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第二章函數(shù)
第一節(jié)對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)
A組
1.(2009年高考江西卷改編)函數(shù)'13x+4的定義域?yàn)?/p>
[-X*2-3X+4>0,
解析:口八=^xG[-4,0)U(0,l]
一¥0,
答案:[—4,0)U(0,1]
2.(2010年紹興第一次質(zhì)檢)如圖,函數(shù)/(x)的圖象是曲線段OAB,
其中點(diǎn)。,A,8的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,2),(3,1),則火點(diǎn))
的值等于
解析:由圖象知負(fù)3)=1,/(而j)=/(1)=2.答案:2
[r,xwi,
3.(2009年高考北京卷)已知函數(shù)加)=若負(fù)X)=2,則》=________.
[—X,X>1.
解析:依題意得時(shí),3"=2,.*.x=log32;
當(dāng)x>l時(shí),~x=2,x=-2(舍去).故x=1og32.答案:k)g32
4.(2010年黃岡市高三質(zhì)檢)函數(shù)f{I,啦}一{1,6}滿足/[/(!-)]>1
的這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)./\
解析:如圖.答案:1;
5.(原創(chuàng)題)由等式*3+432+42工+。3=0+I)'+仇(x+1))+\\/b2(x+1)+
仇定義一個(gè)映射遂0,。2,6)=(仇,b2,①),則/2,1,-1)=.
解析:由題意知x34*+2x2+x-1=(x+I)3+b\(x+I)2+Z>2(x+1)+bi,
令X=-1得:-1=①;
-]=]+仇+岳+仇
再令x=0與x=l得<
3=8+46+2岳+仇
解得h\=-1,b2=0.
答案:(-1,0,-1)
(.1
I+T
6.已知函數(shù)以)=jf+i(_]Wx或l),(1)求義1—i2)]}的值;(2)求
、2x+3(x<—1).
3
—1);(3)若{a)=g,求a
解:/(x)為分段函數(shù),應(yīng)分段求解.
(1)V1-^7=1-(V2+1)=-V2<-hAX-V2)=-2V2+3,
又??/-2)=-1,,/[/(-2)]=/-1)=2,.VV[/(-2)]}=14=l-
213x
(2)若3x-1>1,即X>T,J(3x-1)=1+-----=----r;
73八73x-13x-1
3
若一lW3x-1^1,即fi3x-1)=(3x-I)2+1=9x2-6x+2;
若即xvO,1)=2(3%-l)+3=6x+1.
〃3x
3x—1
,心-D=<9f_6x+2(0?|),
<6x+1(x<0).
3
(3)=2,**?1或-IWaWl.
i3
當(dāng)a>l時(shí),有1+)=5,.*.(7=2;
當(dāng)一iWaWl時(shí),a2+1=1,:.a=±^.
;?。=2或土乎.
B組
1.(2010年廣東江門質(zhì)檢)函數(shù)y=■Mg(2x-1)的定義域是
解析:由3x-2>0,2x-1>0,得x>|■.答案:{小>]}
—2r+l,(x<—1),
3
2.(2010年山東棗莊模擬)函數(shù),危)=j—3,(―14W2),則加/以)+5))=_.
Jlx~1,(x>2),
解析:;-*卜2,.?城+5=-3+5=2,X2W2,/./2)=-3,
...火-3)=(-2)義(-3)+1=7.答案:7
3.定義在區(qū)間(一1,1)上的函數(shù)”x)滿足“(X)一大-x)=lg(x+l),則<x)的解析式為.
解析::對(duì)任意的xe(-1,1),有
由孫)一火-尤)=尼。+1),?
由加-x))=lg(-x+1),②
①X2+②消去<-x),得二x)=21g(x+l)+lg(-x+l),
=|lg(x+1)+|lg(l-x),(-1<X<1).
答案:>(x)=§lg(x+l)+;lg(l—x),(—1<X<1)
4.設(shè)函數(shù)y=/(x)滿足/(x+l)=/(x)+1,則函數(shù)了=/(》)與夕=》圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是
個(gè).
解析:由於+1)=危)+1可得加)=10)+1,火2)=>0)+2,<3)=_/(0)+3,…本題中如
果40)=0,那么>=")和y=x有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn);若火0)70,則y=")和y=x有零個(gè)交點(diǎn).答
案:0或無(wú)數(shù)
2(x>0)
5.設(shè)函數(shù).危)=2,人工,〈八、,若X—4)=/(0),義-2)=—2,則義x)的解析式為
x-\-bx-\~c(xSO)
<x)=,關(guān)于X的方程/(x)=x的解的個(gè)數(shù)為個(gè).
解析:由題意得
\6-4b+c=c6=4
=><
4-26+c=-2c=2
〃2(x>0)
^?AX)=I21.
導(dǎo)+以+2(xWO)
由數(shù)形結(jié)合得y(x)=x的解的個(gè)數(shù)有3個(gè).
[2(x>0)
答案:1+4X+2(后0)3
6.設(shè)函數(shù)/(x)=log6Km>0,aWl),函數(shù)g(x)=—f+bx+c,若/(2+啦)一/(、n+1)=;,g(x)
的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,-5)及B(-2,-5),則a=,函數(shù)而(x)]的定義域?yàn)?
答案:2(-1,3)
x2—4x+6,xZO
7.(2009年高考天津卷改編)設(shè)函數(shù)危尸,,則不等式作)次1)的解集是
x+6,x<0
解析:由已知,函數(shù)先增后減再增,當(dāng)x》0,7(x)刁(1)=3時(shí),令./(x)=3,
解得x=1,x=3.故亦)刁(1)的解集為OWx<l或x>3.
當(dāng)x<0,x+6=3時(shí),x=-3,故y(x)次1)=3,解得-3<xv0或x>3.
綜上,/(x)刁⑴的解集為{x|-34:<1或x>3}.答案:國(guó)一3々<1或x>3}
Flog2(4—x),xWO,
8.(2009年高考山東卷)定義在R上的函數(shù){x)滿足加)=〃~八則
/3)的值為.
解析:;/(3)=火2)-/1),又義2)=")-川),.\/(3)=-膽),?]0)=log24=2,..g)
=-2.答案:一2
9.有一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器,每單位時(shí)間進(jìn)水量是一定的,設(shè)從某時(shí)刻開始,5分
鐘內(nèi)只進(jìn)水,不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水,又出水,得到時(shí)間x與容器中的水量y
之間關(guān)系如圖.再隨后,只放水不進(jìn)水,水放完為止,則這段時(shí)間內(nèi)(即x220),y與x之間
函數(shù)的函數(shù)關(guān)系是.
解析:設(shè)進(jìn)水速度為卬升/分鐘,出水速度為升/分鐘,則由題意得
5al=20<7)=4
,得,則y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因?yàn)樗磐?/p>
5al+15(a1-⑹=35。2=3
為止,所以時(shí)間為X〈苧,又知x》20,故解析式為y=-3x+95(20WxW竽).答案:y=—
3x+95(20WxW予
10.函數(shù)次》)=\/(1-/上2+3(]—4注+6
(1)若.危)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若./)的定義域?yàn)閇—2,1],求實(shí)數(shù)。的值.
解:⑴①若1-J=0,即。=±1,
(i)若。=1時(shí),/(x)=#,定義域?yàn)镽,符合題意;
(ii)當(dāng)〃=-]時(shí),代x)=^6x+6,定義域?yàn)閇-1,+8),不合題意.
22
②若1-/#(),貝g(x)=(1-a)x+3(\~a)x+6為二次函數(shù).
由題意知g(x)與0對(duì)xdR恒成立,
1-a2>0,J_l<a<l,
?1△WO,??[(〃-1)(11〃+5)W0,
-.Wa<l.由①②可得-1WaWL
(2)由題意知,不等式(1-/*+3([-q)x+620的解集為[-2,1],顯然1-辦0且-2,1
是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的兩個(gè)根.
;工a=±2..'.a=2.
-2=_2,5
-yy或a>l
<A=[3(1-a)]2-24(l-a2)>0'
11.已知<x+2)=Xx)(xWR),并且當(dāng)xG[-1,1]時(shí),./)=-?+1,求當(dāng)xG[2k~l,2k+l](kGZ)
時(shí)、/(x)的解析式.
解:由y(x+2)=;(x),可推知y(x)是以2為周期的周期函數(shù).當(dāng)XG[2/1-1,2北+1]時(shí),2k
-14W2左+1,-lWx-28WL.\AX-2@=-(X-2A)2+1.
又7(x)="-2)=/x-4)=—=J(x-2k),
:.J(x)=-(x-2k)2+[,xe[2k-1,2*+1],kGZ.
12.在2008年11月4日珠海航展上,中國(guó)自主研制的ARJ21支線客機(jī)備受關(guān)注,接到了
包括美國(guó)在內(nèi)的多國(guó)訂單.某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000件該支線客機(jī)某零部件的
總?cè)蝿?wù),已知每件零件由4個(gè)C型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成,每個(gè)工人每小時(shí)能加工
6個(gè)C型裝置或3個(gè)H型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組同時(shí)開始加工,每組分別加工一種裝置,
設(shè)加工C型裝置的工人有x位,他們加工完C型裝置所需時(shí)間為蛉),其余工人加工完H
型裝置所需時(shí)間為Mx).(單位:h,時(shí)間可不為整數(shù))
(1)寫出g(x),"(x)的解析式;
(2)寫出這216名工人完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間;(x)的解析式;
(3)應(yīng)怎樣分組,才能使完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間最少?
解:(1)g(x)=2;OO(0〈X<216,xeN*),h(x)=(0<x<216,x&N*).
mz1ox
「2000
(0〈xW86,xGN*).
⑵危尸1。。。(3)分別為86、130或87、129.
1216-x(87Wx<216,xGN*).
第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性
A組
1.(2009年高考福建卷改編)下列函數(shù)/(x)中,滿足“對(duì)任意修,必6(0,+8),當(dāng)不42時(shí),
都有人為)如2)”的是.
①人勸=(②/(x)=(x-l)2③/(x)=e*④/(x)=ln(x+l)
解析:?.,對(duì)任意的Xl,X2^(0,+8),當(dāng)
加])次切,???府)在(0,+8)上為減函數(shù).答案:①
2.函數(shù)加)(x£R)的圖象如右圖所示,則函數(shù)g(x)
川ogd)(0vav1)的單調(diào)減區(qū)間是.
解析:=lo&x為減函數(shù),.??log/£[0,
為減函數(shù).
由答案:[6,1](或(也,1))
3.函數(shù)9="¥-4+,15-3%的值域是.
解析:令x=4+sin%,,£[0,爭(zhēng),y=sina+小cosa=2sin(a+j),1WyW2.
答案:[1,2]
4.一知函數(shù)人工)=同+備3《11)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值范圍.
解析:當(dāng)a〈0,且e'+彩。時(shí),只需滿足e°+/N0即可,則-K<0;當(dāng)。=0時(shí),
y(x)=|e[=e*符合題意;當(dāng)q>0時(shí),/(x)=e'+氏,則滿足,(x)=e*-在xC[0,l]上恒成
立.只需滿足〃或(小端加成立即可,故綜上
答案:一IWaWl
5.(原創(chuàng)題汝I果對(duì)于函數(shù)人刈定義域內(nèi)任意的x,都有為常數(shù)),稱M為段)的下
界,下界M中的最大值叫做兀0的下確界,下列函數(shù)中,有下確界的所有函數(shù)是.
1(x>0)
頌x)=sinx;顫x)=lgx;(gy(x)=ev;頌x)=?0(x=0)
.-1(x<-l)
解析:;sinxN-1,.,.fix)=sinx的下確界為T,即/(x)=sinx是有下確界的函數(shù);
=lgx的值域?yàn)?-8,+8),.?.人工)=1乎沒有下確界;."決x)=e*的值域?yàn)?0,+°°),??Ax)
=e'的下確界為0,即/(x)=e1是有下確界的函數(shù);
-1(xX)fl(x>0)
?.7(x)=<0(x=0)的下確界為-1".於)=<0(x=0)是有下確界的函數(shù).答案:
,-1(%<-1)1-1(xvT)
①③④
6.已知函數(shù)/3)=/,g(x)=x—1.
(1)若存在XGR使兀0幼-g(x),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)設(shè)尸(x)=/(x)一機(jī)g(x)+l一機(jī)一機(jī)2,且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.
解:(1)3xeR,J(x)<b-g(x)x^R,x2-bx+b<0A=(-Z>)2-4b>0b<0或b>4.(2)F(x)
x2-mx+1-A=TH2-4(1-m2)=5w2-4,
①當(dāng)AWO即-^邛^時(shí),則必需
六。
-半WZ0.
.平Z不
②當(dāng)△>()即〃7V-邛^或〃7>邛^時(shí),設(shè)方程產(chǎn)(%)=0的根為X],X2(X1<X2)?若胃21,則
修W0.
—^1
2支
機(jī)22.
.F(0)=1-/n2^0
777
若,W0,則、24。,
m),八
尹0-1Wm<-邛5.綜上所述:-1WmWO或/w22.
.F(0)=1-w2^0
B組
1.(2010年山東東營(yíng)模擬)下列函數(shù)中,單調(diào)增區(qū)間是(-8,0]的是.
?y—~^②y=一(x-1)?y=x2—2④y=-|x|
解析:由函數(shù)y=-團(tuán)的圖象可知其增區(qū)間為(-8,0].答案:④
2.若函數(shù)加)=10g2(x2—ax+3a)在區(qū)間[2,+8)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是
解析:令g(x)=x2-or+3。,由題知g(x)在[2,+8)上是增函數(shù),且g(2)>0.
界2,
;?一4<aW4.答案:一4<aW4
、4-2。+3。>0,
3.若函數(shù)_Xx)=x+fm>0)在《,+8)上是單調(diào)增函數(shù),則實(shí)數(shù)。的取值范圍
Q39
解析:..7[x)=x+F(a>0)在(g,+8)上為增函數(shù),0<?'大
答案:(0,
4.(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數(shù);(X),對(duì)任意與,x2e[0,+°°)^^2),
有/2)一危|)<0,則下列結(jié)論正確的是
X2—X1
①A3)勺(一2)勺(1)②AD勺(―2)飲3)
③A—2)勺。)9(3)刨3)勺(1)供一2)
解析:由已知叁D二曲Zo,得寅X)在xd[0,+8)上單調(diào)遞減,由偶函數(shù)性質(zhì)得42)=
乃-X]
人-2),即43)勺(-2)8).答案:①
\a(x<0),
5.(2010年陜西西安模擬)已知函數(shù)上)=L,一,、八滿足對(duì)任意修。必,都有
[(。―3)%十4夕(工30)
曲二曲成立,則a的取值范圍是
0<<2<1,
解析:由題意知,段)為減函數(shù),所以<q-3<0,解得
3)X0+4a,
6.(2010年寧夏石嘴山模擬)函數(shù){x)的圖象是如下圖所示的折
線段048,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),定義函數(shù)
g(x)=/(x>(x—1),則函數(shù)g(x)的最大值為.
[2x(x7)(00<1),
斛析:g(x)=\
[(-x+3)(x-1)(1WXW3),
當(dāng)OWxvl時(shí),最大值為0;當(dāng)1WXW3時(shí),
在x=2取得最大值1.答案:1
7.(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在[-1,1]上的函數(shù)/=危)的值域?yàn)閇-2,0],則函數(shù)y
=*04)的值域是.
解析:;con&G[-1,1],函數(shù)y=Ax)的值域?yàn)閇-2,0],.?.y=/(coS)的值域?yàn)閇-2,0].答
案:[—2,0]
8.已知<x)=k)gM+2,xC[l,9],則函數(shù)產(chǎn)=[/€*2+/(,)的最大值是.
解析::函數(shù)y=[Ax)/+兀$的定義域?yàn)?/p>
1WXW9,
2
1<X<9令logM=/,/^[0,l],
...y=(/+2)2+2f+2=(f+3)2-3,.?.當(dāng)f=l時(shí),如《=13.答案:13
9.若函數(shù)/(x)=log/2f+x)m>0,QWI)在區(qū)間(0,;)內(nèi)恒有/(x)>0,則火x)的單調(diào)遞增區(qū)間
為.
解析:4'//=2x~+x,當(dāng)xG(0,3時(shí),〃G(0』),而此時(shí)乂x)>0恒成立,...Ovavl.
"=2(x+H,則減區(qū)間為(-8,而必然有2f+x>0,即x>0或xv-
的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1).答案:(一8,一3
10.試討論函數(shù)y=2(log^x)2—21og1x+l的單調(diào)性.
解:易知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+°°).如果令〃=g(x)=10埼丫,y=XW)=2w2-2w+1,那
么原函數(shù)y=/[g(x)]是由g(x)與處/)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),而〃=Io/x在工£(0,+8)內(nèi)是減
函數(shù),y=2〃2-2〃+1=2(〃-;y+T在〃£(-8,3)上是減函數(shù),在〃£(;,+8)上是增函
數(shù).又〃即匕或只,得坐;得0<A?〈坐由此,從下表討論復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]
11.(2010年廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)加)滿足姆)=<修)一"2),
x2
且當(dāng)x>l時(shí),Xx)<0.
(1)求7U)的值;(2)判斷火x)的單調(diào)性;(3)若<3)=-1,解不等式負(fù)團(tuán))<一2.
解:⑴令xi=X2>0,代入得/1)=火/)-90=0,故—)=0.
(2)任取X|,x2e(0,+8),且為>如則紅>1,由于當(dāng)x>l時(shí),./(x)V0,
所以.婚)<0,即於D-火X2)<0,因此兀V|)q(X2),
所以函數(shù)次刈在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)由心)=曲)一/2)得忌=心)"3),而43)=7,所以<9)=-2.
由于函數(shù)外)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù),
由義[x|)勺(9),得|x|>9,Ax>9或-9.因此不等式的解集為{x\x>9或x<-9}.
Y~+QX+h
12.已知:-Oulogs1------x£(0,+°°),是否存在實(shí)數(shù)。,b,使於)同時(shí)滿足下列三
個(gè)條件:(1)在(0,1]上是減函數(shù),(2)在[1,+8)上是增函數(shù),(3m)的最小值是L若存在,求
出a、b\若不存在,說(shuō)明理由.
]+q+6
解:;危)在。1]上是減函數(shù),[1,+8)上是增函數(shù),??.工=1時(shí),/)最小,iog3-j~-
=1.即。+b=2.
、〃~~cX」++bX2+ax2+h.仁、
設(shè)0<的<應(yīng)<1,則rtI《為)〉/(工2),即一^-----!—-----=---恒成文.
X1%2
由此得在331〉。恒成立.
X\X2
又,.?修一工2<0,工1必>0,,.也一一<0恒成立,
設(shè)1<工4,則Xx3)<義工4)恒成立.~_a<0恒成立.
VX3-x4<0,X3X4>0,/.X3X4>b恒成立..,?力〈1.由1且bW1可知b=1,.二。=1./.
存在4、by使/(X)同時(shí)滿足三個(gè)條件.
第三節(jié)函數(shù)的性質(zhì)
A組
1.設(shè)偶函數(shù)兀v)=log加一臼在(一8,0)上單調(diào)遞增,則.火。+1)與寅6+2)的大小關(guān)系為
解析:由於)為偶函數(shù),知6=0,...危)=log0|x|,又|x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,所以
0<a<l,l<a+1<2,則網(wǎng)在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以J(a+1)>/(/>+2).答案:/0+1)次6
+2)
2.(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數(shù)/(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù),
則人1)十穴4)+負(fù)7)等于.
解析:/(x)為奇函數(shù),且xGR,所以/(0)=0,由周期為2可知,/(4)=0,{7)=/(1),又
由於+2)=外),令x=-1得式1)=火-1)=_火1)=/1)=0,所以<1)+{4)+<7)=0.答案:
0
3.(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足<x-4)=-/(x),且在區(qū)間[0,2]
上是增函數(shù),則/(一25)、人11)、/(80)的大小關(guān)系為.
解析:因?yàn)槿藊)滿足負(fù)x-4)=-兀c),所以./(X-8)=兀v),所以函數(shù)是以8為周期的周期
函數(shù),則-25)=/-1).火80)=/(0),加1)=次3),又因?yàn)榱xx)在R上是奇函數(shù),的)=0,
得人80)=/(0)=0,4-25)=")=-/I),而由"-4)=一危)得用1)”3)=-/-3)=-
"-4)=負(fù)1),又因?yàn)榱xx)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以述1)次0)=0,所以-人1)<0,即火-
25)勺(80)依11).
答案:X-25)<A80)<AH)
4.(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數(shù)./(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)增加,則滿足/(2x—1)勺6)
的x取值范圍是________.
解析:由于.火x)是偶函數(shù),故{x)=Ak|),由川2x-l|)勺6),再根據(jù).次x)的單調(diào)性得|2x
-1|<|,解得U.答案:(|,|)
5.(原創(chuàng)題)已知定義在R上的函數(shù)義x)是偶函數(shù),對(duì)xdR,<2+x)=/(2—x),當(dāng)人-3)=一
2時(shí),式2011)的值為.
解析:因?yàn)槎x在R上的函數(shù)/(x)是偶函數(shù),所以/(2+x)=/(2-x)=/(x-2),故函數(shù)/(x)
是以4為周期的函數(shù),所以<201l)=/(3+502X4)=犬3)=/(-3)=-2.答案:一2
6.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)y=*x)(—1WxW1)是奇函
數(shù),又知y=/(x)在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值
-5.(1)證明:7(1)+/(4)=0;(2)求1=/),乂€[1,4]的解析式;(3)求.=段)在[4,9]上的解析
式.
解:⑴證明::危)是以5為周期的周期函數(shù),.\/(4)="4-5)=1-1),
又???=Ax)(TWxWl)是奇函數(shù),.?決1)=4-1)=-負(fù)4),??坎1)+<4)=0.
(2)當(dāng)xG[l,4]時(shí),由題意可設(shè)外)=。@-2)2-5(&>0),由./(1)+44)=0,得.(1-2)2-5
+?(4-2)2-5=0,:.a=2,:.J(x)=2(x-2)2-5(1^x<4).
(3);y=<x)(-IWxWl)是浮函數(shù),.;即)=0,又知y=/(x)在[0,1]上是一次函數(shù),...可設(shè)
/(x)=fcc(OWxWl),而./(I)=2(1-2y-5=-3,.,.k=-3?.,.當(dāng)OWxWl時(shí),危)=-3x,從
而當(dāng)-1Wx〈0時(shí),./(x)=~x)=-3x,故-1WxW1時(shí),fix)=-3x./.當(dāng)4WxW6時(shí),有
-1Wx-5W1,.,./(x)=./(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.當(dāng)6<xW9時(shí),-5^4,J.J[x)=j(x
-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
-3x+15,4<x<6
,心)=
2(X-7)2-5,6<xW9
B組
1.(2009年高考全國(guó)卷I改編)函數(shù)7(x)的定義域?yàn)镽,若<x+l)與左一1)都是奇函數(shù),則
下列結(jié)論正確的是.
①Ax)是偶函數(shù)②Ax)是奇函數(shù)③/)=加+2)
④/(x+3)是奇函數(shù)
解析:,.,人》+1)與.危-1)都是奇函數(shù),.*./-%+i)=-y(x+1),/(-X-1)=-fix-1),
...函數(shù)人x)關(guān)于點(diǎn)(1,0),及點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,函數(shù)7(x)是周期7=2[1-(-1)]=4的周期函
數(shù).:.A~x-1+4)=-j{x-1+4),y(-x+3)=-/x+3),即於+3)是奇函數(shù).答案:④
3
2.已知定義在R上的函數(shù)人x)滿足外)=一心+力且y(—2)=穴-1)=-1,<0)=2,3)
+X2)+-+A2009)+/2010)=________.
解析:外)=-加+齊如+3)=小),即周期為3,由./(-2)=火-1)=-1"(0)=2,所
以-1,黃2)=-1,寅3)=2,所以,/(1)+/2)+-+/2009)+/2010)=>(2008)+/2009)
+<2010)=/(l)+_X2)+_A3)=0.答案:0
3.(2010年浙江臺(tái)州模擬)已知<x)是定義在R上的奇函數(shù),且<1)=1,若將<x)的圖象向
右平移一個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則義1)+負(fù)2)+<3)+…+/(2010)=.
解析:/(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以<-x)=-4力,將人x)的圖象向右平移一個(gè)單
位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則滿足/(-2+x)=-/x),即火x+2)=-y(x),所以周期為4,
XI)=1,/2)=/0)=0,火3)=-XI)=-1,,/(4)=0,所以XI)+丸2)+{3)+次4)=0,則見)
+火2)+次3)+…+義2010)=7(4)X502+人2)=0.答案:0
4.(2010年湖南郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)人x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+8)上有/(x)>0,若
人-1)=0,那么關(guān)于x的不等式x/(x)<0的解集是.
解析:在(0,+8)上有/(X)>O,則在(0,+8)上段)是增函數(shù),在(-8,0)上是減函
數(shù),又.危)在R上是偶函數(shù),且,-1)=0,.\/(1)=0.從而可知XG(-8,-1)時(shí),無(wú)幻>0;
xe(-1,0)時(shí),/(x)<o;xe(o,l)時(shí),/(x)<0;xe(l,+8)時(shí),兀介>0:.不等式的解集為(-8,
-1)口(0』)答案:(-8,-l)U(0,l).
5.(2009年高考江西卷改編)已知函數(shù)外)是(-8,+8)上的偶函數(shù),若對(duì)于x》o,都有企
+2)=/(x),且當(dāng)xd[0,2)時(shí),段)=log2(x+l),則./(一2009)+/(2010)的值為.
解析::於)是偶函數(shù),.\/(-2009)=欣09).??先)在Q0時(shí)段+2)=加),,危)周期
為2.:.A-2009)+X2010)=A2009)+/(2010)=/1)+/(0)=log22+log2l=0+1=1.答案:1
6.(2010年江蘇蘇州模擬)己知函數(shù)段)是偶函數(shù),并且對(duì)于定義域內(nèi)任意的x,滿足人x+2)
=一看,若當(dāng)2口<3時(shí),y(x)=x,則義2009.5)=.
由於+2)=一點(diǎn),
解析:可得fix+4)=y(x),X2009.5)=./(502X4+1.5)=/(1.5)=J[-
2.5);%)是偶函數(shù),.\;(2009.5)=_/(2.5)=|.答案:|
7.(2010年安徽黃山質(zhì)檢淀義在R上的函數(shù)加)在(一8,可上是增函數(shù),函[數(shù)y=/(x+a)
是偶函數(shù),當(dāng)x2>a9且防一〃|<|必一。|時(shí),則/(2。一修)與火必)的大小關(guān)系為.
解析:=/(x+。)為偶函數(shù),+o)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,'.y=於)的圖象關(guān)于
X=Q對(duì)稱.又?./x)在(-8,上是增函數(shù),.\/(%)在口,+8)上是減函數(shù).當(dāng)修<7,X2>a,
且,]一41Vh2一夕|時(shí),有a-x\<x2-a,即o<2a-為<%2,?\/(2Q-a)次必)?答案:人24一修)況型)
8.已知函數(shù)兀r)為R上的奇函數(shù),當(dāng)入20時(shí),./)=%(工+1).若犬〃)=一2,則實(shí)數(shù)a=.
解析:當(dāng)x20時(shí),J(x)=x(x+1)>0,由/(x)為奇函數(shù)知x<0時(shí),/(x)<0,???〃<0,j{-d)
=2,/.-a(~a+1)=2,工。=2(舍)或a=-1.答案:一1
9.(2009年高考山東卷)已知定義在R上.的奇函數(shù)/(X)滿足兀v—4)=一人工),且在區(qū)間[0,2]上
是增函數(shù).若方程/(工)=〃2(相>0)在區(qū)間[—8,8]上者四個(gè)不同的根為,如均,M,則為+必
+悶+M.
解析:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù),滿足於-4)=-“T),所以7(4-x)=/(x),因此,函
數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且/(0)=0.由於-4)=-/(x)知-8)=/),所以函數(shù)是以8為周
期的周期函數(shù).又因?yàn)槿素自趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù);所以./(X)在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù),
如圖所示,那么方程")=皿〃7>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根治,如孫x4,不妨設(shè)
X]<必<工3<必.由對(duì)稱性知X]+X2=-12,X3+必=4,所以為+必+工3+工4=-12+4=-8.答
案:-8
y\
0\2
10.已知<x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)xd(-8,0)時(shí),y(x)=-;dg(2—X),求人x)的解析式.
解:?<Ax)是奇函數(shù),可得負(fù)0)=-負(fù)0),.\A0)=0.當(dāng)x>0時(shí),-XV0,由已知<-x)=xlg(2
+x),-fix)=xlg(2+x),即7(x)=-xlg(2+x)(x>0).
f-xlg(2-x)(x<0),
?W)=-、/>n、即段)=-xlg(2+|x|)(xWR).
[-xlg(2+x)(x20).
11.已知函數(shù)逐x),當(dāng)x,yGR時(shí),恒有兀c+y)=Ax)+/e).⑴求證:")是奇函數(shù);(2)如
果xGR+,/)<0,并且大1)=一去試求大x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
解:(1)證明:函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
???加+力=危)+方),令?-,??.即戶刎+人一分令-=0,??./())=加)+購(gòu),
得,火0)=0.+<一x)=0,得<~x)=-火x),,/)為奇函數(shù).
(2)法一:設(shè)x,eR1,\,/(x+y)=y(x)+_/(y),:.J[x+y)-,/(x)=fiy\
Vx^R+,+y)一次工)<0,/./x+*/x+y>x,在(0,+8)上是
減函數(shù).又;危)為奇函數(shù),<0)=0,?;危)在(-8,+8)上是減函數(shù).???/(-2)為最大值,
人6)為最小值.;/(1)=1,???./(-2)=-,/(2)=-2Al)=h./(6)=2/(3)=2[/(1)+/(2)]=-3.A
所求兀r)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
法二:設(shè)為<必,且片,—GR.則/2-為)=02+(-Xj)]=fix-2)+_X_彳1)=/2)-次Xi).;X2
一片>0,;.兒'2-乃)〈0:.小2)-/5)〈0.即加)在區(qū)上單調(diào)遞減..\/(-2)為最大值,./(6)為最
小值...W)=-1,.*./-2)=-X2)=-2/(l)=l,X6)=2/(3)=2[Al)+X2)]=-3....所求外)
在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
12.已知函數(shù)段)的定義域?yàn)镽,且滿足/(x+2)=—/(x).
(1)求證:孔0是周期函數(shù);
(2)若兀r)為奇函數(shù),且當(dāng)OWxWl時(shí),<x)=;x,求使大燈=一;在[0,2010]上的所有x的
個(gè)數(shù).
解:⑴證明:":fix+2)=-fix),:.fix+4)=-fix+2)=-[-fix)]=fix),
.,?/(x)是以4為周期的周期函數(shù).
(2)當(dāng)OWxWl時(shí),4)=%,
設(shè)-IWxWO,貝”O(jiān)W-xWl,/./(-x)=^(-x)=..,貝力是奇函數(shù),.-/(x),
,二危)=-5,即,G)=$.故=IWxWl)
又設(shè)l<x<3,貝,1-1<x-2<1,:.fix-2)=|(x-2),
又二/-2)=-/2~x)=-./[(-x)+2]=-[一{-x)]=-fix),:.-fix)=1(x-2),
(-1
=-1(x-2)(1<x<3).Z./x)=5
[-*-2)(1*3)
由於)=-;,解得x=-1.二危)是以4為周期的周期函數(shù).故/(x)=-g的所有x=4"-
13
l(wEZ).令0W4〃-1W2010,則4W〃>502不又,.Z£Z,???1W〃W5O2(〃£Z),???在[0,2010]
上共有502個(gè)x使兒:)=一
第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
第一節(jié)指數(shù)函數(shù)
A組
1.(2010年黑龍江哈爾濱模擬)若心1,X0,且/+,〃=2吸,則J—的值等于_______.
解析:h<0,.,.0<ah<\,ab>\.^V(?+a-6)2=a24+a'2b+2=8,:.a2h+a'2b-
6,(a*_a^)2=a2h+a'"-2=4,a-ah=-2.答案:一2
2.已知7(x)=/+b的圖象如圖所示,則<3)=.
解析:由圖象知/(0)=1+6=-2,;.6=-3.又/(2)=a2-3
=0,:.a=y[3,則式3)=(卜)3-3=36-3.
答案:3s—3
3.函數(shù)y=(;產(chǎn)i的值域是.
解析::2X-X2=-(X-1)2+1W1,
?,?鏟一:當(dāng)答案:百+8)
4.(2009年高考山東卷)若函數(shù)/W="-x-a(a>0,且。燈)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值
范圍是.
解析:函數(shù),/(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y="與函數(shù)y=x+a交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由函數(shù)的圖
象可知々>1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),Ovavl時(shí)兩函數(shù)圖象有惟一交點(diǎn),故a>l.答案:(1,
5.(原創(chuàng)題)若函數(shù)加)=4」ig>0,a#1)的定義域和值域都是[0,2],則實(shí)數(shù)。等于.
,051a>\
解析:由題意知</-1=0無(wú)解或<J-1=00a=木.答案:小
I。0-11=2r-1=2
6.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)小)=廣不^是奇函數(shù).(1)求a,6的值;
(2)若對(duì)任意的/GR,不等式次/-2。+<2/一與<0恒成立,求上的取值范圍.
一]+6
解:(1)因?yàn)樨?是R上的奇函數(shù),所以/(0)=0,即,21J=O,解得6=1.
-2v+1-2+12
從而有Xx)=+".又由/(D=-人-1)知4+"=-]+〃,解得。=2.
,CtI0<1C/
—2"+111
(2)法一:由⑴知./)=尹.112=-5+方1,
由上式易知火0在R上為減函數(shù),又因/(X)是奇函數(shù),從而不等式加2-2。+/2產(chǎn)-4)<0
叼廣-2/)<-Jilt2-^)=/-2?+k).
因/x)是R上的減函數(shù),由上式推得--2/>-2/+k.
即對(duì)一切/6R有3/-2LQ0,從而A=4+12A<0,解得
-2V+1-2^-2,+1-?2,2-*+1
法二:由(1)知<X)=2'T+2,又由題設(shè)條件得2J_2小+2++六°
即022-E+2)(_2'。2,+D+QJHI+2)(-22,2'i+1)<0
整理得23人"-*>1,因底數(shù)2>1,故3』-2L%>0
上式對(duì)一切/《R均成立,從而判別式A=4+12%<0,解得%<-去
B組
1.如果函數(shù)—)=d+6—1(。>0且aWl)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,不經(jīng)過(guò)第三象限,
那么一定有.
①0<。<1且6>0②0<。<1且O<Z><1③。>1且b<0④a>l且6>0
解析:當(dāng)09/<1時(shí),把指數(shù)函數(shù).危)="的圖象向下平移,觀察可知-lv6-1<0,即
O〈X1.答案:②
2.(2010年保定模擬)若/(幻=-?+2方與g(x)=(a+『r在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a
的取值范圍是.
解析:7(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a1,所以人工)在⑷+8)上為減函數(shù),又?v),g(x)
(aW1
都在[1,2]上為減函數(shù),所以需00。力.答案:(0,1]
[a+1>1
3.已知40,
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