2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 第八章　與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題 學(xué)案

與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題空間幾何體與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題是立體幾何中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).所謂幾何體的外接球，是指幾何體的各頂點(diǎn)（或旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)、底面圓周）都在一個(gè)球面上，此球稱為該幾何體的外接球；內(nèi)切球是指與幾何體內(nèi)各面（平面、曲面）都相切的球.求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是作出合適的截面圓，確定球心，再由球的半徑R、截面圓的半徑r及各幾何量之間建立關(guān)系.題型一外接球【例1】（1）設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，且底面△ABC的面積為23，則此直三棱柱外接球的表面積是（）A.16πB.4010π3 （2）已知三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)為25，底面是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為.

解析（1）設(shè)AB＝AC＝AA1＝m，因?yàn)椤螧AC＝120°，所以12×m×m×sin120°＝23，m＝22，而∠ACB＝30°，所以22sin30°＝2r（r是△ABC外接圓的半徑），r＝22，如圖，設(shè)M，N分別是△ABC和△A1B1C1的外接圓圓心，由直棱柱的性質(zhì)知MN的中點(diǎn)O是三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心，OM＝12MN＝12AA1＝2，所以外接球半徑R＝OA＝AM2＋OM2＝（22）2＋（2（2）如圖所示，該三棱錐為正三棱錐，O為底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O'在線段AO上，O'為外接球球心，令O'A＝O'D＝R，OD＝23DE＝23×23×32＝2，AD＝25，∴AO＝AD2－OD2＝4，∴OO'＝4－R，又OO'2＋OD2＝O'D2，∴（4－R）2＋4＝R2，解得R＝52，∴答案（1）C（2）1256通性通法常見(jiàn)幾何體外接球問(wèn)題的求解策略（1）正方體、長(zhǎng)方體的外接球：①正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半；②長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.（2）棱錐的外接球：以下四種類(lèi)型的三棱錐可以補(bǔ)型為長(zhǎng)方體求解.（3）圓柱、圓錐的外接球：作軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.（4）圓臺(tái)的外接球：設(shè)r1，r2，h分別為圓臺(tái)的上、下底面的半徑和高，R為外接球的半徑.1.據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，則三棱錐外接球表面積為（）A.10πB.12πC.14π D.16π 解析：B如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，則外接球半徑R＝PC2＝AP2＋AB2＋BC22＝4+4+42＝32.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外接球的體積為（）A.55π6B.82π3解析：B如圖，O為外接球球心，母線BB1的長(zhǎng)度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝OO22＋O2B2＝2，∴外接球體積V＝43π題型二內(nèi)切球【例2】（1）一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為32π3，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（A.963 B.163C.243 D.483（2）若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則其內(nèi)切球的表面積為（）A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2C.4πRr D.π（R＋r）2解析（1）設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則球的半徑R＝13×32a＝36a，正三棱柱的高為33a.又V球＝43πR3＝4π3×（3）633a3＝32π3.∴a＝43.∴V柱＝34（2）如圖，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面積為4πOE2＝4πRr.答案（1）D（2）C通性通法常見(jiàn)幾何體內(nèi)切球問(wèn)題的求解策略（1）正方體的內(nèi)切球：正方體的內(nèi)切球球心位于其體對(duì)角線中點(diǎn)處，設(shè)邊長(zhǎng)為a的正方體，其內(nèi)切球半徑為R＝a2（2）圓錐的內(nèi)切球：圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，R＝rhr提醒棱錐的內(nèi)切球：用等積法求解，設(shè)棱錐的體積為V，表面積為S，R＝3V1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.3 B.33C.3 D.1解析：C設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長(zhǎng)為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝3，所以R＝32，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，即2r＝1，即r＝12，所以Rr＝3，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為4π2.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是（）A.6 B.5C.92 D.解析：D