福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)高中、城關(guān)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)高中、城關(guān)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí)，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．5．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．7．點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn)，且，，則的值為()A． B． C． D．8．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．9．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．12．如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結(jié)論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B．2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.14．已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_________．15．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足.則不等式的解集為_(kāi)_______.16．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出面積的最大值.18．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積20．（12分）十八大以來(lái)，黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合作醫(yī)療）推出了新政，各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn)．提高了各項(xiàng)報(bào)銷(xiāo)的比例，其中門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例如下：表1：新農(nóng)合門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診人次情況如下：表2：李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診情況統(tǒng)計(jì)表醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門(mén)診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門(mén)診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、500元．若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次．（Ⅰ）李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%，從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門(mén)診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于門(mén)診實(shí)付費(fèi)用（報(bào)銷(xiāo)后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分）的分布列與期望．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．22．（10分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)程序框圖的運(yùn)行，循環(huán)算出當(dāng)時(shí)，結(jié)束運(yùn)行，總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說(shuō)明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且，在上即可.【詳解】A：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不可能時(shí)奇函數(shù)，錯(cuò)誤；B：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足奇函數(shù)，，在上，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，錯(cuò)誤；D：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號(hào)零點(diǎn)，所以在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，屬于簡(jiǎn)單題目.5、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫(huà)出相應(yīng)圖形如下：可知點(diǎn),，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以的周期?，故，故的虛部為2，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.7、B【解析】

可畫(huà)出圖形，根據(jù)條件可得，從而可解出，然后根據(jù)，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．【詳解】如圖：點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn)，由可得：，又因，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8、B【解析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.9、D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時(shí)，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.11、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解：因?yàn)?，由等差?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如.12、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng)，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對(duì)于選項(xiàng)，令代入回歸直線方程得億元，故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線與圓相離時(shí)，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.15、【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，也是最小值，即，，，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，則不等式等價(jià)于，又，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．16、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）先畫(huà)出圖形，結(jié)合垂直平分線和平行四邊形性質(zhì)可得為一定值，，故可確定點(diǎn)軌跡為橢圓（），進(jìn)而求解；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，分別由點(diǎn)斜式求得直線KA的方程為，令得，同理得，由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解，而，當(dāng)重合交于點(diǎn)時(shí)，可求最值；【詳解】（Ⅰ），所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距，所以，軌跡的方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與曲線無(wú)交點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去，得.則，.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點(diǎn)為.不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，則.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程，橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點(diǎn)，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點(diǎn)，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長(zhǎng)，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng)，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）的發(fā)分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05期望．【解析】

（Ⅰ）由表2可得去各個(gè)門(mén)診的人次比例可得2000人中各個(gè)門(mén)診的人數(shù)，即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù)，又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數(shù)，進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率；（Ⅱ）由去各門(mén)診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值，再由概率可得的分布列，進(jìn)而求出概率．【詳解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次，分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院人數(shù)為，，，，而三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人次占了，所以去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中，60歲以上的人數(shù)為：人，設(shè)從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為，則；（Ⅱ）由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為：，，，，，，，，所以的發(fā)分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望．【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、(1).(2).【解析】分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系