高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練99離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布

[知識(shí)能否憶起]3．方差：

*二、正態(tài)分布密度函數(shù)滿足的性質(zhì)

1．函數(shù)圖像關(guān)于直線

對(duì)稱．

x＝μ2．σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”．3．P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.[小題能否全取]答案：D

2．(教材習(xí)題改編)已知X的分布列為：A．0 B．1C．2 D．3答案：C3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)

＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝ (

)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977

解析：∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝

0.023，

∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.

答案；C4．(2011·上海高考)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量X

的概率分布律如下表：

請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案EX＝________.

答案：2

5．兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX＝________.1.均值與方差：

(1)均值EX是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而EX是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)．(2)DX表示隨機(jī)變量X對(duì)EX的平均偏散程度，DX越小，X的取值越集中，DX越大，X的取值越分散．2．由正態(tài)分布計(jì)算實(shí)際問題中的概率百分比時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ、σ求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解．[例1]

(2012·湖北高考)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表：離散型隨機(jī)變量的均值與方差降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．[自主解答]

(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.1．求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出其分布列，正確利用公式計(jì)算．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可直接代入公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)計(jì)算．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用．(1)求甲同學(xué)恰好先抽取跳、擲兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行測(cè)試的概率；(2)求甲同學(xué)經(jīng)過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試就能達(dá)標(biāo)的概率；(3)若甲按規(guī)定完成測(cè)試，參加測(cè)試項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望．均值與方差的實(shí)際應(yīng)用

[例2]

(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由．(2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列為：X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差為D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差為D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小．另外，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為：Y55657585P0.10.20.160.54

Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)＜E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．

隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．2．(2012·貴陽(yáng)模擬)有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布列如下：其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求選擇較高抗拉強(qiáng)度指數(shù)的材料，越穩(wěn)定越好．試從期望與方差的指標(biāo)分析該用哪個(gè)廠的材料．解：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，從而兩廠材料的抗拉強(qiáng)度指數(shù)平均水平相同，但甲廠材料相對(duì)穩(wěn)定，應(yīng)選甲廠的材料．[例3]

(2011·湖北高考)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝(

)A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2[自主解答]∵P(ξ＜4)＝0.8，

∴P(ξ≥4)＝0.2.由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.[答案]

C

求正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率時(shí)應(yīng)注意：

(1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，

P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；

(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．

②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)．3．(1)

(2012·安徽模擬)在某市2012年1月份的高三質(zhì)量檢測(cè)考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約9450人．某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在全市前多少名左右？ (

)A．1500

B．1700C．4500 D．8000答案：A

離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題，屬于中檔題．復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求期望與方差的關(guān)鍵，對(duì)概型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練．“大題規(guī)范解答——得全分”系列之(十一)

求離散型隨機(jī)變量均值的答題模板(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．[動(dòng)漫演示更形象，見配套課件][教你快速規(guī)范審題]1．審條件，挖解題信息2．審結(jié)論，明解題方向3．建聯(lián)系，找解題突破口1．審條件，挖解題信息2．審結(jié)論，明解題方向3．建聯(lián)系，找解題突破口[教你準(zhǔn)確規(guī)范解題][常見失分探因]

“設(shè)射手恰好命中一次”事件分析時(shí)，易忽視“恰好”這一條件，其含義只中一次，甲靶中1次時(shí)乙靶兩次都不中，乙靶中1次時(shí)甲靶不中.

對(duì)于X的每個(gè)取值相對(duì)應(yīng)的概率求法易失誤，尤其是事件分析時(shí)易因考慮問題不全而導(dǎo)致失誤————————[教你一個(gè)萬(wàn)能模板]————————

第一步

審清題意理清題意，分析條件與結(jié)論，確定所求事件，求出相應(yīng)的概率值第二步

建立文字?jǐn)?shù)量關(guān)系式確定隨機(jī)變量的所有可能取值，注意變量取值的準(zhǔn)確性第三步

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

根據(jù)條件及概率類型，求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率第四步

解決數(shù)學(xué)問題列出離散型隨機(jī)變量的分布列，利用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)是否準(zhǔn)確第五步

返本還原

利用均值和方差公式求值第六步

反思回顧反思回顧、查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題是否規(guī)范教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）1．(2012·河南模擬)某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起，現(xiàn)要把這2件次品找出來，為此每次隨機(jī)抽取一件進(jìn)行測(cè)試，測(cè)后不放回，直至次品能全部被找出為止．(1)求“在第1次和第2次都抽到次品”的概率；(2)所要測(cè)試的次數(shù)X為隨機(jī)變量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解題訓(xùn)練要高效見“課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十六）”2．