福建省福州八縣（市）一中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022--2023學(xué)年度第二學(xué)期福州八縣(市)一中期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)科試卷考試日期：4月20日完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題學(xué)校：一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1若，則復(fù)數(shù)()A.1 B. C. D.2.已知向量在由小正方形(邊長1)組成的網(wǎng)格中的位置如圖所示，則()A.12 B.4 C.6 D.33.如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原圖的面積為()A. B. C. D.4.如圖，在中，，則()A. B. C. D.5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.已知分別是內(nèi)角所對的邊，是方程的兩個(gè)根，且，則()A. B. C. D.7.已知中，“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.某工廠的煙囪如圖所示，底部為，頂部為，相距為的點(diǎn)，與點(diǎn)在同一水平線上，用高為的測角工具在，位置測得煙囪頂部在和處的仰角分別為，.其中，和在同一條水平線上，在上，則煙囪的高()A. B.C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是()A.直四棱柱是長方體B.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D.棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面10.下列命題正確的是()A.B.已知，為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線C.若為非零向量，若“”則“”D.若單位向量滿足，則與的夾角為011.已知滿足，則()A.為銳角三角形 B.C. D.12.對于函數(shù)，其中正確命題是()A.該函數(shù)的值域是，B.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，該函數(shù)取最大值1C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13若復(fù)數(shù)，則__．14.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．15.記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．若，，，則的面積為__．16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(1)計(jì)算：；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．18.已知向量．(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線？(2)當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀楹沃禃r(shí)，與夾角為銳角？19.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)如果點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)滿足，設(shè)，求的最小值．20.若函數(shù)同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①最小值為；②；③；④最小正周期為．(1)給出函數(shù)解析式，并說明理由；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．21.疫情后全國各地紛紛布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，每件的銷售價(jià)格(單位：元)與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量(單位：件)與時(shí)間(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：(天11418222630122135139143139135(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)已知第1天的日銷售收入為244元．設(shè)該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，求的最小值．22.已知的內(nèi)角所對的邊分別為從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解答問題：①；②；③.(1)求角的大小；(2)(i)若的面積為，，角的內(nèi)角平分線交于，求．(ii)若，動點(diǎn)分別在邊，上，如果把成面積相等的兩部分，求長度的最短值．

2022--2023學(xué)年度第二學(xué)期福州八縣(市)一中期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)科試卷考試日期：4月20日完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.若，則復(fù)數(shù)()A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可解．【詳解】因?yàn)?，故選：D．2.已知向量在由小正方形(邊長1)組成的網(wǎng)格中的位置如圖所示，則()A.12 B.4 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】選擇適當(dāng)?shù)南蛄孔鳛槠矫嫦蛄炕?，用基底來表示向量，即可?【詳解】以網(wǎng)格的小正方形相鄰兩邊所在方向單位向量為基底,如圖.則,所以，則.故選：C3.如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原圖的面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法一：還原原圖形，再求出面積；方法二：先求出直觀圖的面積，再根據(jù)直觀圖和原圖形的面積比進(jìn)行求解【詳解】方法一：如圖所示：根據(jù)斜二測畫法，可知原圖形為平行四邊形，其中，，故面積為.方法二：直觀圖的面積為，原圖的面積與直觀圖的面積之比為，故原圖的面積為.故選：A4.如圖，在中，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用平面向量三角形法則和數(shù)乘向量，直接求解．【詳解】在中，，∴.故選：A．5.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運(yùn)算法則，求得，，的取值范圍即可求解．【詳解】解：，，，，即，，．故選：C．6.已知分別是內(nèi)角所對的邊，是方程的兩個(gè)根，且，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理去求的值.【詳解】是方程的兩個(gè)根，則有，則故選：B7.已知中，“”是“”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由三角形大邊對大角可知，由在上的單調(diào)性可得，由此可確定結(jié)果.【詳解】由正弦定理以及三角形大邊對大角可得：，又，在上單調(diào)遞減，，即，“”是“”成立的充分必要條件.故選：C.8.某工廠的煙囪如圖所示，底部為，頂部為，相距為的點(diǎn)，與點(diǎn)在同一水平線上，用高為的測角工具在，位置測得煙囪頂部在和處的仰角分別為，.其中，和在同一條水平線上，在上，則煙囪的高()A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在中利用正弦定理可得，再根據(jù)可得，進(jìn)而求得即可【詳解】如下圖，在中，，由正弦定理可得，所以，從而，故，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是()A.直四棱柱是長方體B.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D.棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面【答案】BC【解析】【分析】對于A：由直四棱柱定義，即可判斷A是否正確；對于B：由平行六面體的定義，即可判斷B是否正確；對于C：由棱臺的定義，即可判斷C是否正確；對于D：由棱柱的定義，即可判斷D是否正確．【詳解】解：對于A：因?yàn)橹彼睦庵舷碌酌嫫叫校巧舷碌酌婵梢圆皇蔷匦?，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯(cuò)誤；對于B：平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，故B正確；對于C：由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故C正確；對于D：棱柱的兩個(gè)面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側(cè)面，故D錯(cuò)誤；故選：BC．10.下列命題正確的是()A.B.已知，為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線C.若為非零向量，若“”則“”D.若單位向量滿足，則與的夾角為0【答案】BD【解析】【分析】通過舉反例說明選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則與共線，即選項(xiàng)B正確；或，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；可以證明與的夾角為0，即選項(xiàng)D正確．【詳解】對于選項(xiàng)A，不妨設(shè)，，為非零向量，且，則，，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，已知，為非零實(shí)數(shù)，若，，則與共線，即選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，已知為非零向量，又,則，即或，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，若單位向量滿足，即，即，即，則，則與的夾角為0，即選項(xiàng)D正確．故選：BD．11.已知滿足，則()A.銳角三角形 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合兩角和的余弦公式及余弦定理逐一判斷即可得解．【詳解】解：已知滿足，則，即，即，對于選項(xiàng)A，為鈍角三角形，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，，，，即選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，，，即選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由，結(jié)合余弦定理可得：，即選項(xiàng)D正確．故選：BCD．12.對于函數(shù)，其中正確命題的是()A.該函數(shù)的值域是，B.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，該函數(shù)取最大值1C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】把已知函數(shù)解析式變形，作出函數(shù)的圖像，利用圖像逐項(xiàng)判斷得答案．【詳解】解：由，得，作出函數(shù)的圖像(圖中實(shí)線)如圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的值域是，，故錯(cuò)誤；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最大值1，故正確；由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故正確；，函數(shù)為周期函數(shù)，由圖可知，當(dāng)，，時(shí)，單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先計(jì)算，再根據(jù)模長的計(jì)算公式可解．【詳解】因?yàn)?，則，則，故答案為：．14.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為__．【答案】##1.5【解析】【分析】利用投影向量公式求解即可.【詳解】解：，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故答案為：.15.記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．若，，，則的面積為__．【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合余弦定理可得，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求，再由三角形面積公式可求．【詳解】解：由余弦定理得，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，故的面積．故答案為：．16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式，可分、、三種情況分別寫出與，結(jié)合，可得關(guān)于的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性求解的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時(shí)，，，可知不存在，使得；當(dāng)時(shí)，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過分、以及進(jìn)行討論，通過構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性得到范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(1)計(jì)算：；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值．【答案】(1)；(2)5.【解析】【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可；(2)由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0且虛部不等于0，求解即可．【詳解】(1)原式=(2)為純虛數(shù)，，或(舍去)，即18.已知向量．(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線？(2)當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀楹沃禃r(shí)，與夾角為銳角？【答案】(1)2；(2).【解析】【分析】(1)直接利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求得值；(2)問題轉(zhuǎn)化為，再排除與共線時(shí)的值，即得的取值范圍．【小問1詳解】與共線，，解得.所以當(dāng)時(shí)，與共線.【小問2詳解】若與的夾角為銳角，則，解得．又由(1)得，當(dāng)時(shí)，與共線且同方向，故當(dāng)?shù)姆秶鸀闀r(shí)，與夾角為銳角．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)如果點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如果點(diǎn)滿足，設(shè)，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)可設(shè)，根據(jù)四邊形是平行四邊形得出，從而可建立關(guān)于，的方程，解出，即可；(2)可求出，從而得出，然后可求出，然后配方即可求出最小值．【小問1詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，由于，，故，所以，所以的坐?biāo)為；【小問2詳解】，，，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．20.若函數(shù)同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①最小值為；②；③；④最小正周期為．(1)給出函數(shù)的解析式，并說明理由；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，理由見解析；(2).【解析】【分析】(1)先由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定不符合③，然后結(jié)合①②④可求，，，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；(2)解不等式即可求解．【小問1詳解】依題意，若函數(shù)滿足條件③，則有，因?yàn)?，所以，③顯然不成立，所以應(yīng)滿足條件①②④，由條件④得，且，所以，由條件①得，再由條件②得有，所以.所以.因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.21.疫情后全國各地紛紛布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，每件的銷售價(jià)格(單位：元)與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量(單位：件)與時(shí)間(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：(天11418222630122135139143139135(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)已知第1天的日銷售收入為244元．設(shè)該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，求的最小值．【答案】(1)選擇模型②，，；(2)139.5元．【解析】【分析】(1)由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變長時(shí)，先增后減，則選擇模型②，由函數(shù)圖象對稱性可知，由表格數(shù)據(jù)代入即可求解；(2)由第1天的日銷售收入為244元，解得，由(1)，去絕對值后分類討論即可求解．【小問1詳解】解：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，每件的銷售價(jià)格(單位：元)與時(shí)間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量(單位：件)與時(shí)間(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：(天11418222630122135139143139135由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變長時(shí)，先增后減，①③④函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以