浙江省六校聯(lián)盟2024年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省六校聯(lián)盟2024年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，4．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專(zhuān)項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4325．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題6．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．37．已知，，，，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．9．如果直線(xiàn)與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能10．下列圖形中，不是三棱柱展開(kāi)圖的是（）A． B． C． D．11．已知集合則（）A． B． C． D．12．在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為_(kāi)_________.15．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．16．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足二面角C-AB-O的大小為60°三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線(xiàn)G.（1）求曲線(xiàn)G的方程;（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線(xiàn)G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為；直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）若，求的值.21．（12分）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.（1）求的最小值.（2）證明：22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）的角的對(duì)邊分別為且，，求邊上的高的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．2、A【解析】

易得，過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)，故，又所以，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題，在作雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類(lèi)．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法．5、D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．6、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的基本思路，屬于中檔題．7、D【解析】

令，求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時(shí)，令，求導(dǎo)，，故單調(diào)遞增：∴，當(dāng)，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時(shí)，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯(cuò)誤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.9、B【解析】

根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑可得滿(mǎn)足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線(xiàn)與圓相交，圓心到直線(xiàn)的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．10、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知，ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱，C選項(xiàng)不是三棱柱展開(kāi)圖.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開(kāi)圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知因?yàn)?，則即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線(xiàn)定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線(xiàn).設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過(guò)點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14、【解析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，計(jì)算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

設(shè)，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線(xiàn)定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，以及向量的共線(xiàn)定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線(xiàn)OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得，由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓，并由此求得曲線(xiàn)的方程.（2）將直線(xiàn)的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】（1）因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)不在軸上）,所以c,a=2,b,所以曲線(xiàn)G的方程為,（2）因?yàn)?，故四邊形為平行四邊?當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，則四邊形為為菱形，故直線(xiàn)MN的方程為x=﹣1或x=1,此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d,由,得xD,yD，∵點(diǎn)D在曲線(xiàn)C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程，考查橢圓中四邊形面積的計(jì)算，考查橢圓中的定值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【詳解】（1），且，解得所以當(dāng)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當(dāng)時(shí)，，.∵當(dāng)為真命題，且為假命題時(shí)，∴與的真假性相同，當(dāng)假假時(shí)，有，解得；當(dāng)真真時(shí)，有，解得；故當(dāng)為真命題且為假命題時(shí)，可得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題，考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.19、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.由直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線(xiàn)的普通方程；（2）將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，由直線(xiàn)的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線(xiàn)的普通方程為.（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線(xiàn)上.將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理可得，.點(diǎn)在直線(xiàn)上，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1），；（2）或【解析】

（1）根據(jù)曲線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，再由，，可得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）將曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程求，與直線(xiàn)極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去