2020-2021學(xué)年廣東省中山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年廣東省中山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

.....

I.（5分）已知向量AB=（2,1）,AC=（3,，），|BCI=1，則AB，AC=（）

A.2B.3C.7D.8

2.（5分）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=2acos8,則△ABC的形

狀是（）

A.銳角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.直角三角形

3.（5分）某水平放置的△OA8用斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖△（74E,若Ob=A",

則△OAB中（）

(

A.ZOBA=90°B.OB=BAC.OB=OAD.OB>OA

4.（5分）上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我

國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖

2為骨笛測(cè)量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖.圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨

笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正

午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.

圖1

圖2圖3

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如表:

黃赤交角23°41'23°57,24°13,24°28,24°44'

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000公元前4000公元前6000公元前8000

年年年年

根據(jù)以上信息，通過計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2（X）0年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年

D.早于公元前6000年

5.（5分）已知〃是兩條不同的直線，a,。是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若/w_La,tn//n,n//p,則&_1_0

B.若/"〃〃，”u0,則〃?〃0

C.若,〃_L〃，mcza,nep,則aJ_。

D.若，wua,〃ua,m//p,n//p,貝i]a〃。

6.（5分）2020年4月21日，習(xí)近平總書記在學(xué)?？疾煺{(diào)研時(shí)提出“文明其精神，野蠻其

體魄”，“野蠻其體魄”就是強(qiáng)身健體.青少年的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個(gè)人成長(zhǎng)和家庭幸福,

也關(guān)乎國(guó)家未來和民族希望，為落實(shí)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測(cè)試工作，全面提

升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校在高二年級(jí)隨機(jī)抽取部分男生，測(cè)試立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)

測(cè)試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)200c/n以上成績(jī)?yōu)榧案瘢?/p>

255cm以上成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的及

7.（5分）氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”.現(xiàn)

有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：C）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,極差不超過2；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有1個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.

其中肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（5分）正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多

的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）.某些病毒，如皰疹病毒就

擁有正二十面體的外殼.正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體.已知多面

體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.30B.20C.12D.10

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.（5分）對(duì)于任意非零向量之，b-c.下列命題正確的是（）

A.若a//b，bIIc>則aIIcB.若a，b=b,c，則a=c

C.若2=1>，b=c，則a=cD.若la-bl=la+bl，則a，b=。

10.（5分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且（a+6）：（a+c）：（h+c）

=9：10：11,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.ZVIBC是鈍角三角形

C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則4ABC外接圓半徑為心丘

7

11.（5分）為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一

年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.

閱讀量[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,+8)

人數(shù)

學(xué)生類別

性別男73125304

女82926328

學(xué)段初中25364411

高中

A.這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本

B.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間［30,40）內(nèi)

C.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間［20,30）內(nèi)

D.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間［20,30）內(nèi)

12.（5分）蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱

狀體連接而成，中空柱狀體的底部是山三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個(gè)角度是109°

281,這樣的設(shè)計(jì)含有深刻的數(shù)學(xué)原理.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu),

著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》，用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖1.在正

六棱柱ABCCEF-AbCZTE的三個(gè)頂點(diǎn)A,C,E處分別用平面平面8。0,平面

DFN截掉三個(gè)相等的三棱錐M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面BFM,平面BDO,平

面OFN交于點(diǎn)P,就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).如圖2,設(shè)平面P8OO與正六邊形底面所成的

二面角的大小為。，則下列結(jié)論正確的有（

D

圖1圖2

A.異面直線DO與FP所成角的大小為109°28,

B.BFVMN

C.B,M,N,。四點(diǎn)共面

cos0=^tan54°44'

D.

3

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置

上.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.

的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后函數(shù)圖象的

13.（5分）將函數(shù)y=3sin（2x

6

解析式為；平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程

是

14.（5分）新冠肺炎疫情期間，為確保“停課不停學(xué)”，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng).開

學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)

于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生660人，高三年級(jí)共有540

人，抽取的樣本中高二年級(jí)有50人，則該校高二學(xué)生總數(shù)是.

15.（5分）若；—'貝Ucosa+sina=.

sin（a--

16.（5分）如圖，在四邊形ABCO中，AB=CD=1,點(diǎn)M,N分別是邊AO,BC的中點(diǎn)，

延長(zhǎng)54和CD交NM的延長(zhǎng)線于不同的兩點(diǎn)P,Q,則的?（族-前）的值為.

四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一

包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：102,101,99,98,103,98,99

乙：110,115,90,85,75,115,110

（1）這種抽樣方法是哪一種？

（2）估計(jì)甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？

18.（12分）空間四邊形必BC中，PA,PB、PC兩兩相互垂直，NPBA=45°,NPBC=

60°,M為A8的中點(diǎn).

（1）求BC與平面以B所成的角；

（2）求證：AB_L平面PMC.

19.(12分)已知ae(0,-ZL),Re(―L,Tt),cosB="A,sin(a+B)

2239

(1)求tan-目的值；

2

(2)求sina的值.

20.(12分)己知△A8C中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且至2=蒜.菽+忌.前+以

?CB.

(1)判斷△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍；

(2)如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在人、/2上運(yùn)動(dòng)，4C=2,BC=1,若直線/i

，直線/2,且相交于點(diǎn)O,求。，8間距離的取值范圍.

21.(12分)2021年廣東省高考實(shí)行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式是指：“3”為全國(guó)統(tǒng)考

科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試

的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4

個(gè)科目中選擇2科，共計(jì)6個(gè)考試科目.并規(guī)定：化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)選考科

目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A,B+,B,C,C,D+,D,E八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)

分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選

考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將4至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],

[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).

考試科目:地理

考試成境:61分

成績(jī)區(qū)間:C用圾

區(qū)間分?jǐn)?shù):58-69分

轉(zhuǎn)換分效區(qū)間：61-70分

原始成績(jī)區(qū)間向等級(jí)區(qū)間的投影

假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)閤分，則69-61=70-x,所以x=63.45~63(四舍五入取

61-58X-61

整)，小明最終成績(jī)?yōu)?3分.

某校2019級(jí)學(xué)生共1000人，以期末考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成績(jī)，為學(xué)

生合理選科提供依據(jù)，其中化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)A的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表：

成績(jī)93919088878685848382

人數(shù)1142433327

(1)求化學(xué)獲得等級(jí)A的學(xué)生等級(jí)成績(jī)的平均分(四舍五入取整數(shù))；

(2)從化學(xué)原始成績(jī)不小于90分的學(xué)生中任取2名同學(xué)，求2名同學(xué)等級(jí)成績(jī)不相等

的概率.

22.(12分)如圖所示，在正方體ABCZJ-ABiCiD中，點(diǎn)G在棱QiCi上，且。iG=2Z)iCi,

4

點(diǎn)E、F、例分別是棱44、AB.8C的中點(diǎn)，P為線段81。上一點(diǎn)，AB=4.

(I)若平面EFP交平面DCC\D\于直線I,求證：/〃AiB；

(II)若直線Bi。，平面EFP.

(/)求三棱錐Bi-EFP的表面積；

(")試作出平面EGM與正方體ABCO-AIBCIDI各個(gè)面的交線，并寫出作圖步驟，保

留作圖痕跡.設(shè)平面EGM與棱4。交于點(diǎn)Q,求三棱錐Q-EFP的體積.

2020-2021學(xué)年廣東省中山市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知向量標(biāo)=(2,1),菽=(3,t),|BC|=1,則標(biāo)?菽=()

A.2B.3C.7D.8

【解答】解：因?yàn)榍?菽-族=(1,L1);

：1前=1，

/.12+(r-1)2=i2=r=o；

AAC=(3,1),

恭菽=2X3+1XI=7；

故選：C.

2.(5分)在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=2acosB,則△ABC的形

狀是()

A.銳角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.直角三角形

【解答】解：由正弦定理可得sin(A+8)=2sinAcosB,

由兩角和的正弦公式可得：sinAcosB+cos4sin8=2sinAcos8,

Asin(A-B)=0,

又-TTVA-B<n,

；.A-8=0,

故△ABC的形狀為等腰三角形，

故選：B.

3.(5分)某水平放置的△OAB用斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖△OZ0,若O,B'=A'B',

則△O4B中()

?

y

B'

A.ZOBA=90°B.OB=BAC.OB=OAD.OB＞OA

【解答】解：因?yàn)?8O'A=45°,所以/8。4=90°,

則NOBA#90°,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

設(shè)O'B'=AB'=x,則00=辦2+乂2=后

還原后，O8=2x,ZBOA=90°,0A=&x,

所以一=｛（加X）2+（2X）2=V^x，

所以02＞。4,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)￡＞正確.

故選：D.

4.（5分）上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我

國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖

2為骨笛測(cè)量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖.圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨

笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正

午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.

圖1

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如表:

黃赤交角23°41'23°57,24°13,24°28,24°44'

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000公元前4000公元前6000公元前8000

年年年年

根據(jù)以上信息，通過計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是()

A.公元前2(X)0年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年

D.早于公元前6000年

【解答】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為a,春秋分日光與垂直線夾角為0,

則a-0即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

則tana=-l^=1.6,tan0="二^~^=0.66,

1010

tan（a-p）=tan.-tanB=1.6-0.66川皿.

1+tanCL,tanP1+1.6X0.66

V0.455<0.457<0.461,

估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

5.（5分）已知m，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若"?_La,m〃n,n//p,則a_L0

B.若n,〃u0,則加〃0

C.若機(jī)_L〃，mua,nep,則aJ_0

D.若mua,〃ua,機(jī)〃0,n//p,則?！?

【解答】解：對(duì)于A：由于〃?，a,故直線〃?相當(dāng)于平面a的法向量，由于加〃小所以

由于〃〃S，則a_l_0,故A正確；

對(duì)于&由于加〃〃，nep,則m〃0或mup,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)機(jī)_!_〃，〃zua,nep,則可能a〃0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡>：mua,〃ua,當(dāng)加和〃為相交直線時(shí)，相〃0,則a〃由故。錯(cuò)誤；

故選：A.

6.（5分）2020年4月210,習(xí)近平總書記在學(xué)?？疾煺{(diào)研時(shí)提出“文明其精神，野蠻其

體魄”，“野蠻其體魄”就是強(qiáng)身健體.青少年的體質(zhì)狀況不僅關(guān)乎個(gè)人成長(zhǎng)和家庭幸福,

也關(guān)乎國(guó)家未來和民族希望，為落實(shí)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測(cè)試工作，全面提

升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校在高二年級(jí)隨機(jī)抽取部分男生，測(cè)試立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)

測(cè)試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)200cm以上成績(jī)?yōu)榧案瘢?/p>

255cm以上成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的及

格率和優(yōu)秀率分別是（）

A.72.5%,5%B.78.75%,10%C.72.5%,10%D.78.75%,5%

【解答】解：立定跳遠(yuǎn)200?！ㄒ陨铣煽?jī)?yōu)榧案瘢?55c僧以上成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，

由頻率分布直方圖得立定跳遠(yuǎn)200cm以上的頻率為：

1-（0.00750X20+0.01250X.200-195X20）=0.7875,

20

由頻率分布直方圖得立定跳遠(yuǎn)255cm以上的頻率為：

0.00500X20=0.1,

.?.根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的及格率和優(yōu)秀率分別是

78.75%和10%.

故選：B.

7.（5分）氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”.現(xiàn)

有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：C）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,極差不超過2；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有1個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.

其中肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：對(duì)于甲地，由于5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,若有低于22,假設(shè)取21,此時(shí)極

差超過2,故假設(shè)不成立，

甲地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃,故甲地肯定進(jìn)入夏季，故①正確，

對(duì)于乙地，5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24,

當(dāng)5個(gè)數(shù)據(jù)為19,20,27,27,27時(shí)，可得其連續(xù)5天的日平均氣溫有低于22,

故乙地不一定進(jìn)入夏季，故②錯(cuò)誤，

對(duì)于丙地，5個(gè)數(shù)據(jù)中有1個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,若有低于22,假設(shè)取21,

此時(shí)白（32-26產(chǎn)+（21-26）q=12.2>1O-8>故假設(shè)不成立，

丙地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃,丙地肯定進(jìn)入夏季，故③正確，

綜上所述，正確的為①③.

故選：B.

8.（5分）正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多

的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）.某些病毒，如皰疹病毒就

擁有正二十面體的外殼.正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體.已知多面

體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.30B.20C.12D.10

【解答】解：解法一、設(shè)正二十面體共有〃個(gè)頂點(diǎn)，且每個(gè)頂點(diǎn)處都有5條棱，有20個(gè)

面，

根據(jù)“頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”，

列方程得n-5“+20=2,

2

解得"=12,

即正二十面體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為12.

解法二、由20個(gè)三角形，每個(gè)三角形有3條邊，每條邊被用了兩次，

所以正二十邊形共有棱數(shù)為20X3+2=30（條），

根據(jù)歐拉公式“頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2”，

得正二十面體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為2+30-20=12.

故選：C.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.（5分）對(duì)于任意非零向量總c，下列命題正確的是（）

A.若a力bb//c，則a//cB.若a，b—b*c，則a=c

C.若2=1>，b=c>則a=cD.若|a-H=la+bl，則a，b=0

【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)榕c為非零向量，則之〃W成立，故A正確；

對(duì)于8選項(xiàng)：若a*b=b*c>則a=c或b-L(a-c)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：^a=b>b=c>則2=0故C正確；

對(duì)于。選項(xiàng)：若I。bl=la+bl-即有l(wèi)N+0-2a'b=lal2+lbl2+2a?b>故有；?1=0,

故力正確；

故選：ACD.

10.(5分)在△A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a+&)：(a+c)：(b+c)

=9：10：11,則下列結(jié)論正確的是()

A.sin4：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.ZVIBC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

D.若c=6,則△ABC外接圓半徑為圓2

7

【解答】解：(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11,可設(shè)〃+b=91,a+c=10f,b-^c—Ilf,

解得a=4r,b=5t,c=6t,r>0,

可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6,故A正確；

222222

由c為最大邊，可得cosC=a+b-C=16t+25t-36t=1>0,即c為銳角，

2ab2?4t,5t8

故8錯(cuò)誤；

2

由cosA="+c-=25t1+3」t?=j_,由COS2A=2COSA-1=2X_5_-1

2bc2-5t,6t416

1c

—^cosC,

8

由2A,ce(0,TT),可得2A=C,故C正確；

若c=6,可得2R=^^=i$=&,zXABC外接圓半徑為心后，故。正確.

sinCfTV77

故選：ACD

11.(5分)為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機(jī)抽取200名學(xué)生，收集了他們一

年內(nèi)的課外閱讀量(單位：本)等數(shù)據(jù)，以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.

閱讀量[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,+8)

人數(shù)

學(xué)生類別

性別男73125304

女82926328

學(xué)段初中25364411

高中

A.這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本

B.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間［30,40）內(nèi)

C.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間［20,30）內(nèi)

D.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間［20,30）內(nèi)

【解答】解：由圖表知，

男生共7+31+25+30+4=97人，女生共103人，

這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)為20.5xJiL+25.5義也3=23.075,故A錯(cuò)，

200200

???200X75%=150,.?.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)是從小到大排序后的第150與

第151個(gè)數(shù)的平均值，

由表格知第150與第151個(gè)數(shù)都在區(qū)間［30,40）內(nèi)，故8對(duì)，

閱讀量在區(qū)間［0，10）內(nèi)共有15人，

若初中生閱讀量在區(qū)間［0,10）內(nèi)共有。人，則其中位數(shù)在區(qū)間［20,30）內(nèi)，

若初中生閱讀量在區(qū)間［0,10）內(nèi)共有15人，則其中位數(shù)在區(qū)間［20,30）內(nèi)，

故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間［20,30）內(nèi)，故C對(duì)，

當(dāng)初中生閱讀量在區(qū)間［0,10）內(nèi)共有0人時(shí)，（25+36+44+11）X25%=29,

故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)是從小到大排序后的第29與第30個(gè)數(shù)

的平均值，

在區(qū)間［20,30）內(nèi)，故。對(duì)，

故選：BCD.

12.（5分）蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱

狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個(gè)角度是109°

28',這樣的設(shè)計(jì)含有深刻的數(shù)學(xué)原理.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢的結(jié)構(gòu)，

著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》，用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如圖1.在正

六棱柱ABCQEF-4BOE的三個(gè)頂點(diǎn)A,C,E處分別用平面平面BQO,平面

QFN截掉三個(gè)相等的三棱錐M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面平面B。。，平

面。FN交于點(diǎn)尸，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).如圖2,設(shè)平面P8OO與正六邊形底面所成的

二面角的大小為0,則下列結(jié)論正確的有（）

圖1圖2

A.異面直線。。與FP所成角的大小為109°28,

B.BF<MN

C.B,M,N,D四點(diǎn)共面

D.cos0=Vltan54o44'

3

【解答】解：A選項(xiàng)，異面直線所成角的范圍為（0°,90°］,故A不正確.

3選項(xiàng)，由△8。尸與△MON都是邊長(zhǎng)為止的等邊三角形，因此8不正確;

C選項(xiàng)，因?yàn)锽Q=NM,且BD〃NM,所以四邊形是平行四邊形，因此8,M,

N,。四點(diǎn)共面，正確；

D-.利用第二個(gè)圖：取8尸的中點(diǎn)P,連接力,PM,則

不妨取A8=2,在等腰三角形ABF中，ZfiAF=120°,則PB=?,%=1.

在這直角三角形PMB中，PM=-----空------

tan54°44'

.,.cos0=—=^ZZtan54°44',正確.

PM3

故選：CD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置

上.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.

13.（5分）將函數(shù)y=3sin（2的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后函數(shù)圖象的

6

解析式為y=3sin(2x-2L);平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是_x

12——

=_5幾

—24一,

【解答】解：將函數(shù)y=3sin(2的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度,

6

則平移后函數(shù)圖象的解析式為y=3sin(2x-」t+二)=3sin(2x-/L).

3412

令法-求得x=?L+衛(wèi)k&z.

122224

令k=-l,可得平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程為x=-*,

故答案為：y=3sin(2X-2L)；X=一且L.

1224

14.(5分)新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學(xué)”，各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng).開

學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)

于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生660人，高三年級(jí)共有540

人，抽取的樣本中高二年級(jí)有50人，則該校高二學(xué)生總數(shù)是600.

【解答】解：高一、高三年級(jí)共有660+540=1200人，設(shè)高二年級(jí)有x人，

則且1=150-50,解得》=600；

x1200

故答案為：600.

t吐cos2a

15.(5分),則cosa+sina=—

sin(a^)2~2~

22

【解答】解：由公式cos2a=cosa-sina,及等式sin（a-cosa），

cos2acos：a-sin2a

代入?=_V2(sinCl+cosa)=

sin(Cl)2-^-(sinCl-cosCl)

則cosa+sina=A.

2

故答案應(yīng)填

2

16.（5分）如圖，在四邊形A8CD中，AB=CD=1,點(diǎn)M,N分別是邊AO,8C的中點(diǎn),

延長(zhǎng)曲和C。交NM的延長(zhǎng)線于不同的兩點(diǎn)P,Q,則而?（標(biāo)-而）的值為0.

【解答】解：設(shè)NABC=a,BC=a,NBCD=B，則A(cosa,sina),

B(0,0),C(a,0),D(a-cos0,sinp),

：.M(a+cosa-cosB,sind+sinB),N(包，。)，

222

.?.加=(CosQ-cosP,sina+sinB),族=

(-cosa,-sina),DC=(cosp,-

22

sinp),

:.AB-DC=(-cosa-cosp,-sina+sinp),

NM?(AB-DC)=~—(cos2a-cos2p)+—(sin2p-sin2a)

22

=--(cos2a+sin2a)+—(cos2p+sin2p)=0,

22

又的〃血,

.,?PQ-(AB-DC)=O,

故答案為：o.

y

l/K.

BNCx

四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一

包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：102,101,99,98,103,98,99

乙：110,115,90,85,75,115,110

(1)這種抽樣方法是哪一種？

(2)估計(jì)甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品的平均數(shù)與方差，并說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？

【解答】解：(1)由題意知這個(gè)抽樣是在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，

是一個(gè)具有相同間隔的抽樣，并且總體的個(gè)數(shù)比較多，

這是一個(gè)系統(tǒng)抽樣；

(2)丫苗=100,-=100；

x甲x乙

9194

s甲節(jié)(4+1+1+4+9+4+1)

91

S乙甘?(100+225+100+225+625+225+100)=228J

22

5甲<SZ,

甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定.

18.(12分)空間四邊形南BC中，PA,PB、PC兩兩相互垂直，NPBA=45°,NPBC=

60°,例為48的中點(diǎn).

(1)求8c與平面山B所成的角:

(2)求證：AB_L平面PMC.

p

【解答】解:(1)'：PC±PA,PCLPB,...PCJ"平面物B,

：.BC在平面PBC上的射影是BP.

NCBP是CB與平面PAB所成的角，

：/P8C=60°,...BC與平面PBA的角為60°.

證明：(2)'：PA±PB,NP8A=45°,：.PA=PB,

'：PC±PA,PCLPB,PA=PB,PC=PC,

：.^\PAC^/\PBC,：.AB=AC,

為48的中點(diǎn).

：.PMLAB,CM±AB,

"：PMC\CM=M,

；.AB_L平面PMC.

19.(12分)已知ae(0.ReIT),COSB=-A,sin(a+B)=—.

2239

(1)求tan-口的值；

2

(2)求sina的值.

2P.261*28

B§cos1-tan

【解答】解：(1)VcosP=cosJ-^--sin2-^-=---------o-------------p~=--------o~

222P.2P1-2E

cos+1+tan

且cosP=-/

2p

1-tan

?乙[，解得tan2-^-=2,

,?TF二

l+tan°Z

7?兀）（子，-y）-

-P€(-y)

,?tarr^->G

，tarr1-=V2-

⑵??邛L冗)，cos8

oO

3兀、

又aE(0>)，故a+6￡,I-)'

cos(a+§)=Wi-sin2(a+B)=-

/.sina=sin[(a+0)-PJ=sin(a+0)cos0-cos(a+p)sin0=

工x(二)_(31)x"l.

9、3'、9’33

20.(12分)已知AABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且族2=族.菽+福.前+不

?CB.

(1)判斷△48C的形狀，并求siM+sinB的取值范圍；

（2）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在/|、/2上運(yùn)動(dòng)，AC=2,BC=1,若直線/i

J_直線/2,且相交于點(diǎn)O,求O,8間距離的取值范圍.

【解答】解：⑴;Q2Mg.菽+加近+說.而,

**.c=c?bcosA+c*acosB+b?acosC,

222222222

2c+b-ac+a-b,a+bc

c=cwb--------+-c■a-----------+b■a-------

2cb2ca2ab

212

.\c=a+bf

???為直角三角形,

,?sin4+sinB=sin^+cosAR^sin(A^^->

,'AC(0,m),

(2)簡(jiǎn)解：不妨設(shè)NAC0=80€[0,——"\fB(x,y),x=2cos0+sin0,y=cos0,

,e,|OB|2=乂2+丫2=2聽sin(284^~)+3‘1I,3+2^2],

|OB|€[1,1+V2].

21.(12分)2021年廣東省高考實(shí)行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式是指：“3”為全國(guó)統(tǒng)考

科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試

的物理、歷史科目中選擇1科：“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4

個(gè)科目中選擇2科，共計(jì)6個(gè)考試科目.并規(guī)定：化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)選考科

目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A,B+,B,U,C,D+,D,E八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)

分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選

考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],

[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).

考試科目:地理

考試成境:61分

成績(jī)區(qū)間:C用圾

區(qū)間分?jǐn)?shù):58-69分

轉(zhuǎn)換分效區(qū)間：61-70分

原始成績(jī)區(qū)間向等級(jí)區(qū)間的投影

假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)閤分，則69-61=7O-X,所以x=63.45~63（四舍五入取

61-58X-61

整），小明最終成績(jī)?yōu)?3分.

某校2019級(jí)學(xué)生共1000人，以期末考試成