新教材 人教B版高中數(shù)學必修第四冊 第九章 解三角形 教學案

第九章解三角形

9.1正弦定理與余弦定理................................................-1-

9.1.1正弦定理....................................................-1-

9.1.2余弦定理...................................................-13-

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用..........................................-23-

9.3數(shù)學探究活動：得到不可達兩點之間的距離............................-23-

9.1正弦定理與余弦定理

9.1.1正弦定理

學習目標核心素養(yǎng)

1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.(重點)

1.借助正弦定理的推導，提升

2.理解正弦定理及其變形的結(jié)構(gòu)形式，并能用正

數(shù)學抽象、邏輯推理的素養(yǎng).

弦定理解決三角形度量和邊角轉(zhuǎn)化問題，會判三角

2.通過正弦定理的應(yīng)用的學

形的形狀.(難點)

習，培養(yǎng)數(shù)學運算、直觀想象

3.能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù).(難點、

的素養(yǎng).

易錯點)

情境趣味導學情境導學。探新知預(yù)習素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學助教

關(guān)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認為是中世紀阿拉伯數(shù)學家、天文學家阿布

瓦法(940?998)提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的

證明最先是納綏爾丁-圖西(1201?1274)給出的.我國清代數(shù)學家梅文鼎(1633?

1721)在他的著作《平三角舉栗》中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整

形式.

思考：三角形中的邊與其所對的角的正弦值之間具有什么關(guān)系？

r~^新知初探m

1.三角形的面積公式

(l)S=^a-ha=^b-hb=^c-hc(.ha,hb,加分別表示a,b,c邊上的高).

(2)S=呼zbsinC~~~^bcsinA—^ctcsinB.

(3)S=；(a+匕+c>?r為內(nèi)切圓半徑).

2.正弦定理

在一個三角形中,各邊的長和它

.所對角的正弦的比相等

<______符號「產(chǎn)二.6二工

SWj［sin4sinBsinC」

3.解三角形

⑴一般地，我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素.

⑵已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形.

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些條件？

［提示］需栗兩角和一邊或兩邊和其中一邊的對角.

［拓展］

1.正弦定理的常用變形式

在△ABC中，若內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,其外接圓半徑為

R則

(1)〃sinB=bsinA,Z?sinC=csinB,asmC=csinA；

(2)sinA:sinB：sinC=a:b：c；

⑶卷=福=表=；1^許^=2&(證明見類型4［探究問題］)

(4)a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC；(可以實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化)

dhc

(5)sinA=樂，sinB=^,sin。=礪.(可以實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化)

2.三角形中邊角的不等關(guān)系

(1)若A>B>C,可得a>b>c,則sinA>sin3>sinC；

(2)若sinA>sin5AsinC可得。>6>c,則A>B>C

r~^初試

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

⑴正弦定理不適用于鈍角三角形.)

⑵在AABC中，等式bsinA=asin3總能成立.)

［提示］(1)X.正弦定理適用于任意三角形.

ah

(2)V.由正弦定理知而^=而小，即"sinA=asinB.

［答案］(1)X(2)V

2.在△ABC中，sinA=sinC,則△45。是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

B［因為A,C是△ABC的內(nèi)角，所以A+CVTT,又因為sinA=sinC,所以

A=C,即△ABC為等腰三角形.］

3.在△ABC中，已知a=3,b=5,sinAug,則sin3=()

A.gB.|C坐D.1

5X1

B［由正弦定理Z7看=磊h可得，sin"±Aciri廠A=丁3=|S，故選B.］

4.在△ABC中，若野=竽，則5的大小為.

［由正弦定理知嗎=*,

4LsinAsin

兀

sinB=cosB,又兀)，

疑難問題解惑合作探究。釋疑雎學科素養(yǎng)形成______

、類型1已知兩角及一邊解三角形

【例1】(1)在△ABC中，已知。=18,3=60。，C=75°,求6的值；

(2)在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,求a,b.

［解］(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

A=180°-(B+Q=180o-(60o+75o)=45°.

E-e,目，asinB18sin60°八r-

根據(jù)正弦無理，.sin45。=99.

(2)法一：VA=45°,C=30°,.*.B=180°-(A+O=105°.

,accsinA10Xsin45°一八廠

由而?=而黃a=^C=sin30°=32.

Vsin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

爽+#

~~4-，

.,csinBV2+V6r-rz

??b—S|NQ—20X4—5y/2+5y/6.

法二：設(shè)5c外接圓的直徑為2H,

則2H=1^=十%=20.

sinCsin30

易知3=180°—(4+0=105。，

/.a=2RsinA=20Xsin45°=12，

Z?=27?sinB=20Xsin105°

=20X^^^=5y/2+5y/6.

廠.......規(guī)?法...........................

已知三角形的兩角和任一邊解三角形的方法

(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形

內(nèi)角和定理求出第三個角.

(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再

由正弦定理求另外兩邊.

提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即

將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差)，再根據(jù)上述思路求解.

［跟進訓練］

1.在△ABC中,a=5,3=45。，C=105°,求邊c.

［解］由三角形內(nèi)角和定理知A+3+C=180。，

所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°,

由正弦定理—7=-K

sinAsinC'

，目sinCsin105°八，sin(60°+45°)

彳寸c=ct'~T=5X-：=5X

sinAsin3Q0nosin3Q0no

sin60°cos450+cos60°sin45°

=SX--------------------------------------

Dsin30°

=|(V6+V2).

口型2______________已__知__兩__邊__及__其__中__一__邊_的對角解三角形

【例2】在AABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形：

(l)a=1,6=小,A=30°；

(2)?=1,b=事,5=120°.

［解］(1)根據(jù)正弦定理，5垣3=空9=則產(chǎn)=坐.

'：b>a,：.B>A=30°,.,.3=60°或120°.

當3=60°時，C=180°-(A+B)=180o-(30°+60o)=90°,

.bsinC乖c

?，c=sinB=sin60o=2：

當3=120°時，C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°=A,：.c=a=l.

小、3人『，asinBsin120°1

(2)才艮據(jù)正弦定理,sinA=馬=2'

因為3=120°,所以A=30。，則C=30。，c=a=l

廠........規(guī)?法.............................

已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法

(1)根據(jù)正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，則利用

三角形中“大邊對大角”看能否判斷所求的這個角是銳角，當已知的角為大邊所

對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角，當已知的角為小邊所對的角時，則

不能判斷，此時就有兩解，分別求解即可.

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.

(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊.

［跟進訓練］

2.已知△ABC分別根據(jù)下列條件解三角形:

(l)a=2,c=冊，C=p

(2)a=2,c=乖,A=j.

［解］(1)V^L=-￡T；,

LJ''sinA7sinC'

..,asinC正

??sinA——c.

兀

*.*c>a,:.C>A.

冊Xsin工

「5兀，csinB

B=\,b=~~k=A/3+1.

12'smC.兀

sm3

???丁「—T；,

(\2)'smAsinC

..「csinAA/3

C——c.

??sina2

D??J?>_匹4、2兀

又?〃<c,??C=3或3?

asinB

當C=三時，3=若，b==小+1.

sinA

1,_2兀1G兀T〃sinB

當-時，五，b=

C=g3=sinA

業(yè)11s三角形的面積公式及其應(yīng)

、類型3,____________________

用

【例3】在△ABC中，已知3=30。，AB=2?AC=2.求△ABC的面積.

［解］由正弦定理，得sinC=AB；：3=羋,

5LAB-smB<AC<AB,故該三角形有兩解：C=60?；?20。.

當C=60°時，4=90°,

S/\ABC='2^B'AC,sinA=2>\^3;

當。=120。時，A=30°,

S^ABC=^2^B-AC-sinA=^3.

所以AABC的面積為2s或小.

......規(guī)律c方法......

求三角形面積的公式

求三角形的面積是在已知兩邊及其夾角的情況下求得的，所以在解題中要有

目的地為具備兩邊及其夾角的條件做準備.

［跟進訓練］

3.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若tanA=3,cosC=^~.

⑴求角B的大小;

(2)若c=4,求△ABC的面積.

y［5

［解］：.C^(0,

(1)VcosC=5，

??.sinC=￥，tanC=2.

,tanA+tanC

又*/tanB=—tan(A+C)=-;—：------.....-

'71—tanAtanC

3+27i

=1

1—3X2-且0<3<兀，，3=不

hr

⑵由正弦定理而西=而心得

7csmB2r—

人=焉『可了=5。，

5

由sinA=sin(B+C)=sinf^+C

得sin-嚅

AABC的面積5AABC=|z?csinA=6.

小類型4利_用__正__弦_定__理__判__斷__三__角__形__的__形__狀_______

［探究問題］

1.已知△ABC的外接圓。的直徑長為2R,試借助△ABC的外接圓推導出正

弦定理.

［提示］如圖，連接3。并延長交圓。于點。，連接CD,則N3CD=90。，

ZBAC=ZBDC,

在中，BC=BDsinZBDC,

所以a=2RsinA,

即看=2&同理品=2&e=2凡

〃bci

所以-=

sinA7=~sinBn~smKC=2R.

2.根據(jù)正弦定理的特點，我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問

題？

［提示］利用正弦定理，可以解決：（1）已知兩邊和其中一邊的對角解三角形；

（2）已知兩角和一邊解三角形.

【例4】在AA5c中，若sinA=2sin5cosC,且si/Ausir^+sin2G試判

斷5c的形狀.

［思路探究］?A=7i—（B+Q.

nhc

②邊角轉(zhuǎn)化，sinA=^,sinB=^,sinC=^（R為△ABC外接圓的半徑）.

dhc

［解］法一：在△ABC中，根據(jù)正弦定理:而工=而西=而乙=2夫（夫為LABC

外接圓的半徑）.

Vsin2A=sin2B+sin2C,

即cr=b-+c2,

：.A=90°,：.B+C=90°,

由sinA=2sinBcosC,

得sin90°=2sinBcos(90°-B),

sin2B=1.

,.?3是銳角，/.sinB=、^歷-,

.?.3=45°,C=45°,

/.AABC是等腰直角三角形.

法二：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得

sinA=/，sin3=&，sin。=或(7?為△ABC外接圓的半徑).

Vsin2A=sin2B+sin2C,

.".a2=b2+c2,

：.AABC是直角三角形且A=90°.

VA=180°-(B+C),

sinA=2sinBcosC,

sin(B+C)=2sinBcosC.

sinBcosC-cosBsinC=0,

即sin(B-Q=0.Ai3-C=0,即B=C.

：.AABC是等腰直角三角形.

母題探究］

（變條件）若將題設(shè)中的“sinA=2sinBcosC”改為“Osin3=csinC”，其余不

變，試解答本題.

nhc

［解］由正弦定理，m工=而1=備7；=2H（R為△ABC外接圓半徑），得sinA

a.__b_.?__c_

27?，sinD—?R,sinC—

bsinB=csmC,sin2A=sin2B+sin2C,

"，b'2R=c'2R,蘇J=\2RJ+蘇＞

Z?2=c2,tz2=Z?2+c2,

：.b=c,A=90°.

/.AABC為等腰直角三角形.

廠......規(guī)?法.............................

利用正弦定理判斷三角形形狀

（1）判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是不是

等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特別注意“等腰

直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.

（2）在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理轉(zhuǎn)化

為角的關(guān)系（注意應(yīng)用A+3+C=7i這個結(jié)論）或邊的關(guān)系，再用三角恒等變換或代

數(shù)式的恒等變形（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式一般不能約掉,

而要移項提取公因式，否則有可能漏掉一種形狀.

類型5利_用__正__弦__定__理__進__行__邊__角__互__化__________

【例5】在AA5c中，若QCOS曰+CCOS2^^當，求證：a+c=2b.

［思路探究］①已知等式中有邊c,則要想到邊化角的變形公式〃=2Hsin

A,b=2RsinB,c=27?sinC；（H為△A5C外接圓半徑）

c1+cosla

②cos9a=2-

［證明］因為acos號+ccos,=學，

所以由正弦定理得sinAcos^+sinGcos2^/，？

s.1+cosC.1+cosA3sinB

所以sinA-+sinC-=一一,

sinA+sinAcosC+sinC+sinCeosA=3sinB,

所以sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,

所以sinA+sinC=2sinB,

所以由正弦定理可得a+c=2b.

廠.......規(guī)法..............................

1.已知或所求等式中只有邊的關(guān)系就用邊化角的變形公式.

2.已知或所求等式中只有角的正弦的關(guān)系就用角化邊的變形公式.

3.已知或所求等式中既有邊的關(guān)系也有角的關(guān)系，就嘗試使用這兩組變形公

式.

［跟進訓練］

4.在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若1+瞿務(wù)華=0,則

LdnJDO

A=.

2兀「一-f?tanA?2sinC八

［由正弦理可仔

a3L1+-tanBp+-si?nB3=0,?

,,,sinAcosB.2sinC八sin(A+B)2sinC八

;

故1+cosA4~sm?Bp+~sinB=0,cosA7~smpB~smBF=0,

口「sinC.2sinC八

即cos4A~s?mDB+~smB=0.

因為3,Ce(0,①，所以慧下70,所以;^+2=0,

olllDUUo八

即cosA=-

2兀

因為AG(0,7i),所以A=q".］

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

K超備素養(yǎng)G

知識：

1.利用正弦定理解三角形的類型及解法

類型已知條件一般解法

,asmB-,,?—asinC

A,B,ab—.同，C—兀一(A+B),c-.

已知三角形的兩角和smAv7sinAA

任意一邊Z?sinA/4?八、?sinC

A,B,ba—.,C—兀—(A十6),c—?

smBDv7smBD

csinAcsinB

A,B,c兀一（十），萬

C—'A67,a—si?nCb—si?nC

.c加inA-/一c、tzsinC

已知三角形的兩邊和sm3—a一兒（A+5）,c-

A,b,asinA

其中一邊的對角

（解的個數(shù)不一定唯一）

2.利用S=^absmC=^acsinB=^csinA可以計算三角形的面積

方法：

1.利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化的兩條途徑

(1)化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項式

的有關(guān)知識(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系.利用的公式為sinA=^,sinB/,

.?c

sinC=丞.

(2)化邊為角.將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函

數(shù)的有關(guān)知識得到角的關(guān)系.利用的公式為a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC.

2.判斷三角形形狀的方法通常有以下兩種

(1)邊化角.考察角的關(guān)系主要有：

兩角是否相等；三個角是否相等；是否有直角等.

(2)角化邊.考察邊的關(guān)系主要有：

兩邊是否相等；三邊是否相等；是否滿足勾股定理等.

匚學以致用二

1.在△ABC中，若sinA>sinb則A與5的大小關(guān)系為()

A.A>BB.A<BC.A^BD.不能確定

A［由正弦定理得sinA>sin3臺a>6臺A>3,故選A.］

在△中，所對的邊分別是若。，則;

2.ABCA,B,Ca,b,c,3=30b=2,sin./I

的值是()

A.2B.3C.4D.6

1r\

C［由正弦定理可得［T=~D=~.八0=4.］

LsinAsinBsin30」

3.已知a,4c分別是△A5C的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊，且滿足工專了=

cosa

77^=7777）則AABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

~-abc,▼。bcsinAsinB

C［由Tpk和正弦定理二T-：p-k,可付Tp

LcosAcosBcosCsinAsinesmCcosAcosB

sinC

即tanA=tan3=tanC,所以A=3=C.

-cosC

故△ABC為等邊三角形.］

4.在△ABC中，已知a=8,3=60°,C=75°,求A,b,c.

［解］A=18O°-（B+Q=18O°-（60°+75°）=45°.

bap7asinB8Xsin60°r-

由正弦定理挪=付sin45。=缺同

sinA

8力亞

,a,日-sinC8Xsin75°

由F-=4（小+D.

sinAsinC'仔c~sinA-sin45°

2

9.1.2余弦定理

學習目標核心素養(yǎng)

1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明1.借助余弦定理的推導，提升邏輯推理的

余弦定理的方法.（重點）素養(yǎng).

2.會運用余弦定理解決簡單的三角形度2.通過余弦定理的應(yīng)用的學習，培養(yǎng)數(shù)

量和邊角轉(zhuǎn)化問題.（重點、難點）學運算的素養(yǎng).

情境趣味導學情境導學。探新知預(yù)習素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學助教

如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技

術(shù)人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁,量出A到山腳3,C的距離，其中

km,AC=1km,再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳3c（即線段30的張角ZBAC=150°.

A

思考：根據(jù)上述條件你能求出山腳3c的長度嗎?

二新知初探￡~1

1.余弦定理

⑴三角形任何一邊的平方,等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余

弦的積的

即4=〃+-26ccosA,廬=a2+-2accosB,

⑵應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.

①已知三邊，求三角.

②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.

2.余弦定理的推論

/十(72—次

cosA=2bc;

?十02—?

cosB=一；

「〃2+,2一52

cosC=2Q]),

茄展]

/?2+心一次

(1)若b2+c2>a2,根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=--2^>0,則角A為

銳角.同理可得，若/+°2>屬，4+反〉/,則角叢角。為銳角.所以當從十

22222

c>a,a+c>b9且層+店〉，時，△ABC是銳角三角形.

人+202-

(2)若。2+。2</,根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=5京<0,則AABC

是鈍角三角形且角A是鈍角.同理可得，若/+°2<。2,則△ABC是鈍角三角形

且角3是鈍角；若/+廿</,則△ABC是鈍角三角形且角C是鈍角.

(3)若。2+°2="，根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=------------=0,則△ABC

是直角三角形且角A為直角.同理可得，若/+°2=廬，則△ABC是直角三角形

且角3是直角；若/+廿=°2,則△ABC是直角三角形且角C是直角.

從這個意義上講，余弦定理是勾股定理的推廣.

m試身至「

1.思考辨析(正確的打“?”，錯誤的打“X”)

(1)在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用

余弦定理去解.()

(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適用于任何三角形.

()

(3)利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題.()

(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例.()

［提示］(1)X.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對

角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解.

(2)余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形.

(3)結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確.

(4)4余弦定理可以看作勾股定理的推廣.

［答案］(1)X(2)V(3)V(4)V

2.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3,則cosC的值為()

1111

--C--

A.3B.-24-4

A［根據(jù)正弦定理，a：”c=sinA：sinB：sinC=3：2：3,設(shè)a=3左,

b=2左，。=3左(左＞0),

,9-+4——9-1

則cosC=2X3kX2k=31

3.在△ABC中，。=3W，b=2小,cosC=g,則c?=.

30—4乖［由余弦定理可得,2=(3噌)2+(24)2—2X3&X2小X；=18+12

—4加=30—44.］

4.在5c中，若/=尻+A+/,則A=.

120°[■：a2=b2+bc+c2,

b2-\-c2—a2=—bc,

.。2+02-a，一be1

AcosA=—擊—=^7=―I，

又,.,0°VAV180°,

.,.A=120°,]

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學科素養(yǎng)形成

y型]已知兩邊及一角解三角形

【例1】(1)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=3,b

=2,cos(A+B)=|-,則c=.

(2)已知△ABC,根據(jù)下列條件解三角形：

a=\[3,b=yj2,3=45。.

(1)717[由三角形內(nèi)角和定理可知cosC=—cos(A+B)=一又由余弦定理

得

4=/+序一2abcosC=9+4—2X3X2X(—￡|=17,所以。=折」

(2)[解]由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB.

/.2=3+(?—2^3X2

即02c+lR,解得°=駕盅或°=與但

、后+\叵。2+/一〃2

當c=Y2時，由余弦定理，得cosA=-詼一=錯誤！=錯誤!.

V0o<A<180°,/.A=60°,/.C=75°.

、后—、歷廿十廿—足

當c=12時，由余弦定理，得cosA=-詼一=錯誤！=一錯誤!.

V0o<A<180°,.,.A=120°,C=15°.

y]~6-\-y[2V6-^/2

故c='2V,A=60°,C=75。或c=\]丫,A=120°,C=15°.

廠.......規(guī)律G方法.......................

已知兩邊及一角解三角形的解題思路

(1)若已知角是兩邊的夾角.則直接運用余弦定理求出另外一邊，求其余角時

有兩種方法：

方法一，繼續(xù)選用余弦定理求解，此方法計算量稍大但是不會出現(xiàn)多解.

方法二，用正弦定理求解，此方法計算量小，但是會出現(xiàn)多解的情況，計算

時要多加小心，利用“大邊對大角，小邊對小角”來排除多余解.

(2)若已知角是其中一邊的對角，有兩種方法，一種方法是利用正弦定理先求

角(要注意角的取舍，避免產(chǎn)生多解)，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于

另一邊的一元二次方程求解(應(yīng)注意對方程解的取舍).

［跟進訓練］

1.在△ABC中，已知。=5,b=3,C的余弦值是方程5—+7%-6=0的根，

求第三邊長c.

［解］5X2+7X-6=0可化為(5x—3)(x+2)=0.

3

及=一2(舍去).

?「3

..cos。=亍

根據(jù)余弦定理，

3

c2=a2+b2~2abcosC=52+32-2X5X3X-=16.

：.c=4,即第三邊長c為4.

類型已知三邊或三邊關(guān)系解三角形

—2______________________________■_________________

【例2】⑴已知△A3C的三邊長為。=3,b=4,c=V37,求△ABC的最大

內(nèi)角.

(2)在△ABC中，已知°4—^2(次+廬)02+。4+屋02+。4=0,求角C.

［解］(l)Vc>a,c>b,...C最大.

由余弦定理，得c2=a2+》2—2a0cosC,

即37=9+16-24cosC,

cosC=~2,

V0°<C<180°,

.,.C=120°,

AABC的最大內(nèi)角為120°.

(2)*.*c4—2(a2+b2)c2+a4+crlr+Z?4=0,

/.[c2—(a2+&2)]2—tz2Z?2=0,

則c2—(tz2+Z?2)=±ab,

cr+b2—c11

故cosC=2ab=±2,

又,.?0°VCV180°,.??。=60?；?。=120。.

廠........規(guī)法.............................

已知三角形的三邊解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理

或由求得的第一個角，利用正弦定理求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定

理求出第三個角.

(2)根據(jù)余弦定理的推論可知，只要將三角形三邊求出，或求出三邊長度的比

值，或求出類似于次+/一o2=必的關(guān)系式，就可以求出三個角的余弦值，進而

求出三個角的大小.

[跟進訓練]

2.在△ABC中，已知(a+6+c)(0+c—a)=36c,則角A等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

B['.*(b-\-c)2—cr=b2-\-c2+2bc—a2=3bc,

b2-\-c2—a2=bc,

/+c2—cr1

??cosA=、柩=]，又角A為AABC的內(nèi)角，

/.A=6O0.]

正'余弦定理的綜合應(yīng)

婚型“

用

［探究問題］

1.在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,若/=加+°2,則sin2A=

sin23+sin2c成立嗎？反之，說法正確嗎？為什么？

［提示］設(shè)aABC的外接圓半徑為R.

由正弦定理的變形，將a=2RsinA,b=2RsmB,c=27?sinC,代入/=廿十

cihc

，可得sin2A=$11125+sin2。.反之，#sinA=y^,sinsin。=而代入sin2A

ZKZ/\

=sin2B+sin2C可得屋=廿+02.因此，這兩種說法均正確.

2.在△A3C中，若c2=a2+b2,則。=為成立嗎？反之，若C=g，則c2=a2

十所成立嗎？為什么？

［提示］因為c1=a2+b2,所以a2+b2—c2=Q,由余弦定理的變形cosC=

a2+Z?2—c2,?兀一、“兀，ca2+￡?2—c2

---y7=0,即cosC=0,所以C=5,反N.若C=5，貝UcosC=0,即

=0,所以次+/一o2=0,即廿二層+戶.

【例3】在△ABC中，若(a—ccosB)sin3=3—acosA)sinA,判斷AABC

的形狀.

［思路探究］角邊轉(zhuǎn)化.

［解］法一：V(tz-c-cosB)sinB=(b-c-cosA)-sinA,

...由正、余弦定理可得：

(t/2+c2—Z;2>|(爐+片一

"一」2ac產(chǎn)=卜一。2bc卜，

整理得：(層+廿一C2)/?2=(〃2+b2—d)足,

即(a2—尻乂/+/?2—c2)=0,

/.6z2+Z?2—c2=0或a2=b2.

，片+廿二廿或a=b.

故△A5C為直角三角形或等腰三角形.

法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為：

(sinA-sinCeos5)sin5=(sin5—sinCeosA)sinA,

即sinCeosBsin5=sinCeosAsinA.

sinCWO,/.sinBcos5=sinAcosA,

/.sin25=sin2A.

，2B=2A或2B+2A=7i,

7T

即A=B或A+B=2-

故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

廠.......規(guī)法..............................

正、余弦定理判斷三角形形狀

(1)法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，法二是借助正弦定理，

將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式.這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手

段.

(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理;

反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上

特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用.

［跟進訓練］

3.已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足GinA

+sinB)(a—Z?)=(sinC-sinB)c.

(1)求A的值；

小

(2)若0=陋+小，cos;求a的值.

［解］(1)因為(sinA+sin3)(a—0)=(sinC-sinB)c,

所以根據(jù)正弦定理得(a+0)(a—6)=(c—0)c,即b2+c1—a2=bc.

,2+，—/

在△ABC中，由余弦定理得cosA=—詆一,

將b2+c2—a2=bc代入上式，

17T

得cosA=］,因為A￡(0,兀)，所以A=g.

(2)由5￡(0,兀)，cosB=3,得sin3=^1—COS2JB=3,

所以sinC=sin(A+B)

=sinAcos5+cosAsinB

V31^63+爬

=2X3+2X3=6

^2+^3^/3

由正弦定理得a=sj：,inA=

IE逋2

6

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

心必備素養(yǎng);

知識：

1.余弦定理.

2.余弦定理的推論.

方法：

解三角形時對題目條件進行變形的常有途徑：

用正、余弦定理進行邊、角轉(zhuǎn)換.若將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的式子，常

用正弦定理進行變形求解；若將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，常結(jié)合余弦定理解題.

「^棠以

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角之和為（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

22_|_g2_7240]

B[設(shè)中間角為角B,由余弦定理，得cosB==on=^?所以B=

ZxjXOoUz

60°,

所以最大角與最小角的和為1800-B=180°-60°=1200.]

2.在△ABC中，若2cos3sinA=sinC,則△ABC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

C[V2cosBsinA=sinC,

____a2+c2-Z?2

??2X2ac'a=c,

...。=人.故443。為等腰三角形.]

3.在△ABC中，已知a=4,b=6,C=120°,則邊c=.

2V19[才艮據(jù)余弦定理c2=a2+/-2aAosC=16+36-2X4X6cos120°=76,

c=2V19.］

4.在△ABC中，已知a=8,3=60。，c=4（小+1）,解此三角形.

［解］由余弦定理得，

lr=cr+c2-2accosB=82+［4（^3+1）］2-2X8X4（小+l）-cos60°

=64+16（4+2V3）-64（V3+1）X1=96,

：.b=4#.

b2+c2-a2

法一：'/cosA=荻

96+16（正+1）2—64小

~2X4^6X4（-73+1）―2'

0°<A<180°,/.A=45°.

故C=180°—A—3=180。-45。一60。=75°.

法二：由正弦定理號=—1，

smAsinB"

.84^6

**sinA-sin600'

..人正

??smA=2，

Vb>a,c>a,

.二〃最小，

即A為銳角.

因此A=45°.

故C=180°-A-B=180o-45°-60o=75°.

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

9.3數(shù)學探究活動：得到不可達兩點之間的距離

學習目標核心素養(yǎng)

1.了解實際問題中所涉及的名詞和一些1.通過應(yīng)用正、余弦定理求距離、高度、

術(shù)語，能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問角度問題，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學運算素

題.（難點）養(yǎng).

2.能夠用正、余弦定理等知識和方法求2.借助將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問

解與距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).

問題.（重點）

情境趣味導學情境導學。探新知預(yù)習素養(yǎng)感知

畬情境引入，助學助教

在實地測量工作中，經(jīng)常遇到一些不便于直接測量的情形.如圖是改革開放

四十周年大型展覽的展館——國家博物館.現(xiàn)欲測量博物館正門柱樓頂部一點P

離地面的高度0P（點0在柱樓底部）.在地面上的兩點A,B測得點P的仰角分別

為30°,45°,且NABO=60。，AB=50米.

B

思考：你能給出一種計算博物館正門柱樓頂部點P離地面的高度（即OP的長）

的計算方法嗎?

匚述fi知初探工?

1.實際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語

名稱定義圖示

基線在測量上，根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線

Z一鉛垂平面

鉛垂平面與地面垂直的平面

地面

坡角坡面與水平面的夾角

a為坡角

h

坡面的垂直高度與水平寬度

坡比

之比