湖北省部分市州2022-2023學年高一下學期7月期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

湖北省部分市州2023年7月高一年級聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試時間120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是()A.任意梯形 B.直角梯形C.任意四邊形 D.平行四邊形2.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則()A. B.C. D.3.已知為空間中不重合的兩條直線，為空間中不重合的兩個平面，則下列命題錯誤的是()A.∥B.∥∥∥C.∥∥D∥∥∥∥∥4.某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內(nèi)建筑物的高度.步驟如下：①將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?，測量出人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復①中的操作；③求建筑物高度.如圖所示，前后兩次人與鏡子的距離分別，兩次觀測時鏡子間的距離為，人的“眼高”為，則建筑物的高度為()A. B. C. D.5.的內(nèi)角的對邊分別為，下列說法錯誤的是()A.若，則一定為鈍角三角形B.若，則解此三角形必有一解C.若，則一定為等腰三角形D.若是銳角三角形，則6.已知函數(shù)滿足，則函數(shù)是()A.奇函數(shù)，關于點成中心對稱 B.偶函數(shù)，關于點成中心對稱C.奇函數(shù)，關于直線成軸對稱 D.偶函數(shù)，關于直線成軸對稱7.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖，在鱉臑中，底面，作于于，下面結論正確的是()①平面②平面③三棱錐是鱉臑④三棱錐是鱉臑A.①③ B.①②④ C.②③ D.①③④8.將邊長為的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.ChatGPT是由OpenAI公司開發(fā)的一個問答類人工智能應用．高科技發(fā)展在吸引年輕人的喜愛和關注的同時，也影響高考志愿填報方向的選擇．如圖是2021年和2022年我國某省高中生志愿填報方向的人數(shù)占比餅狀圖，已知2022年該省高中生志愿填報總人數(shù)約為100萬人，比2021年總人數(shù)增加了10萬人，則2022年該省高中生志愿填報人數(shù)與2021年志愿填報人數(shù)相比，下列說法正確的是()A.人工智能專業(yè)占比變化最大B.電氣自動化專業(yè)占比下降第二大C.人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和變大了D.電氣自動化專業(yè)填報人數(shù)變少了10.關于平面向量，下列說法正確的是()A若，則B.在平行四邊形中，對角線與一組鄰邊滿足等式：C.若，且與的夾角為銳角，則D.若四邊形滿足，且，則四邊形為菱形11.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則下列結論正確的是()A.復數(shù)對應的點在定直線上 B.C.的最小值為 D.的最小值為412.如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下面結論正確的是()A.存某個位置使得平面B.在翻折過程中，恒有C.若二面角的平面角為，則D.若在平面上的射影落在內(nèi)部，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．14.一組數(shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15，20第25百分位數(shù)是______．15.函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖像，則______．16.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術制造一個零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知點為中邊上一點，．(1)設，求的值．(2)設，求的值．18.拔尖創(chuàng)新人才是21世紀社會經(jīng)濟發(fā)展的巨大動力，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才也成為世界各國教育的主要任務．某市為了解市民對拔尖人才培養(yǎng)理念的關注程度，舉辦了“拔尖人才素養(yǎng)必備”知識普及競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中值，并估計該市這次競賽成績的眾數(shù)；(2)已知落在的平均成績，方差，落在的平均成績，方差，求這兩組成績的總平均數(shù)和總方差．19.如圖，在正方體中，棱長為、分別為棱，的中點，過點作一截面，將正方體分為上下兩部分．(1)求點到截面的距離；(2)求正方體在截面下部分的體積．20.對任意平面向量，將繞其起點沿逆時針方向旋轉角后得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點，已知平面內(nèi)兩點．(1)若將點繞點沿逆時針方向旋轉后得到點，求點的坐標；(2)已知向量，向量是向量在向量方向上的投影向量，若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(參考公式：)(1)求角；(2)若為邊上一點，，求邊的長．22.已知平行六面體，底面為菱形，，側棱．(1)證明：直線平面；(2)設平面平面，且二面角的平面角為，設點為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

湖北省部分市州2023年7月高一年級聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試時間120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是()A.任意梯形 B.直角梯形C.任意四邊形 D.平行四邊形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給的圖形中，可得到原圖形為一個直角梯形．【詳解】因為直觀圖中，，所以原圖形中，因為直觀圖中，所以原圖形中，綜上，原圖形是直角梯形，故選：B．2.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結合平均數(shù)的定義運算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數(shù)據(jù)后，整體波動性減小，故.故選：D.3.已知為空間中不重合的兩條直線，為空間中不重合的兩個平面，則下列命題錯誤的是()A.∥B.∥∥∥C.∥∥D∥∥∥∥∥【答案】B【解析】【分析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的判定與性質(zhì)逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，如圖，過的平面交平面于直線，因為∥，所以∥，因為，所以，所以，所以A正確，對于B，若∥∥，則∥或，所以B錯誤，對于C，因為∥，所以，設過直線的平面交平面于直線，因為∥，所以∥，因為，所以，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以確定一個平面，因為∥，∥，，，所以∥，因為∥，∥，，，所以∥，所以∥，所以D正確，故選：B4.某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內(nèi)建筑物的高度.步驟如下：①將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?，測量出人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復①中的操作；③求建筑物高度.如圖所示，前后兩次人與鏡子的距離分別，兩次觀測時鏡子間的距離為，人的“眼高”為，則建筑物的高度為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相似三角形即可得到答案.【詳解】設建筑物的高度為，由于得由于得故選：A.5.的內(nèi)角的對邊分別為，下列說法錯誤的是()A.若，則一定為鈍角三角形B.若，則解此三角形必有一解C.若，則一定為等腰三角形D.若是銳角三角形，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將式子化簡結合余弦定理即可判斷A，由正弦定理即可判斷B，由余弦定理化簡即可判斷C，由正弦函數(shù)的單調(diào)性結合誘導公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，即，化簡可得，由正弦定理可得，所以，即，故正確；對于B，若，由正弦定理可得，因為，則，即三角形只有一解，故正確；對于C，若，由余弦定理可得，整理可得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；對于D，若是銳角三角形，則,所以，即，所以，即，同理可得，所以，故正確；故選：C6.已知函數(shù)滿足，則函數(shù)是()A.奇函數(shù)，關于點成中心對稱 B.偶函數(shù)，關于點成中心對稱C.奇函數(shù)，關于直線成軸對稱 D.偶函數(shù)，關于直線成軸對稱【答案】D【解析】【分析】，求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因為，即所以，即，則，所以，令對于AC，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù).AC錯誤；對于BD，，所以函數(shù)關于直線成軸對稱，B錯誤D正確.故選：D7.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖，在鱉臑中，底面，作于于，下面結論正確的是()①平面②平面③三棱錐鱉臑④三棱錐是鱉臑A①③ B.①②④ C.②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定①正確；證得平面，可判定②不正確；根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結合鱉臑的定義，可判定③、④正確.【詳解】對于①中，由平面，且平面，所以，又由，可得，因為且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，平面，所以，又因為，且，平面，所以平面，所以與平面不垂直，所以②不正確；對于③中，由平面，且平面，所以，所以都為直角三角形，又由，所以為直角三角形，因為平面，平面，所以，所以為直角三角形，根據(jù)鱉臑的定義，可得三棱錐是一個鱉臑，所以③正確；對于④中，由平面，且平面，所以，所以都為直角三角形，因為，所以為直角三角形，由平面，平面，所以，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以，所以為直角三角形，根據(jù)鱉臑的定義，可得三棱錐是一個鱉臑，所以④正確.故選：D.8.將邊長為的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補成長方體，可計算出該三棱錐的外接球的半徑，結合球體的表面積公式可求得結果.【詳解】在邊長為的正方形中，設、分別為、的中點，、、分別沿、、折起，使、、三點重合于點，滿足題意，如下圖所示：翻折前，，，翻折后，則有，，，將三棱錐補成長方體，其中，，設三棱錐的外接球的半徑為，則，，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.ChatGPT是由OpenAI公司開發(fā)的一個問答類人工智能應用．高科技發(fā)展在吸引年輕人的喜愛和關注的同時，也影響高考志愿填報方向的選擇．如圖是2021年和2022年我國某省高中生志愿填報方向的人數(shù)占比餅狀圖，已知2022年該省高中生志愿填報總人數(shù)約為100萬人，比2021年總人數(shù)增加了10萬人，則2022年該省高中生志愿填報人數(shù)與2021年志愿填報人數(shù)相比，下列說法正確的是()A.人工智能專業(yè)占比變化最大B.電氣自動化專業(yè)占比下降第二大C.人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和變大了D.電氣自動化專業(yè)填報人數(shù)變少了【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定的2020年和2021年的填報占比圖，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，2020年人工智能的占比為，2021年人工智能的占比為，占比變化為，在各個志愿填報中變化最大，所以A正確；對于B中，電氣自動化專業(yè)占比變化為，機械工程專業(yè)占比變化為，醫(yī)學專業(yè)占比變化為，其他轉化占比變化為，所以電氣自動化占比下降第二大，所以B正確；對于C中，2020年和2021年人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和分別為和，可得，所以C正確；對于D中，2020年電氣自動化的填報人數(shù)為萬人，2021年電氣自動化的填報人數(shù)為萬人，可得，所以D不正確.故選：ABC.10.關于平面向量，下列說法正確的是()A.若，則B.在平行四邊形中，對角線與一組鄰邊滿足等式：C.若，且與的夾角為銳角，則D.若四邊形滿足，且，則四邊形為菱形【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，當時，即可判斷A，由平面向量的數(shù)量積運算即可判斷B，由平面向量的坐標運算即可判斷C，由平面向量的幾何意義即可判斷D.【詳解】對于A，若，當時，則，當時，則與的關系不確定，故錯誤；對于B，因為四邊形為平行四邊形，且對角線為，則，，所以，故正確；對于C，若，且與夾角為銳角，則，即，故錯誤；對于D，若，則，即四邊形為平行四邊形，又，則，則四邊形為菱形，故正確；故選：BD11.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則下列結論正確的是()A.復數(shù)對應的點在定直線上 B.C.的最小值為 D.的最小值為4【答案】ABC【解析】【分析】利用復數(shù)的幾何意義，在復平面內(nèi)畫出點，的軌跡方程，由此即可選出答案.【詳解】因為，如圖所示：所以復數(shù)在復平面內(nèi)點表示到點與點距離相等的點，復數(shù)在復平面內(nèi)點表示到點距離等于的點，即在直線上，在圓上，故A正確；又與在復平面內(nèi)對應的點與關于軸對稱，所以，所以，故B正確；又表示復平面內(nèi)圓上的點到直線上點的距離，所以的最小值為：，故C正確；表示復平面內(nèi)圓上的點到直線上點的距離，所以的最小值為：，故D錯誤.故選：ABC12.如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下面結論正確的是()A.存在某個位置使得平面B.在翻折過程中，恒有C.若二面角的平面角為，則D.若在平面上的射影落在內(nèi)部，則【答案】BCD【解析】【分析】利用反證法可判斷A選項；證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項；利用二面角的定義結合余弦定理可判斷C選項；利用錐體的體積公式可判斷D選項.【詳解】翻折前，在矩形中，因為，則，所以，，則，即，所以，，故，，則，，因為，則，對于A選項，假設平面，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面，又因為平面，，、平面，所以，平面平面，又因為平面平面，平面平面，則，因為，則，事實上，，在中，，，由余弦定理可得，則，即不成立，A錯；對于B選項，翻折前，，翻折后，則有，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，B對；對于C選項，因為，，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，在中，由余弦定理知，由余弦定理可得，C對；對于D選項，因為平面，平面，所以，平面平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為在平面上的射影落在內(nèi)部，則點在線段上，不包括端點，則，因為平面，平面，則，則，又因為，所以，，D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：14.一組數(shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15，20的第25百分位數(shù)是______．【答案】20【解析】【分析】利用百分位數(shù)的計算步驟可得.【詳解】先將數(shù)據(jù)從小到大排列為：15，16，20，23，28，37，45，58，76.共9個數(shù)據(jù).，因不是整數(shù)，大于的毗鄰整數(shù)為3，故第3個數(shù)據(jù)20為第25百分位數(shù).故答案為：2015.函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖像，則______．【答案】【解析】【分析】由圖可知，，，從而求得，根據(jù)是函數(shù)在軸右側的第二個零點，代入運算可得，進而知的值，再由函數(shù)圖象的伸縮與平移變換法則求解．【詳解】由圖可知，，因為，所以，即，又，所以，所以，由圖知，是函數(shù)在軸右側的第二個零點，所以，即，所以，將其圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到．故答案為：．16.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術制造一個零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為______．【答案】【解析】【分析】該零件在高為的水平截面的面積為，總與一個半徑為3的半球在高為處的水平截面面積相等，由祖暅原理即可求解．【詳解】該零件在高為的水平截面的面積為，總與一個半徑為3的半球在高為處的水平截面面積相等，由祖暅原理，該零件的體積即為半球的體積．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知點為中邊上一點，．(1)設，求的值．(2)設，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)平面向量的線性運算求得，由此求得.(2)根據(jù)向量數(shù)量積運算求得的值.【小問1詳解】因為．所以．所以．所以．所以．【小問2詳解】．18.拔尖創(chuàng)新人才是21世紀社會經(jīng)濟發(fā)展的巨大動力，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才也成為世界各國教育的主要任務．某市為了解市民對拔尖人才培養(yǎng)理念的關注程度，舉辦了“拔尖人才素養(yǎng)必備”知識普及競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該市這次競賽成績的眾數(shù)；(2)已知落在的平均成績，方差，落在的平均成績，方差，求這兩組成績的總平均數(shù)和總方差．【答案】(1)0.03；眾數(shù)為75分(2)71，81【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；(2)由分層抽樣的平均數(shù)和方差公式計算即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，該市這次競賽成績的眾數(shù)為75分.【小問2詳解】落在與的人數(shù)比為．所以，.19.如圖，在正方體中，棱長為、分別為棱，的中點，過點作一截面，將正方體分為上下兩部分．(1)求點到截面的距離；(2)求正方體在截面下部分的體積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等體積法求點到截面的距離；(2)利用棱臺的體積公式求解.【小問1詳解】如圖，連接，∵分別為棱的中點，則，又∵，且，則為平行四邊形，∴，∴，則過點的截面即為截面，設點到截面的距離為，由于截面為等腰梯形，則，高為，可得，又∵，∴，∴；【小問2詳解】由(1)知截面將正方體分成上、下兩部分，其中下部分為三棱臺，且三棱臺的高為,正方體的棱長為2，則，,則三棱臺的體積．20.對任意平面向量，將繞其起點沿逆時針方向旋轉角后得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點，已知平面內(nèi)兩點．(1)若將點繞點沿逆時針方向旋轉后得到點，求點的坐標；(2)已知向量，向量是向量在向量方向上投影向量，若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題中的