《現(xiàn)代控制理論》課件第3章

3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程：，系統(tǒng)輸入為零。初始時刻t0的狀態(tài)有：則狀態(tài)方程有唯一解：初始時刻從開始：則狀態(tài)方程有解：3.1.1齊次狀態(tài)方程的解3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（1）先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級數(shù)解法假設(shè)其解為一冪級數(shù)（2）常見解法：冪級數(shù)法將（2）式代入（1）式3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解方程解：（3）因?yàn)槎仁絻蛇卼

的同次冪的系數(shù)相等，因此有3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解模仿標(biāo)量齊次微分方程的解法，假設(shè)線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為（4）將（4）式代入狀態(tài)方程式等式兩邊t同次冪的系數(shù)相等，因此有3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解而則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為（5）

記（6）則3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解解：

求系統(tǒng)的解。

例1.已知：系統(tǒng)的解3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解3.1.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為或幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài)開始，隨著時間的推移，由轉(zhuǎn)移到

,再由移到

……的形態(tài)完全由決定。1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解

稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）常用表示:的解，又可以表示為：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解在時，，已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線在時的狀態(tài)為：如已知，在的狀態(tài)為即狀態(tài)從開始，將按或轉(zhuǎn)移到或，在狀態(tài)空間中繪出一條運(yùn)動軌線。3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)性質(zhì)一：組合性性質(zhì)二：性質(zhì)三：性質(zhì)四：交換性性質(zhì)五：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解則有：3幾個特殊矩陣指數(shù)函數(shù)(1)若為對角矩陣3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解則有：約旦矩陣若A

為（2）線性變化變?yōu)榧s旦標(biāo)準(zhǔn)型3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解則有：(3)若A為能通過線性變化變?yōu)榧s旦標(biāo)準(zhǔn)型則有：(4)若3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解3.1.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算(1)定義法：按照定義直接計(jì)算，適合于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解解：,求。

例1已知：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(2)變換A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法：則有

n個互異的特征值設(shè)A具有滿足其中3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解解:1)特征值試計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)。例1已知矩陣2)計(jì)算特征向量，求取相應(yīng)的變化矩陣

則有：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解設(shè)A具有n個重特征值則有3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解解:1)計(jì)算特征根及特征向量，構(gòu)造變換矩陣：,試計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù).例2已知矩陣2)構(gòu)造變換矩陣3)計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解(3)拉氏變換法：有：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解例3.用Laplace變換法計(jì)算矩陣指數(shù)：解：則有：3.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解例4.用Laplace變換法計(jì)算矩陣指數(shù)：解：則有：3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解考慮系統(tǒng)在控制輸入作用下的運(yùn)動：當(dāng)初始時刻，初始狀態(tài)為，其解為：當(dāng)初始時刻

，初始狀態(tài)為，其解為：3.2.1非齊次狀態(tài)方程的解3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解證明：兩邊積分得：將左乘后求導(dǎo)得：3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解更一般的形式為：系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)由兩部分組成：一部分是由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運(yùn)動，叫做零輸入響應(yīng)；

一部分是由控制輸入所產(chǎn)生的受控運(yùn)動，叫做零狀態(tài)響應(yīng)。3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解注：1系統(tǒng)的運(yùn)動包括兩個部分。一部分是輸入向量為零時，初始狀態(tài)

引起的，即相當(dāng)于自由運(yùn)動。2第二部分是初始狀態(tài)為零時，輸入向量引起的，稱為強(qiáng)制運(yùn)動。正是

由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當(dāng)?shù)妮?/p>

入向量，使的形態(tài)滿足期望的要求。3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解例1線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解：在前例中已經(jīng)求得則有：3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解3.2.3拉氏變換法求解將兩端取拉氏變換：

用到卷積定理則

對上式取拉氏反變換，2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解例2線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解：在前例中已經(jīng)求得計(jì)算零

輸入響應(yīng)

計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)解3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1)x(t)是由初值引起的零輸入解和控制所產(chǎn)生的零狀態(tài)解的疊加和。

(2)解的結(jié)構(gòu)顯示了從x(t0)到x(t)的一種變換關(guān)系。其中：稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。3.2線性定常非齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)方程：練習(xí)：求下面線性定常系統(tǒng)的解。初始條件：輸入條件：3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.3.1線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化典型的線性離散系統(tǒng)是由采樣器、保持器、離散時間控制裝置和連續(xù)時間受控對象組成，如圖所示：離散化問題，就是基于一定的采樣方式和保持方式，由系統(tǒng)的連續(xù)時間狀態(tài)空間描述推導(dǎo)出相應(yīng)的離散時間狀態(tài)空間描述，并對兩者的系數(shù)矩陣建立對應(yīng)的關(guān)系式。對連續(xù)時間線性系統(tǒng)的時間離散系統(tǒng)，隨著采樣方式和保持方式的不同，通常其狀態(tài)空間描述也不同。一般地，采樣器的采樣方式常取以常數(shù)為周期的等間隔采樣，且采樣脈沖寬度遠(yuǎn)小于采樣周期，采樣周期的選擇須滿足香農(nóng)采樣定理。保持方式采用零階保持方式。3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解定理3.1給定線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散時間狀態(tài)空間描述為對應(yīng)關(guān)系3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例給定線性連續(xù)定常系統(tǒng)如下，設(shè)采樣周期T=0.1,試將其離散化。解：連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為對應(yīng)關(guān)系離散化狀態(tài)方程：3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.3.2離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解1迭代法------遞推的數(shù)值解法思路：利用給定或上一采樣時刻狀態(tài)值，迭代確定下一采樣時刻的狀態(tài)。例

給定的線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其中：計(jì)算狀態(tài)變量在采樣時刻的值。3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解解：3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.3.2離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解2Z變換法對方程求取z變換：則有取z反變換：離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣-----3.3線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例