(5.4.13)-5.7非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)學(xué)建模

腳本——非平穩(wěn)時(shí)間序列(ppt1,ppt2)同學(xué)，你好，今天我們來(lái)介紹非平穩(wěn)時(shí)間序列及其在中國(guó)人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。(ppt3)首先，先來(lái)介紹一下非平穩(wěn)時(shí)間序列的背景。(ppt4)（動(dòng)畫(huà)1）我們?yōu)槭裁匆芯糠瞧椒€(wěn)時(shí)間序列呢？（動(dòng)畫(huà)2）來(lái)看下面這張圖，它反映了我國(guó)GDP的數(shù)據(jù)變化，可以明顯的看出，我國(guó)的GDP是有上升的趨勢(shì)的，也就是說(shuō)我國(guó)GDP的均值是隨著時(shí)間在不斷變化的。（動(dòng)畫(huà)3）因此，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列而言，時(shí)間序列的某些數(shù)字特征是隨著時(shí)間變化而變化的。而現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)的。(ppt5)（動(dòng)畫(huà)1）下面我們來(lái)看非平穩(wěn)時(shí)間序列的定義與識(shí)別。（動(dòng)畫(huà)2）如果一個(gè)時(shí)間序列的均值或方差隨著時(shí)間變化，那么這個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)就是非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)；如果一個(gè)序列是非平穩(wěn)的序列，常常稱這一序列具有非平穩(wěn)性。（動(dòng)畫(huà)3）如果時(shí)間序列??_??不滿足下面任意一個(gè)平穩(wěn)性條件，則該序列是非平穩(wěn)的：（動(dòng)畫(huà)4）第一點(diǎn)，??_??的均值不隨時(shí)間變化，即??(??_??)=??。（動(dòng)畫(huà)5）第二點(diǎn)，??_??的方差不隨時(shí)間變化，即??????(??_??)=??(??_?????)的平方=??的平方。（動(dòng)畫(huà)6）第三點(diǎn)，任意兩期的??_??與??_(?????)之間的協(xié)方差僅依賴于時(shí)間間隔，而與時(shí)間t無(wú)關(guān)，即??_??=??[(??_?????)(??_(??+??)???)]。(ppt6)接下來(lái)我們來(lái)討論ARIMA模型的建模。(ppt7)（動(dòng)畫(huà)1）先引入d階差分的表示。（動(dòng)畫(huà)2）d階差分后序列可以表示為X_t的d階差分等于sigamai從1到d(?1)的d次方乘以??_??^????乘以x_(???i)，式中??_??^??等于d的階乘，除以i的階乘乘上（d-i）的階乘，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加權(quán)和，而對(duì)它又可以擬合自動(dòng)回歸移動(dòng)平均（ARMA）模型，所以稱它為求和自回歸移動(dòng)平均模型。(ppt8)（動(dòng)畫(huà)1）下面我們來(lái)講解ARIMA(p,d,q)模型。（動(dòng)畫(huà)2）具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為??????????(??,??,??)模型：（動(dòng)畫(huà)3）第一點(diǎn)；??(??)作用在??_??的d階差分=??(??)作用在??_??，變換得??_??的d階差分=??(??)除以??(??)*??_??，第二點(diǎn)，??_??的均值為0，方差為σ_??的平方，并且當(dāng)t不等于s，??_??和??_s無(wú)關(guān)，即??_??是零均值、方差為??_??方的平穩(wěn)白噪聲。第三點(diǎn)，對(duì)任意的s小于t，??_??與??_??無(wú)關(guān)，即當(dāng)期的隨機(jī)干擾與過(guò)去的序列值無(wú)關(guān)。（動(dòng)畫(huà)4）式中，d階差分等于（1-B）的d次方。??(??)=1???_1*???????_??*??的??次方，為平穩(wěn)可逆????????(??,??)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；??(??)=1???_1*???????_??*??的q次方，為平穩(wěn)可逆????????(??,??)模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式；??_??為零均值白噪聲序列。（動(dòng)畫(huà)5）ARIMA模型的實(shí)質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合。(ppt9)（動(dòng)畫(huà)1）（見(jiàn)背板）對(duì)于模型中的參數(shù)，特別地：（動(dòng)畫(huà)2）當(dāng)??=0時(shí)，??????????(??,??,??)模型實(shí)際上就是????????(??,??)模型；當(dāng)p=0時(shí)，??????????(0,??,??)模型實(shí)際上就是??????(??,??)模型；當(dāng)??=0時(shí)，??????????(p,??,0)模型可以簡(jiǎn)記為??????(??,??)模型。特別地，當(dāng)??=1,??=??=0時(shí)，??????????(0,1,0)模型為??_??=??_(???1)+??_??，該模型被稱為隨機(jī)游走模型。(ppt10)（動(dòng)畫(huà)1）（見(jiàn)背板）??????????(??,??,??)模型的一般表示方法為：??(??)*(?????)的d次方作用在??_??=??(??)作用在??_??。（動(dòng)畫(huà)2）和????????模型一樣，也可以用歷史觀測(cè)值的線性函數(shù)表示，記??_??=??_??+??_??*??_(?????)+??_??*??_(?????)+?=??(??)作用在??_??。（動(dòng)畫(huà)3）式中??_1,??_2,?的值由如下等式??(??)*(?????)的d次方*??(??)=??(??)確定，記??星(??)=??(??)*(?????)的d次方=?????_??*?????_??*??^??+?。(ppt11)（動(dòng)畫(huà)1）（見(jiàn)背板）容易驗(yàn)證??_1,??_2,?的值滿足如下遞推公式：??_??=??_?????_??，??_??=??_????_??+??_?????_??，??_??=??_????_(j???)+?+??_(??+??)??_(????????)???_??，式中，當(dāng),??>??時(shí)，??_??=??；j小于1時(shí)，??_??=0；j等于0時(shí)，??_??=1。(ppt12)（動(dòng)畫(huà)1）（見(jiàn)背板）那么，??_(??+??)的真實(shí)值為??_(??+??)=(??_(??+??)+??_????_(??+?????)+?+??_(?????)??_(??+??))+(??_????_??+??_(??+??)??_(?????)+?)（動(dòng)畫(huà)2）由于??_(??+??),??_(??+???1),?,??_(??+1)的不可獲得性，因此??_(??+??)的預(yù)測(cè)值只能為??_??

(??)heta=??_??星*??_??+??_??星*??_(?????)+??_??星*??_(?????)+?（動(dòng)畫(huà)3）真實(shí)值和預(yù)測(cè)值之間的均方誤差為??[??_(??+??)???_??(??)heta]方=(??+??_??方+?+??_(?????)方)*??方+(??_(??+??)???_??星)方*??方，j從0到無(wú)窮求和。（動(dòng)畫(huà)4）要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)??_??星=??_(??+??)，（動(dòng)畫(huà)5）所以，在均方誤差最小的原則下，??期的預(yù)報(bào)值為??

_??(??)heta=??_??*??_??+??_(??+??)*??_(?????)+??_(??+??)*??_(?????)+?(ppt13)（動(dòng)畫(huà)1）則??期的預(yù)測(cè)誤差為??_??(??)=??_(??+??)+??_??*??_(??+?????)+?+??_(?????)*??_(??+??)（動(dòng)畫(huà)2）真實(shí)值等于預(yù)測(cè)值加上預(yù)測(cè)誤差??_(??+??)=(??_??*??_??+??_(??+??)*??_(?????)+??_(??+??)*??_(?????)+?)+(??_(??+??)+??_????_(??+?????)+?+??_(?????)*??_(??+??)=??

_??(??)heta+??_??(??)（動(dòng)畫(huà)3）那么，??期預(yù)測(cè)的方差為(??+??_??方+?+??_(?????)方)*??方(ppt14)接下來(lái)我們來(lái)看一個(gè)案例分析——中國(guó)人口預(yù)測(cè)。(ppt15)1949—2001年中國(guó)人口時(shí)間序列數(shù)據(jù)見(jiàn)表1：中國(guó)人口在1949為5億多，到2001年增長(zhǎng)到12億多。(ppt16)先作出中國(guó)人口增長(zhǎng)圖，發(fā)現(xiàn)該序列明顯非平穩(wěn)，因此（動(dòng)畫(huà)1）做一階差分得到（動(dòng)畫(huà)2）差分后的序列圖，初步判斷其是平穩(wěn)的。(ppt17)（動(dòng)畫(huà)1）做出差分后序列滯后10階的自相關(guān)系數(shù)圖。（動(dòng)畫(huà)2）如下圖所示。（動(dòng)畫(huà)3）根據(jù)圖3中的Prob的系數(shù)都小于0.05，可以判斷差分后的序列平穩(wěn)。（動(dòng)畫(huà)4）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以近似嘗試用AR(1),MA(1),ARMA(1,1),ARMA(1,2),ARMA(1,3)等模型進(jìn)行不斷擬合比較。（動(dòng)畫(huà)5）根據(jù)赤池檢驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)AR(1)模型的AIC檢驗(yàn)值最小。(ppt18)我們?nèi)?945-2000這段時(shí)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，留下2001年的與預(yù)測(cè)的對(duì)比。（動(dòng)畫(huà)1）根據(jù)差分序列后的序列數(shù)據(jù)，我們得到AR(1)模型的估計(jì)結(jié)果。（動(dòng)畫(huà)2）如下圖所示，黃色圈中是該模型的估計(jì)值。（動(dòng)畫(huà)3）根據(jù)以上分析，我們得出這一模型形式如下:????_??=0.1429+0.6171????_(???1)+epsina_??。(ppt19)（動(dòng)畫(huà)1）我們來(lái)預(yù)測(cè)2001年中國(guó)人口數(shù)，（動(dòng)畫(huà)2）已知2001年中國(guó)人口實(shí)際數(shù)是12.7627億人，預(yù)測(cè)值為12.788億人，相對(duì)誤差為0.2%。(ppt20)最后我們來(lái)看一下時(shí)間序列分析應(yīng)用。(ppt21)（動(dòng)畫(huà)1）時(shí)間序列分析應(yīng)用可以用來(lái)地震前兆預(yù)測(cè)。（動(dòng)畫(huà)2）也可以用來(lái)控制環(huán)境污染。（動(dòng)畫(huà)3）時(shí)間序列分析還常用在國(guó)民經(jīng)濟(jì)宏觀控制、市場(chǎng)潛量預(yù)測(cè)、氣象預(yù)報(bào)、農(nóng)作物病蟲(chóng)災(zāi)害預(yù)報(bào)、天文學(xué)和海洋學(xué)等方面。(ppt22)（動(dòng)畫(huà)