《信號(hào)與系統(tǒng)》課件ch3

1第三章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.1傅里葉級(jí)數(shù)3.2非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4周期信號(hào)的傅里葉變換3.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析3.6頻域分析應(yīng)用舉例3.7抽樣及抽樣定理點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)2第三章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱(chēng)為頻域分析。

3.1傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)是信號(hào)的一種分解形式，可以視作矢量正交分解的一種推廣。下面先介紹信號(hào)正交和正交函數(shù)集的概念。33.1傅里葉級(jí)數(shù)一、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1.定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿(mǎn)足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱(chēng)

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿(mǎn)足則稱(chēng)此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。43.1傅里葉級(jí)數(shù)3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在非零函數(shù)φ(t)滿(mǎn)足則稱(chēng)此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集(i=1，2，…，n)和虛指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間是兩組典型的上的完備正交函數(shù)集。53.1傅里葉級(jí)數(shù)二、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式上式稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)an,bn稱(chēng)為傅里葉系數(shù)

1.表示式設(shè)f（t）是以T為周期的信號(hào)，且滿(mǎn)足狄利赫里條件，則它可分解為：其中，

為f（t）的基波角頻率2.系數(shù)的計(jì)算系數(shù)an,bn可通過(guò)函數(shù)正交的定義來(lái)推出：（*）63.1傅里葉級(jí)數(shù)容易驗(yàn)證，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。3.等價(jià)形式將式（*）中同頻率項(xiàng)合并后，可得如下等價(jià)形式：直流分量n次諧波分量其中73.1傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式上式稱(chēng)為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉系數(shù)為Fn

1.表示式周期為T(mén)

的信號(hào)f（t）還可以分解為：其中，

含義同前2.系數(shù)Fn的計(jì)算系數(shù)Fn可通過(guò)函數(shù)正交的定義或由三角形式推出：（**）83.1傅里葉級(jí)數(shù)3.兩種形式傅里葉系數(shù)的關(guān)系復(fù)系數(shù)Fn可表示為：

對(duì)n=±1，±2，...，但是（注意：）

但由此可知，是n的偶函數(shù)，而是n的奇函數(shù)93.1傅里葉級(jí)數(shù)四、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)

從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱(chēng)為信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱(chēng)為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即

將An~ω和

n~ω的關(guān)系分別畫(huà)在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱(chēng)為幅度頻譜圖和相位頻譜圖。兩個(gè)圖合稱(chēng)為頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱(chēng)這種頻譜為單邊譜。1、信號(hào)頻譜的概念103.1傅里葉級(jí)數(shù)也可畫(huà)|Fn|~ω和

n~ω的關(guān)系，稱(chēng)為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)Fn

。2.兩種譜的關(guān)系3.周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線(xiàn)位置是基頻ω0的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。（3）隨著T增大，譜線(xiàn)間隔頻譜ω0變小，頻譜趨于連續(xù)譜。雙邊幅度譜譜線(xiàn)長(zhǎng)度是單邊譜相應(yīng)頻率的一半，而雙邊相位譜在正頻率部分與單邊相位譜相同。113.1傅里葉級(jí)數(shù)試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率ω0，畫(huà)出它的單邊頻譜圖。例3.1.1：周期信號(hào)f(t)=解首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號(hào)的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率ω0

=2π/T=π/12123.1傅里葉級(jí)數(shù)是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫(huà)出f(t)的單邊幅度頻譜圖、相位頻譜圖如下(a)(b)oAn12p6p4p3pA02141ωoω3p3p4p6p12p32p-nj1133.1傅里葉級(jí)數(shù)例3.1.2：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示。求頻譜。解：Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。下圖是T=4τ的情形。143.1傅里葉級(jí)數(shù)153.2傅里葉變換3.2非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換

非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線(xiàn)間隔

0趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱(chēng)F(jω)為頻譜密度函數(shù)。163.2傅里葉變換考慮到：T→∞，ω0→無(wú)窮小，記為dω；

nω0

→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(jω)稱(chēng)為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜。f(t)稱(chēng)為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)173.2傅里葉變換也可簡(jiǎn)記為F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)說(shuō)明

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件為:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分183.2傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–

tU(t)，

>0實(shí)數(shù)2.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–

t

,

>0193.2傅里葉變換3.門(mén)函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)

(t)、′(t)203.2傅里葉變換5.常數(shù)1常數(shù)1不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，不過(guò)其傅里葉變換也存在。因?yàn)?t)←→1，代入反變換定義式，有將→t，t→-

，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得213.2傅里葉變換6.符號(hào)函數(shù)7.階躍函數(shù)U(t)構(gòu)造函數(shù)223.2傅里葉變換歸納記憶：1.時(shí)頻對(duì)應(yīng)關(guān)系2.常用函數(shù)變換對(duì)：δ(t)U(t)e-

t

U(t)gτ(t)sgn

(t)e–

|t|112πδ(ω)233.3傅里葉變換的性質(zhì)3.3傅里葉變換的性質(zhì)一、線(xiàn)性(LinearProperty)設(shè)f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)af1(t)+bf2(t)←→aF1(jω)+bF2(jω)則例如圖信號(hào)，F(xiàn)(jω)=?解:f

(t)=1–g2(t)1←→2πδ(ω)，g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)243.3傅里葉變換的性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)(Time-shiftingProperty)設(shè)f(t)←→F(jω)，那么(其中，t0為實(shí)常數(shù))例如圖信號(hào)，F(xiàn)(jω)=?解:

f

(t)=g6(t-5)+g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=253.3傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)(SymmetricalProperty)設(shè)f(t)←→F(jω)則證明：（1）將ω與t互換，得

（2）再將ω?fù)Q為-ω，有∴F(jt)←→2πf(–ω)F(jt)←→2πf(–ω)263.3傅里葉變換的性質(zhì)例3.3.1解：令α=1,得∴例3.3.2令有所以解：273.3傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)設(shè)f(t)←→F(jω)那么其中，ω0

是實(shí)常數(shù)例3.3.3f(t)=ej3t←→F(jω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)sinω0t

←→jπ[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]解:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]類(lèi)似地，例3.3.4f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?283.3傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)設(shè)f(t)←→F(jω)那么式中，a

為非零實(shí)常數(shù)特別地，令a=-1,有f(-t)←→F(-jω)與時(shí)移特性結(jié)合，可得293.3傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(ConvolutionProperty)1.時(shí)域卷積：設(shè)f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)那么f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2.頻域卷積：設(shè)f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)那么f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)303.3傅里葉變換的性質(zhì)例3.3.5解：由對(duì)稱(chēng)性，得如上圖所示。22-20ω313.3傅里葉變換的性質(zhì)七、時(shí)域的微分和積分設(shè)f(t)←→F(jω)那么證明:f(n)(t)=

(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)

f(-1)(t)=U(t)*f(t)←→323.3傅里葉變換的性質(zhì)例3.3.6f(t)=1/t2←→?解:由微分特性，得:333.3傅里葉變換的性質(zhì)例3.3.7求

F

(jω)解:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2343.3傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分設(shè)f(t)←→F(jω)那么(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)例3.3.8求f(t)=tU(t)←→F

(jω)=?解:353.3傅里葉變換的性質(zhì)九、帕斯瓦爾定理|F(jω)|2

通常被稱(chēng)為能量密度譜解：例3.3.9由帕斯瓦爾定理，得：363.3傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶性設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)，那么=R(ω)+jX(ω)于是R(ω)=R(–ω),X(ω)=–X(–ω)|F(jω)|=|F(–jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)若f(t)=f(-t),則X(ω)=0,F(jω)=R(ω)

若f(t)=-f(-t),則R(ω)=0,F(jω)=jX(ω)373.4周期信號(hào)的傅里葉變換3.4周期信號(hào)的傅里葉變換一、周期信號(hào)的傅里葉變換的求法一(1)設(shè)fT(t)是周期為T(mén)的信號(hào)，則可展開(kāi)為其中，因此，383.4周期信號(hào)的傅里葉變換解：二、周期信號(hào)的傅里葉變換的求法二可以將fT(t)看作其第一周期信號(hào)f0(t)(-T/2<t<T/2)的周期延拓，表示為：f(t)=f0(t)*

T(t)

于是例3.4.1：求周期沖激串的傅里葉變換。393.4周期信號(hào)的傅里葉變換與第一種方法對(duì)照，可得出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法：例3.4.2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：用第二種方法求。由圖可知，f0(t)=g2(t)所以,故403.5頻域分析3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ej

t一、基本信號(hào)ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。413.5頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ej

t時(shí)，其響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j

)，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。所以y(t)=H(j

)ej

tH(j

)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ej

t423.5頻域分析二、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)ej

tF(j

)ej

td

F(j

)H(j

)ej

td

齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j

)H(j

)]Y(j

)=F(j

)H(j

)433.5頻域分析頻率響應(yīng)H(j

)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j

)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j

)之比，即

H(j

)

稱(chēng)為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱(chēng)為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。

H(j

)

是

的偶函數(shù)，θ(

)是

的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法LTI*h(t)=②傅氏變換③傅氏反變換f(t)①傅氏變換×=y(t)F(jω)H(jω)Y(j

)443.5頻域分析對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。周期信號(hào)若則可推導(dǎo)出453.5頻域分析例3.5.1：某LTI系統(tǒng)的

H(j

)

和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j

)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j

)=F(j

)H(j

)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j

)=H(j

)

ejθ()463.5頻域分析解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)f(t)的基波角頻率ω0=5rad/sf(t)=2+4cos(ω0

t)+4cos(2ω0t)H(0)=1，H(jω0)=0.5e-j0.5π，H(j2ω0)=0y(t)=2+4×0.5cos(ω0

t–0.5π)=2+2sin(5t)=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j

)]=2+2sin(5t)473.5頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j

)的求法1.H(j

)=F[h(t)]

2.H(j

)=Y(j

)/F(j

)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。例3.5.2：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tU(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)483.5頻域分析f(t)=e-tU(t)←→Y(j

)=H(j

)F(j

)y(t)=(e-t–e-2t)U(t)493.6頻域分析應(yīng)用舉例一、無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j

)=Ke–j

tdF(j

)3.6頻域分析應(yīng)用舉例503.6頻域分析應(yīng)用舉例系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敚瑢?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j

)的要求是：

(a)對(duì)h(t)的要求：

h(t)=K

(t–td)(b)對(duì)H(j

)的要求：

H(j

)=Y(j

)/F(j

)=Ke-j

td即

H(j

)

=K,θ(

)=–

td

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)時(shí)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿(mǎn)足以上條件即可。2、無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：513.6頻域分析應(yīng)用舉例例3.6.1：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)523.6頻域分析應(yīng)用舉例理想低通濾波器的頻響如圖所示。

c稱(chēng)為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：其沖激響應(yīng)為

h(t)=?-1[g2

c()e-jtd]=可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。二、理想低通濾波器此外還有理想高通、帶通和帶阻濾波器。533.6頻域分析應(yīng)用舉例三、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0即響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)，系統(tǒng)為因果的。就頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿(mǎn)足并且稱(chēng)為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0?？梢?jiàn)上述理想濾波器均為不可物理實(shí)現(xiàn)的。543.6頻域分析應(yīng)用舉例四、調(diào)制與解調(diào)1.調(diào)制×f(t)y(t)cos

0t2.解調(diào)×y(t)x(t)cos

0tLPFf(t)圖中，()()[]()[]{}2100wwwww-++=jFjFjY()()0cosw=ttftyLPF頻響應(yīng)滿(mǎn)足：并且其中

m為f(t)的最高頻率553.7信號(hào)取樣與取樣定理3.7取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一、信號(hào)的取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這樣得到的離散信號(hào)稱(chēng)為取樣信號(hào)。563.7信號(hào)取樣與取樣定理如圖一連續(xù)信號(hào)f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開(kāi)關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為T(mén)S，fS=1/TS稱(chēng)為取樣頻率。得取樣信號(hào)

fS(t)=f(t)s(t)通常有兩種取樣方式：573.7信號(hào)取樣與取樣定理1.自然取樣。又分為沖激取樣和矩形脈沖取樣(1)沖激取樣(理想取樣）其中f(nT)稱(chēng)為信號(hào)的樣本或樣值