初高中數(shù)學(xué)銜接教材

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，

而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方

程、不等式等。

3.二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不

等式常用的解題技巧。

4.初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的

重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究

閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作

要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等

式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。

6.圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、

下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問題必須掌握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視

為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理,

相交弦定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。

目錄

第一章：數(shù)與式的運(yùn)算和因式分解

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1絕對(duì)值1.1.2.乘法公式1.1.3.二次根式1.1.4.分式

1.2分解因式

第二章：方程、函數(shù)、方程組、不等式組

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

2.3方程組不等式

2.3.1二元二次方程組解法2.3.2一元二次不等式解法

第三章：相似形、圓

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”3.2.2兒種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系3.3.2點(diǎn)的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1.絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)

a,a>0,a(a>0)

值仍是零°即I。1=<0,〃=0,或同=<

-a,a<0.-a(a<0)

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的兒何意義：I。-耳表示在數(shù)軸上，數(shù)〃和數(shù)b之間的距離。

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4o

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；/____匕d______

①若x<l,不等式可變?yōu)橐?％T)-。-3)>4,pCABD

即—2x+4>4,解得*<0,—［：一―［--------總

k

又xVl,Ax<0；Y---)

②若1<x<2,不等式可變?yōu)?x-l)-(x-3)>4,即1>4,\x-\\

???不存在滿足條件的X;圖LL1

③若xN3,不等式可變?yōu)?x—l)+(x—3)>4,

即2x-4>4,解得x>4。

又x23,?*.x>41,

綜上所述，原不等式的解為xVO,或x>4。

解法二：

如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)〃到坐標(biāo)為1的點(diǎn)/之間的距離I必|,即

必|二|x—l］；*—3|表示X軸上點(diǎn)尸至挫標(biāo)為2的點(diǎn)8之間的距離|陽，即|闋=|/一3|。

所以，不等式卜-1|+k-3|>4的幾何意義即為|掰+|陽>4。

由=2,可知點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)尸在點(diǎn)〃(坐標(biāo)為4)的右側(cè)。

x<0,或x>4。

練習(xí)

1.填空：(1)若忖=|一4|,則％=；

(2)如果時(shí)+網(wǎng)=5,且a=-1,貝U/?=；

(3)若|l-c|=2,貝Uc=o

2.選擇題：下列敘述正確的是()

A、若同=例，則a=bB、若同〉同，則a>b

C、若a<b,則同<wD、若同=同,則a=±匕

3.化簡：|x—51—12%—131(5<x<6)o

4、解答題：已知,一3|+j2Y—4+(c+5)2=0,求a+b+c的值。

1.1.2.乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+勿(。一份=。2一/；

(2)完全平方公式(4±6)2=二±2"+〃。

【揭示乘法公式的幾何意義】

從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪拼成一個(gè)矩形,

上述操作所能驗(yàn)證的等式是()

A、(a+6)(a—b)=a~—b~

B、(a-b)2-a2-2ab+b2

C?(a+/>)~=a~+2ab+b~

D、a2+ab-a(a+b)

完全平方公式：3+6)2=/+2"+。2;

1.將字母看作非負(fù)數(shù)；

2.平方式構(gòu)造正方形，底數(shù)即為邊長；

3.兩個(gè)字母相乘則構(gòu)造長方形，兩個(gè)字母即為長與寬。

【設(shè)計(jì)與創(chuàng)造】

請(qǐng)?jiān)谙旅嬲叫蝺?nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使之能解釋公式：

(a+Z?)2=(a-A)?+4ab

【利用圖形探索】

2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)

一模一樣的直角三角形與中間的小正方形拼成的?個(gè)大正方形。若直角三角形的較長直角邊為。，較短直

角邊為從斜邊為c,那么你能得到關(guān)于必從c的什么等式？

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+匕)(/_帥+匕2)=/+〃3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)-a3-b3

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c):+/+(?+2(ab+0c+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=/+3a%+3ab2+"；

(5)兩數(shù)差立方公式(。一份3=/一3。28+3"2—/。

對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。

例1計(jì)算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(X2+X+1)O

解法一：原式=，-1)[*2+1)2一*2]=*2一1),+》2+1)=%6一1。

236

解法二：原式=(X+1)(X~X+1)(X—I)*2+X+1)=(X+1)(/-l)=X-lo

例2已知a+/?+c=4,ab+be+ac-4,^.a2+b2+c2

：a~+Z?~+c~=(a+b+c)~—2(ab+be+tzc)=8。

例3、試探索3+。)，(a+b)4,(a+b)s,(a+b)6,.....

練習(xí)：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4〃？+>=16"/+4〃？+()；

(3)(a+2b-c)2^a2+4b2+c2+()□

2.選擇題：(1)若f+Lwr+Z是一個(gè)完全平方式，則左等于()

2

A>m~B>—m2C>—tn~—m2

4316

(2)不論a,b為何實(shí)數(shù)，”2+從一2。一4匕+8的值()

A、總是正數(shù)B、總是負(fù)數(shù)C、可以是零D、可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

3、計(jì)算：

(1)103X97(2)19982-1997x1999(3)(l-2x)(l+2x)(1+4x2)(1+16x4)

4、找規(guī)律與為什么

觀察下列等式：『-()2=1,22-I2=3,32-22=5,42-32=7,....

用含自然數(shù)n的等式表示這種規(guī)律:

并證明這一規(guī)律。

5、觀察下列等式：152=225,252=625,352=1225,……

個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾兩個(gè)數(shù)有什么規(guī)律？

你能證明這一規(guī)律嗎？

6、一個(gè)特殊的式子

2

已知：X+-1=2,求：X“+—1的值。

1"21"

變式：％——=2,求：％十一子的值。

%X

11

再變:％2H—=2,求：xH-的值。

XX

7、公式的拓展

(1)完全平方公式的拓展一

推導(dǎo)(4+A+C)2=____________________________________

練習(xí):(2a_6_3c______________________________

(2)完全平方公式的拓展二

觀察下面的式子(I)

1

11

121

1331

14641

(a+6)2=/+2ah+b2,(a+b)3^a3+3a2b+3ab2+b3,(a+h)4a4+4a5b+6a2b2+4ahy+bA

根據(jù)前面的規(guī)律，(。+份5=____________________________________

(3)平方差公式的拓展

推導(dǎo)(a+b+c)(a-匕一c)=____________________________________

練習(xí)：化簡(2a~b—3c)(2。-b—3c)

1.1.3.二次根式

一般地，形如G(aNO)的代數(shù)式叫做二次根式。根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方

的式子稱為無理式。例如3a+yja2+b+2b,V7壽等是無理式，ffi]V2x2+—x+1,

2

x2+42xy+y2,而等是有理式。

1.分母(子)有理化：把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化。

為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念。兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式

相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如及與

夜，3〃與G，也+娓與密-瓜,20-3及與2百+3行，等等。一般地，a&與G,

a>Jx+hy[ya^fx-by[y,與互為有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；

而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程。

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)

用公式右后=疝("20*20)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通

過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括

號(hào)與合并同類二次根式。

a,cz>0,

2.二次根式A/當(dāng)?shù)囊饬x=|。|=

-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：(1)同；(2)V^￥(d>0);(3)而7(x<0)。

解：(1)Vi^=2而；(2)7^=14振=4振(aN0);

63i

(3)^4-xy=2^x^y[y=-2xyfy(x<0')o

例2計(jì)算：艮(3-底。

G"(3+6)_36+3=3(6+1)=K+l

解法一：V3(3—V3)=

3-V3(3-V3)(3+V3)9-362

百=6=]=百+]也+1

解法二：6十(3—6)=

3-6V3(V3-1)V3-1(V3-1)(73+1)2

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

(1)vi2->/n^vn-Vio；(2)-7=3—^2V2-V6o

V6+4

(阮-而)(癥+而)]

解:(i)

g群叵F7i2+vnVi2+Vii

vn一廂(而ynj)(vn+廂)i

VTI-V10

1-VTT+Tio-VTT+Vio

xVi2+vn>vn+vio.VT2-A/TT<VTT-VH)0

(20-廂(2亞+廂_2

(2)V2V2-V6=

2亞-2V2+V6

又4>2啦，，m+4>m+2班,:,*〈2邑娓。

例4化簡：(6+四產(chǎn).(6-0產(chǎn)。

解：(6+V2)2004.(V3-V2)2005=(V3+V2)2004.(V3-V2)2004.(V3-V2)

=[(G+V2)-(A/3-V2)]2004-(V3-V2)=l2om-(V3-V2)=V3-V2o

例5化簡：(1)79-4>/5；(2)KH—5—2(0<X<1)o

22

解：(1)原式=>/5+4逐+4=J(⑹2+2x2x6+22=7(~^5)=|2-V5|=V5-2O

(2)原式=x—,°；0<x<1,—>1>X,所以，原式=—Xo

XX

例6已知x=—噌,y=?+噌,求3/一5孫+3>2的值。

V3+V2V3-V2

解：?；x+y=9-？++噌=?—6)S+叵Y=0

J3+J2V3-V2

xy=￡一g+噂=],3/-5移+3)7=3(x4-y)2-1=3x102-11=289。

J3+J2J3-J2

"1)益=

練習(xí)；(2)4724-6754+3796-2V150

(3)若J(5—x)(x—3)2=(x—3)VT^,則x的取值范圍是

⑷若x等Jx+1-Jx-1+Jx+1+dx-1

則

Jx+1+Jx-1J%+1-yjX-1

2.選擇題：等式「^=工^成立的條件是（

)

Vx-27x72

(A)"2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若6=正三通三，求”+b的值。

a+1

4.比較大?。?-小亞一:（填“>或"V”)o

化簡+。

5、

孫一）廠xylx-yyly

6、解答：設(shè)X=求代數(shù)式—+盯+1的值

V3—2J3+2x+y

1.1.4.分式

6A

1.分式的意義：形嗚的式子，若中含有字母,且8/0,則稱芻為分式。

B

A

當(dāng)，后o時(shí)，分式a具有下列基本性質(zhì):AAxMA

；

B~B~BxM書—B+M°

a

2.繁分式：像工智士“這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d2m

〃+p

.5x+4AB

例1若----二—+，求常數(shù)48的值。

x(x+2)xx+2

..A,BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4二廣解得A=2

解:?--r

Xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)8=3

1_1111

例2(1)試證:（其中〃是正整數(shù)）；（2）計(jì)算:+?■?+—

〃(/i+l)n〃+lb72M9x10

上1111

(3)證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)有---+----+???+一<一o

2x33x4n(n+1)2

1.111

(1)證明：?/__1_=5+1）一〃（其中〃是正整數(shù)）成立。

n〃+l〃(〃+l)〃(〃+l)〃(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知----1------1---1------(1--)+(---)+?-?+(---)=1--=—

1x22x39x102239101010

11_.11..11、_LJ_)J_L,

(3)證明：-：—+—+■■■+^71i=(2-i)+(i-4)+???+

2x33x4nn+12n+1

又“22,且A是正整數(shù)，.?.—7一定為正數(shù)，.?.」一+」-+…+—^V：。

〃+12x33x4〃（〃+1）2

例3.設(shè)夕=￡,且P>1,2c2-5ac+2a2=0,求P的值。

a

解：在2c2—5ac+2〃=0兩邊同除以2a2,得2夕？一52+2=0,

(2p—1)(p—2)=0,/.p=1<1(舍去)，或夕=2。p=2O

練習(xí)1.填空題：對(duì)任意的正整數(shù)〃，一?一=—(--——)；

n(ji+2)nn+2

選擇題：若主2=2,則土=()(A)1(B)-4

2.(D)

x+y3y45t

3.正數(shù)滿足V-y2=2D，求匕的值。

x+y

4xab

4、若-z---=-------------則/+/的值是

x~—4x+2x—2

計(jì)算上+111

5、-----1----+-…+

2x33x499x100

習(xí)題L1A組

1.解不等式：⑴k一1|>3；

(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-l|+|x+1|>6o

2.已知x+y=l,求+y3+3村的值。

3.填空：(1)(2+G*(2—⑨9=

(2)若皿-4。+皿+4=2,則“的取值范圍是

1]]]]

(3)

1+V2V2+V3V3+V4V4+V5V5+V6

B組1.填空：(1)a=Lb=-hill3a_二ab_

23'3a2+5ab-2b2

(2)若,+xy_2y2=0,則—=__________

x2+r

2.已知：x=—,y=->求,-f——l的值。

2-3y/x-yfy?+6

C組1.選擇題：(1)若。-a-b-2Jab=J~~b—J—a，則)

(A)a<b(B)a>h(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)計(jì)算ag等于()

(A)J—a(B)\[u(C)7-a(D)—y[ci

2.解方程2。2+二)一3(x+」)—1=0。

廠X

1111

3.計(jì)算:----+-------F----+■??+

1x32x43x59x11

1111

4.試證：對(duì)任意的正整數(shù)----------1F,??H<4

1x2x32x3x4-------〃("+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)

了解求根法及待定系數(shù)法。

1、提取公因式法

例2分解因式：(1)a2(b-5)+a(5-b)(2)x3+9+3x2+3x

解：(1)a2(h-5)+a(5-h)=a2(b-5)-a(b-5)=a(b-5)(a-i)

323222

(2)x+9+3x+3x=(x+3x)+(3x+9)=x(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x+3)0

或1+9+3/+3》=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]=(X+3)(/+3)

課堂練習(xí):

一、填空題：1、多項(xiàng)式6x?y-2x)P+4xyz中各項(xiàng)的公因式是。

2、m(x—y)+〃(y-x)=(x—y)?。

3、m[x-j)2+n(y-x)2=(x-y)2?。

4、m[x-y-z)+?(>,+z-x)=(x-y-z)?□

5、m\x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)?0

6、-13afe2x6-39aVx5分解因式得。

7.計(jì)算99?+99=

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯(cuò)誤的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5)()4、xn+xn-'=x"-'(x+l)()

2、公式法

例3分解因式：（1）-a4+16(2)(3x+2y)2_(x_y)2

解：(1)-a4+16=42-(a2)2=(4+o2)(4-a2)=(4+?2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2—(x—y)2=(3x+2y+x-y)(3x+2y—x+y)=(4x+y)(2x+3y)

課堂練習(xí)

一、a2-2ab+h2,a~—b2,的公因式是□

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯(cuò)誤的打上"X”)

1、#一0.01=旨]_(0.1)2=(|x+0.1)旨—0.1)()

2、9a2-8/=(3”_(4-2=(3a+4")(3a-4b)()

3、25a2_?=(5a+48)(5"4?()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a?―(b+c)2=(a+6+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、—9(m-n)2+(m+n)22、3x2--

3

3、4-(X2-4X+2)24、X4-2X2+1

3、分組分解法

2

例4(1)-盯+3y-3x(2)2x+x>>-/-4x+5y-60

解：(1)x2-xy+3y-3x=(x2-xy)+(3y-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)>(x-3)

或一—盯+3y-3%=(，―31)+(_*丫+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)<(x-y)

(2)2x~+xy—y~-4x+5y—6=2尸+(y—4)x—+5y-6

~2廠+(y—4)x—(y—2)(y—3)=(2x—y+2)(x+y—3)o

或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x—y+2)(x+y—3)o

課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式

(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+12b+9

4、十字相乘法

例1分解因式：(1)x2—3x+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)

xy-l+x-yo

解：(1)如圖1.1-1,將二次項(xiàng)/分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3必就是，-3x+2中的一次項(xiàng)，所

以，有——3x+2=(x—1)(x—2)o

<1:X；

X-21-21/ox—by

圖1.1-1圖1.1-2圖1.1-3圖1.1—4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí),可以直接將圖1.1-1中的兩個(gè)x用1

來表不(如圖1.1—2所小)。

x+6)。A"X^"1

(2)由圖1.1—3,得X2+41-12=(x—2)(

y/、1

圖1.1-5

(3)由圖1.1—4,Wx2-(?+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-l+x-y=xy+(x—y)—1=(x—1)(k1)(如圖1.1—5所示)。

課堂練習(xí)

一、填空題：1、把下列各式分解因式:

(1)x1+5x-6=0(2)x1-5x4-6=

(3)x2+5x+6=0(4)廠—5x—6=

(5)%2一(a+l)x+a=_o(6)/一llx+18=_

(7)6x2+7x+2=0(8)4/772—12/71+9=

(9)5+7x-6/=□(10)ilx1+xy-Gy2

、X2-4x+____________=(x+3*x+_________)

3、若X2+ax+b=(x+2、x-4)則a=,b-

二、選擇題：(每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的)

1、在多項(xiàng)式(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)X2+6X+8(4)X2+7X+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式1+8帥-33/得()

A>(a+ll)(a-3)B、(a+llb)(a-3b)C、(a-Ub)(a-3b)D、(a-llb)(a+3b)

3、(a+by+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+/>-2)B、(a+Z?+5)(a+b-4)

C>(a+6+2)(a+b-10)D>(a+b+4)(a+b-5)

4、若多項(xiàng)式x?-3x+a可分解為(無一5)(x-〃)，則a、匕的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=—10,b=—2D、a=-10,b=2

5、若x?+znx-10=(x+a)(x+b)其中a、A為整數(shù)，則機(jī)的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2p-q)2-1l(q-2P)+32、?3-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-8

5、關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+8x+c(aW0)的因式分解。

若關(guān)于x的方程ax?+云+c=0(aR0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是$、x2,

則二次三項(xiàng)式ax?+6x+c(aW0)就可分解為。。-王乂刀-々)°

2

例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：(1)?+2x-l；(2)x+4xy-4/o

解：(1)令/+2x—l=0,則解得玉=一1+0，x2=-l-V2,

x~+2x-l=1+V2)J—(—1—V2)J=(x+1—y[^)(x+1+V2)o

(2)令J+4肛一4y2=0,貝lj解得A,=(—2+20)y,石=(一2—2五)y,

，X2+4Ay-4/=[x+2(l-V2)j][x+2(l+V2)j]。

練習(xí)1.選擇題：多項(xiàng)式2/-xy-15)，2的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)4+6x+8=(2)8a3一少=

(3)Y~2X—1(4)4(x-y+l)+y(y-2x)。

習(xí)題1.21.分解因式：

(1)a3+1=

(2)4X4-13X2+9；(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x2-5x+3；(2)x2-2y[2x-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12□

3.A4BC三邊a,h,c^J^a2+b2+c2^ab+bc+ca,試判定AABC的形狀。

22

4.分解因式：xx—(a—a)o

1.2分解因式

1.B2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a—。)(4〃+246+/)(3)(x-1-V2)(x-1+V2)

(4)(2-y)(2x-y+2)。

習(xí)題1.21.(1)(a+l)(tz2-a+l)(2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)

(3)9+c)(b+c+2a)(4)(3x-y+4)?(x+2y-1)

2.(1)x_5+占卜_5一即；⑵(%—正—灼(x—a+君)；

(3)3-2)][x+2+3"?；(4)(x-3)(x+l)(x-1-V5)(x-1+V5)o

3.等邊三角形4.(x-a+l)(x+a)

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

{情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)X2+2X-3=0；(2)X2+2X+1=0；(3)x2+2x+3=0o}

用配方法可把一元二次方程0?+8%+，=0(aWO)變?yōu)?x+2/=生二當(dāng)上①

2a4a-

?.4<32>0O于是

(1)當(dāng)IQO時(shí)，，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根生圾心絲；(2)當(dāng)斤一4@「=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等

2a

h

的實(shí)數(shù)根/=/=-2；(3)當(dāng)^-4ac<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左

A

邊(X+2)2一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根。

2a

由此可知，一元二次方程a/+8x+c=0(aWO)的根的情況可以由斤一4ac來判定，

我們把毋一4ac叫做一元二次方程爾+1+，=0?/0)的根的判別式，通常用符號(hào)

來表示。

綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax?+6x+c=O(aWO),有

(1)當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相辦2+bx+c=0等的實(shí)數(shù)根/2=TH’、一〃。；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，M=、2=—2；

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方

程的實(shí)數(shù)根。

(1)x2—3x+3=0；(2)x~—ax-1=0；

(3)x2—ax+(a-1)=0；(4)x2—2x+<a=0o

解：(1)?.?△=32—4XlX3=-3<0,.?.方程沒有實(shí)數(shù)根。

(2)該方程的根的判別式△=a?-4X1X(-l)=a2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等

的實(shí)數(shù)根為=""三，&呼L

(3)由于該方程的根的判別式為△=3-4XlX(a—l)=才-4a+4=(a-2)2,

所以，①當(dāng)a=2時(shí)，△=(),所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為=題=1；

②當(dāng)aW2時(shí)，△>(),所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根用=1,x2=a-10

(4)由于該方程的根的判別式為△=22-4XlXa=4-4a=4(l—a),所以

①當(dāng)A>0,即4(1—a)>0,即aVl時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根西=1+"%，

x2=l-vl-a;

②當(dāng)△=(),即a=l時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根用=用=1；

③當(dāng)AVO,即a>l時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

說明：

在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題

過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論。

分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)

用這一方法來解決問題。

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

-b±7b2-4ac

若一元二次方程ox2+Ax+c=0（aWO）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,2

2a

-b+“2-4〃c-b7b2-4〃c-2bb

則有x+x-------------F------------=---=---

x22a2a2aa

_-b+yjb2-4ac-h-yih2-4ac_b2-(h2—4ac)_4ac_c

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

b(、

如果ax2+6x+c=0(aWO)的兩根分別是苞，/，那么X]+x,=-一，-x=-o這

a2~a

一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理。

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程/+0x+q=O,若花，々是其兩根，由韋

=

達(dá)定理可知，Xl+x2=-p,Xj-X2=q,即P=一（再+%2），QX{-X2,

所以，方程X?+px+q=0可化為/—（為+了2）x+X]=0,由于X”是一元二次方

程/+0汗+?=0的兩根，所以，茍，X?也是一元二次方程/一（X]+%2）x+X]=0。因此有

以兩個(gè)數(shù)為，X2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是X2—（M+X2）X+X「X2=0。

所以，方程的另一個(gè)根為一3,4的值為一7。

5

例2已知方程5%2+H一6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及A的值。

分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出A的值，再由方程解出

另一個(gè)根。但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的

一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩

根之和求出力的值。

解法一：是方程的一個(gè)根，，5X22+4X2—6=0,.,.4=一7。

a

所以，方程就為5f—7x—6=0,解得范=2,x2=--o

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為/，則2/=