(shù)得出x的值，進而可得出結(jié)論．【解答】解：第三邊的長為x，∵一個三角形的兩邊長分別為4和5，∴5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三邊的長為整數(shù)，∴x的值可以為2，3，4，5，6，7，8，∴當x＝8時，此三角形周長的最大值＝4+5+8＝17．故答案為：17．6．（2023?婁星區(qū)一模）已知四根小棒的長度分別為5cm、6cm、10cm、12cm，從中取出三根小棒，能圍成三角形的概率為．【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依據(jù)三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的方案舍去，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．【解答】解：共有4種方案：①取5cm、6cm、10cm；由于10﹣5＜6＜10+5，能構(gòu)成三角形；②取5cm、6cm、12cm；由于5+6＜12，不能構(gòu)成三角形；③取6cm、10cm、12cm；由于12﹣6＜10＜12+6，能構(gòu)成三角形；④取5cm、10cm、12cm；由于12﹣5＜10＜12+5，能構(gòu)成三角形．∴一個有4種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中能構(gòu)成三角形的結(jié)果數(shù)有3種，∴能圍成三角形的概率為．故答案為：．題型03三角形“三線”的性質(zhì)由△的三線組成的幾個“心”：△三邊中線交點—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點的距離=重心到這條中線定點距離的一半；△三條角平分線交點—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；△三邊中垂線交點—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個頂點的距離（連接）相等；解題大招01：三角形中線常見作用及其輔助線常見“用途”：平分線段、平分面積；輔助線類型：倍長中線造全等—→延伸：倍長中線類模型；解題大招02：三角形高線常見作用及其輔助線常見“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；輔助線類型：見特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；解題大招03：角平分線常見作用及其輔助線常見“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；輔助線類型：見角平分線作雙垂、見角平分線作對稱、截長補短構(gòu)全等、見角平分線＋垂直，延長出等腰；解題大招04：中垂線常見作用及其輔助線常見“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長等；輔助線類型：連接兩點【中考真題練】1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點E到直線AD的距離為．【分析】過E作EH⊥AD于H，由角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點E到直線AD的距離．【解答】解：過E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD＝＝13，∵△ADE的面積＝AD?EH＝AE?DE，∴13EH＝12×5，∴EH＝，點E到直線AD的距離為．故答案為：．2．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是13．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案為：13．3．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是4．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理求出AD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分線，∴DC＝AD＝4，故答案為：4．4．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝10°．【分析】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案為：10°．5．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝5．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進而求出AE＝4，設CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，設CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案為：5．【中考模擬練】1．（2024?沭陽縣校級模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案為1．2．（2024?天山區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD＝2，P為AB上一動點，則PD的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。俑鶕?jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP＝CD解決問題；【解答】解：當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。勺鲌D可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值為2，故選：A．3．（2024?南昌一模）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長度是3cm．【分析】過P作PN⊥OB于N，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行線的性質(zhì)推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的長度是3cm．【解答】解：過P作PN⊥OB于N，由題意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的長度是3cm．故答案為：3cm．4．（2024?永靖縣一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．【分析】過點D作DF⊥AC，垂足為F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面積進行計算即可解答．【解答】解：過點D作DF⊥AC，垂足為F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，∴S△ACD＝AC?DF＝×2×1＝1，故答案為：1．5．（2023?長清區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的長．【解答】解：過點E作ED⊥AB于點D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，設AC＝x，則AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的長為：6．故選：C．考點二：全等三角形全等三角形的性質(zhì)是對應邊相等、對應角相等。附帶推論是全等三角形對應邊上的“三線”也分別相等。全等三角形判定方法有“4+1”種，出題時常把全等三角形的判定和性質(zhì)同時出題，難度一般不大，但是這個考點后期的可結(jié)合性比較大，所以也是非常重要的一個考點。題型01全等三角形的判定易錯點01：全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL易錯點02：三角形全等的基本步驟：①準備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論。【中考真題練】1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點O，AC∥BD，只添加一個條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD【分析】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．【解答】解：A、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意；B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項符合題意；C、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意；D、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意；故選：B．2．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【分析】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴當∠A＝∠D時，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；當∠AFB＝∠DEC時，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；當AB＝DC時，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；當AF＝DE時，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；故選：D．3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．（2）根據(jù)（1）中所選條件，進行證明即可．【解答】解：（1）由題知，選擇的三個條件是：①②③；或者選擇的三個條件是：①③④．證明：（2）當選擇①②③時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．當選擇①③④時，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【中考模擬練】1．（2024?朝陽區(qū)模擬）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法是：如圖在∠AOB的邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到∠AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】已知兩三角形三邊分別相等，可考慮SSS證明三角形全等，從而證明角相等．【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS證明如下：由題意得，PN＝PM，在△ONP和△OMP中，，∴△ONP≌△OMP（SSS）所以∠NOP＝∠MOP故OP為∠AOB的平分線．故選：A．2．（2024?重慶模擬）根據(jù)下列條件，不能畫出唯一確定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6 B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60° C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4【分析】利用全等三角形的判定定理依次判斷每個選項即可．【解答】解：A：三邊確定，符合全等三角形判定定理SSS，能畫出唯一的△ABC，故不符合題意，B：已知兩個角及其公共邊，符合全等三角形判定定理ASA，能畫出唯一的△ABC，故不符合題意，C：已知兩邊及其中一邊的對角，屬于“SSA”的情況，不符合全等三角形判定定理，故不能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意，D：已知一個直角和一條直角邊以及斜邊長，符合全等三角形判定定理HL，能畫出唯一的△ABC，故不符合題意．故選：C．3．（2023?文昌二模）如圖，點A，F(xiàn)，E，C在一條直線上，AF＝CE，AD＝CB，則添加下列條件仍不能判斷△ADE≌△CBF的是（）A．DE＝BF B．DE∥BF C．AD∥CB D．∠D＝∠B＝90°【分析】先由AF＝CE得到AE＝CF，然后結(jié)合AD＝CB，再根據(jù)全等三角形的判定條件逐項判定即可解答．【解答】解：∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，∵AD＝CB，A．由DE＝BF，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SSS即可證明△ADE?△CBF，不滿足題意；B．由DE∥BF可得∠BFC＝∠AED，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SSA不能證明△ADE?△CBF，滿足題意；C．由AD∥CB可得∠C＝∠A，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SAS能證明△ADE?△CBF，不滿足題意；D．由∠D＝∠B＝90°，結(jié)合AD＝CB、AE＝CF，根據(jù)SAS能證明△ADE?△CBF，不滿足題意．故選：B．4．（2023?西寧二模）如圖，正方形格點圖中，點A、B、C、D、E、F均在格點上，若以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，請寫出一個滿足條件的F點坐標（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（2，﹣4）．【分析】先根據(jù)全等三角形的判定定理畫出符合的F點的位置，再得出F點的坐標即可．【解答】解：如圖所示，有4種情況，∵A（2，2），C（1，1），B（2，4），E（1，﹣1），D（2，﹣2），∴當F的坐標是（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（1，﹣4）時，以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，故答案為：（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（2，﹣4）．5．（2024?伊通縣一模）如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACE．【分析】根據(jù)SAS證明三角形全等即可．【解答】證明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠CAB＝∠DAE＝90°．∴∠CAB+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．6．（2023?農(nóng)安縣模擬）如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF．求證：△AED≌△BFC．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADE＝∠BCF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【解答】證明：∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，在Rt△ADE與Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．題型02全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL解題大招01：解題大招：有關(guān)三角形全等問題應用的三個方向：①證邊相等就證它們所在的三角形全等；②證角相等就證它們所在的三角形全等；③全等三角形可以提供相等線段、相等角解題大招02：【中考真題練】1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為3．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到EF＝BC＝8，計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案為：3．2．（2023?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為BC的中點，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長為．【分析】由“ASA”可證△ABD≌△ECD，可得AB＝CE＝5，由勾股定理可求BC的長，即可求解．【解答】解：∵點D為BC的中點，∴BD＝CD，∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ASA），∴AB＝CE＝5，∴BC＝＝3，∴CD＝，故答案為：．3．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為3．【分析】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進一步可得EF的長．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．4．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當點D落在BC邊上時，點P需移動1s．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到角與邊的等量關(guān)系，從而證明△BDP≌APQ，由此得到邊之間的關(guān)系，進而求解．【解答】解：設點P需移動t秒，點D落在BC邊上，如圖所示．∵三角形PQD是等邊三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ（ASA）．∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），∴t＝1．故答案為：1．5．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作圖知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．6．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．【分析】（1）利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理計算出AC，從而得到AB的長，然后計算AB﹣AD即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）