上海市南匯第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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上海市南匯第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.2.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.4.設(shè),點,,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.5.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,186.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.7.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上,且,.設(shè)三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.8.年某省將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.9.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.12010.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時,檢測結(jié)束,則第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.212.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7,最小值為1,則___________.14.的角所對的邊分別為,且,,若,則的值為__________.15.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且,,,則_______.16.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.19.(12分)設(shè),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)某景點上山共有級臺階,寓意長長久久.甲上臺階時,可以一步走一個臺階,也可以一步走兩個臺階,若甲每步上一個臺階的概率為,每步上兩個臺階的概率為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從級臺階開始向上走,一步走一個臺階記分,一步走兩個臺階記分,記甲登上第個臺階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時所得分數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過程中,恰好登上第級臺階的概率.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.22.(10分)已知,均為正項數(shù)列,其前項和分別為,,且,,,當(dāng),時,,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.2、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算,需掌握復(fù)數(shù)的運算法則,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.5、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用.6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計算.【詳解】,∴.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵.7、A【解析】

設(shè)的中點為O先求出外接圓的半徑,設(shè),利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點為O,因為,所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因為,所以,解得.因為,所以.設(shè),易知平面ABC,則.因為,所以,即,解得.所以球Q的半徑.故選:A【點睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計算求解能力,是中檔題8、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.9、A【解析】

對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.【點睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進而求得其模.【詳解】因為,所以故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,表示直線在軸上的截距,只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可.【詳解】由題意得:目標函數(shù)在點B取得最大值為7,在點A處取得最小值為1,∴,,∴直線AB的方程是:,∴則,故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值的方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因為,故,因為,所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因為,解得或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.15、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.16、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域為,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)連接,設(shè),可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點建立空間直角坐標系,利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,在四棱柱中,分別為的中點,,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.(2)以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.設(shè),四邊形為正方形,,,則,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量,由得:,令,則,,由得:,令,則,,,,,二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題;關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法,易錯點是求得法向量夾角余弦值后,未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角,造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.18、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時,,當(dāng)時,再利用進行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)【解析】

(1),令,解不等式即可;(2),令得,即,且的最小值為,令,結(jié)合即可解決.【詳解】(1),當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),,,設(shè)的根為,即有可得,,當(dāng)時,,遞減,當(dāng)時,,遞增.,所以,①當(dāng);②當(dāng)時,設(shè),遞增,,所以.綜上,.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,這里要強調(diào)一點,處理恒成立問題時,通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理.20、見解析【解析】

(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得.21、(1)(2)【解析】

(1)用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當(dāng)時,,即,此時無解;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對值不等式的方法是分類討論思想.22、(1),

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