空間向量求角度與距離10種題型歸類 （解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測(cè)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

專題03空間向量求角度與距離10種題型歸類

內(nèi)容簡介

>一、核心考點(diǎn)題型歸納令【題型七】空間向量求點(diǎn)到面的距離

令【題型一】異面直線所成的角令【題型八】翻折型：求異面直線所成的角

令【題型二】直線與平面所成的角令【題型九】翻折型：求直線與平面所成的角

令【題型三】二面角的平面較令【題型十】翻折型：二面角

令【題型四】異面直線探索性點(diǎn)二、期中期末好題培優(yōu)練

令【題型五】線面角探索性點(diǎn)

令【題型六】二面角探索性點(diǎn)

核心考點(diǎn)題型歸納N

知識(shí)點(diǎn)與技巧:

一、向量角度:

xx++zz

i2yiy2i2

a二(xryrz1),Z?=(x2,)；2,z2

Y+yJ+z：222

%+y2+z2

二、角度公式:

（1）、異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角3e（0.g］）

2

cos。=|cos.樸爪+y葉+?"

、/Jxj+yj+zjjxj+yj+zj

（2）、直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，3e［0.］）皿渥平面法向量

2

sing=|cos（a@|=|X|X2+x『|

'/Jx:+yj+z:&+yJ+z」

（3）、二面角（法向量的方向角，SelOO］）混平面法向量

Icos昨|cos（*|=,除+%/2|

'/6—+蠟在2+才+小

判斷正負(fù)方法：

（1）觀察法；

（2）同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等；

三、向量計(jì)算點(diǎn)到距離公式（棱錐等的高）

d=|PA|sin夕=|PA||cos（PAn）|=W'+yiyz+ZiZ2|

'/|n|

【題型一】異面直線所成的角

1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC-\BXC的各條棱長都相等，P為人2上的點(diǎn).A2=皿

且PCA3求：

（1）2的值；

（2）異面直線PC與AG所成角的余弦值.

【答案】（1）9⑵孚.

z8

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出CP的坐標(biāo)，根據(jù)PCLAB，可得CP48=0,

即可求得答案；

（2）根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的棱長為2,設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接50,

因?yàn)锳SC為正三角形，故08,AC,

以AC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，為軸，以過點(diǎn)。和AA平行的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

于是AB=(,C4j=(0,—2,2),=-2),因?yàn)?故4尸=幾(2),則

P(^2,A-l,-22+2),

故CP=(a,/1-2,-22+2),因?yàn)槭珻LAB,所以CP48=(扇,”2,-22+2)?(百,1,0)=0,

即32+2-2=0,.?.2=；.

11(-J331uuu

(2)由(1)知尸—J,所以。尸='AG=(0,2,2),

所以IC尸+(-1)+干=2，IAQ|=7O+22+22=2V2,

所以cos〈CP,貽〉="二？=-=^=-?,由于異面直線所成角的范圍為(0,勺,

也

所以異面直線PC與AG所成角的余弦值是8.

2.（2023春?云南紅河?高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，側(cè)面B4CH底面ABC,AC7BC.0E4C

是邊長為2的正三角形，BC=4,E,尸分別是尸C,尸8的中點(diǎn)，記平面AEP與平面48c的交線為/.

p

A

Q

⑴證明：直線向平面融c；

(2)設(shè)點(diǎn)。在直線/上，直線尸。與平面AEF所成的角為a,異面直線PQ與EF所成的角為仇求當(dāng)A。為何

值時(shí)，a+0=^-

2

【答案】⑴證明見解析⑵4Q=1

【分析】(1)利用中位線，直線平面的平行問題得出//ABC，根據(jù)直線平面的垂直問題得出3C1平面R4C,

即可得出直線//平面PAC；

7T

(2)建立坐標(biāo)系得出平面AEF的法向量，分別求出cos<CP/Q>，cos<PQ,所>,結(jié)合題設(shè)條件a=5,

即可求解.

【詳解】(1)證明：E,尸分別為PC,PB中點(diǎn)，：.BC//EF,又跖u平面EM,BC<Z平面EE4,

〃平面EE4,又BCu平面ABC,平面EE4c平面ABC=/,；.//ABC,

PA=PC=AC—2,AE_LPC,

QAC1BC,平面PAC,平面ABC,平面PACc平面ASC=AC,3Cu平面ABC,

BCmPAC,///8C...直線/I平面PAC.

(2)如圖，以C為原點(diǎn)，以CACB所在直線為羽>軸，過C作CzJ_平面ACB,建立如圖所示的空間直角

則C(OQO),A(2,0,0),E(1,0,y)，尸(g,2,#),尸(1,0,0)，Q(2,y,

0),

CP=(1,0，有)為平面A肝的法向量，E尸=(0,2,0),PQ=(l,y,-^3),

—2—12yy

,214+/7/+4匕2J4+V也+/

設(shè)直線PQ分別與平面3、直線麻所成的角分別為a,e,a+e=g,

2

即l=|y|,求解y=±l,存在Q(2,l,0)或。(2,_i,0),即當(dāng)AQ=1時(shí)，a+6=^.

3.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，平行六面體48。-44GR的所有棱長都相等，平面平面

ABCD,ADLDC,二面角2-AD-C的大小為120。，E為棱G2的中點(diǎn).

⑵點(diǎn)尸在棱CG上，AE〃平面2。凡求直線AE與。尸所成角的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析(2)]

【分析】(1)根據(jù)面面垂直可得線面垂直進(jìn)而得線線垂直，由二面角定義可得/AOC=120,進(jìn)而根據(jù)中

點(diǎn)得線線垂直即可求，

(2)由線面平行的性質(zhì)可得線線平行，由線線角的幾何法可利用三角形的邊角關(guān)系求解，或者建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.

【詳解】(1)(1)因?yàn)槠矫鍯DRG，平面A8C。，且兩平面交線為DC,AD,DC,ADu平面ABCD,

所以AD,平面CDAG，所以NROC是二面角Q-AD-C的平面角，故

NROC=120.

連接DE,E為棱GA的中點(diǎn)，則。從而OE1CD.

又AD_LCD,DEcAD=D,。石,ADu平面4即，所以CD_L平面AED,EDu平面AEO,因此CD_LAE.

(2)解法1：設(shè)AB=2,則￡>E=JzV)2-=也，所以8=4￡=，3+￡)層="

連AC交3￡)于點(diǎn)0,連接CE交D產(chǎn)于點(diǎn)G,連0G.因?yàn)锳E7/平面AEu平面AEC,平面AEC〕平

面BDF=0G

所以他〃OG,因?yàn)?。為AC中點(diǎn)，

所以G為CE中點(diǎn)，故OG，AE也.且直線0G與。尸所成角等于直線AE與。尸所成角.

22

解法2；設(shè)AB=2,則DE=小D-=百,所以CE=AE=Jm+DE?="

取OC中點(diǎn)為G,連接EG交O尸于點(diǎn)“，則EG=OR=2.

連接AG交3D于點(diǎn)/,連印，因?yàn)锳E//平面BDF,Mu平面AGE,平面AGE|平面田，所以

AE//IH.

印與DH所成角等于直線AE與。尸所成角.

逑，所以GH=LEG,故HI=LAE衛(wèi)

3333

在△。/7G中，GH=-EG=-,GD=1,ZEGD=60°,

33

由余弦定理DH=J1+--1X-=也.在△。印中,

V933

3

因此直線AE與DF所成角的余弦值為y.

解法3:由（1）知DE工平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZM為x軸正方向，?為2個(gè)單位長，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

由(1)知DE=6,得A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,W),C；(0,1,73).

則CG=(0,-1,后)，DC=(0,2,0),AE=(-2,0,石)，DB=(2,2,0).

由b=tCG(0WrWl),得DF=DC+CF=(0,2-1,?).

因?yàn)锳E〃平面8。尸，所以存在唯一的力,〃eR,

使得AE=ADB+juDF=A(2,2,0)+〃(0,2-t,8)=(2%2X+2〃-島，，

9

故2九二—2,2九+2ju—t]u=U,6jut=逝，解得?=從而Dp=

AEDF_3

所以直線A￡與。方所成角的余弦值為IcosAE,DF）\=

|AE||DF|7

【題型二】直線與平面所成的角

知識(shí)點(diǎn)與技巧：

計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可

確定線面角；

（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度人從而不必作出線面角，則線面

h

角。滿足sin?=：（/為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)"為直線/的方向向量，〃為平面的法向量，則線面角。的

正弦值為sin6=cos/a,n）.

1.（2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱ABC-A由G的底面ABC是正三角形，側(cè)面ACC0是菱形,

平面ACGA，平面ABC,瓦尸分別是棱4G，BC的中點(diǎn).

（1）證明：砂〃平面AB耳4；

2

（2）若AC=AC,=2,CQ=~QC,求直線B￡與平面EFG所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析⑵回

53

【分析】（1）欲證明一條直線平行于一個(gè)平面，只需證明該直線平行于平面內(nèi)的一條直線即可;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算線面角.

【詳解】（1）

取A片的中點(diǎn)連接ME,MB,因?yàn)镋,歹分別是棱AG，BC的中點(diǎn)，

則ME//MC//3尸，ME=gBg=；BC=BF,團(tuán)四邊形的8為平行四邊形，

所以EF//MB,回所U平面ABBH，MBu平面42瓦A，

EF〃平面A四4；

（2）在平面ACGA中過點(diǎn)G作GO^AC于0,連接03,

團(tuán)平面ACGA，平面A5C,平面ACGA1平面ABC=AC,回平面ABC,

由菱形ACGA，AC=AC,=2,得CC|=2,ZACC|=60。，0C=l,CQ=6

因?yàn)辄c(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，0OB1AC,故以。為原點(diǎn)，OB、OC、OG分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系：

則3(?0,0),C(0,I,0)，G(0,0,@，A(0，-2,@,E(0,-I,@,

所以4G=20=卜6,1,0)EP=一后，GP=F，T，-T■，設(shè)平面砂G的法向量為〃=（x,y,2）,

括

一

2XH—y—yfiz—0/—

貝ud2鏟俎42V3

6t-，斛得x=-z,y=-----z,令z=5,得“=(4,20,5),

1y/3n5-5

2一尤——y------z=U

6-3

|-4A/3+2^|

設(shè)直線Bg與平面EFG所成角為凡則sine,cosG，4G）|=V159

V16+12+25.V3+153

綜上，直線4G與平面MG所成角的正弦值為53.

2.（2023?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC//AD,AD=2BC,

M是棱PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn).

⑴證明：PB//平面MAC；

（2）畫出平面%8與平面PC。的交線/,并說明理由；

⑶在（2）的條件下，若平面B4￡>_L平面ABC。，ABLAD,PA±AD,PA=AD=2AB=2,求/與平面

MAC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析⑶正

6

【分析】（1）連接3D交AC于點(diǎn)。，連接OM,證明PB//OM,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）延長AB,DC,交于點(diǎn)N,再根據(jù)平面的性質(zhì)即可得解；

（3）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面ABCD,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）連接3D交AC于點(diǎn)。，連接OW,因?yàn)锽C〃AD,AD=2BC,所以絲=g=1，

又因M是棱PD上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，所以空=瞿=［，所以PB//OM,又OMu平面M4C,PBN平

面MAC,

所以尸3〃平面舷4C；

（2）延長AB,OC,交于點(diǎn)N,所以N,尸時(shí)平面PAB與平面PC。的公共點(diǎn)，所以直線NP就是平面PAB與

平面PCD的交線/；

（3）因?yàn)槠矫嫔衔弧ㄆ矫鍭BC。，PA1AD,平面PADc平面T4BCD=AD,PAu平面EW,

所以PAL平面ABCD,又ABu平面ABCD,所以如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?C7/AD,AD=2BC,所以---=---=—=------,所以BN=1,則

ANAD2BN+1

A（0,0,0）,C（l,l,0）,Aff0,|,|V（0,0,2）,^（2,0,0）,則AC=（1,1,0）,AM=PN=（2,0,-2）,

ri-AC=x+y=0

設(shè)平面MAC的法向量為”=(x,y,z),則有＜A”2+4，可取"=(2,-2,1),

一”丁一

即/與平面MAC所成角的正弦值為

【題型三】二面角的平面角

1/（2023秋?全國?高二期中）如圖，在三棱柱ABC-A瓦G中，底面是邊長為2的等邊三角形，CCi=2,D,E

分別是線段4CCCt的中點(diǎn)，C,在平面ABC內(nèi)的射影為D.

⑴求證：AC_L平面3DE；

⑵若點(diǎn)/為棱耳G的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到平面8OE的距離；

⑶若點(diǎn)尸為線段4G上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角尸-3D-E的余弦值的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析（2）孚⑶⑦

【分析】（1）法一：利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；

法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積為o,可證從而得證;

法三：如法二建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面3DE的一個(gè)法向量，證明其與AC平行，從而得證;

（2）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；

（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.

【詳解】（1）法一：連結(jié)4G，因?yàn)锳BC為等邊三角形，。為AC中點(diǎn)，.〔BDJLAC,

又C]D_L平面48。，_BZ）u平面ABC,

ACcCQ=￡>,AC,CQu平面A41c[C

BD_L平面A41GC,又ACu平面A^QC,:.BD^^C,

由題設(shè)知四邊形A41cle為菱形，ACLAG，

D,E分別為AC,CC］中點(diǎn)，DE//AQ,:.\CLDE,

又BDcDE=D,BD1DE=D,BD,DEu平面BDE,：.\C1平面BDE.

法二：由G。，平面ABC,BD,八（2匚平面48。，，6。，2￡>,C,￡>±AC,

又，ABC為等邊三角形，。為AC中點(diǎn)，則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為MV*軸,

可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

、

0（0,0,0）,3（6,0,0）,。（0,—1,0）,。］（。，。，百），石0,-￡6A(0,2,73),

9

2~T7

.?.05=("0,0),OE=,AC=(0,-3,->/3)DB?AC=0,D%C=0,BD1A.C,DE±A.C

22

\7

又BDcDE=D,BDI￡>片=￡>,8￡>,￡>石<=平面8。旦；.4（71平面3￡）￡.

法三：（同法二建系）設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為加=（x,y,z）

=0

DB-m=0

，即1^3不妨取z=l,貝！Jy二石’則機(jī)=(0,抬

DE-m=0——yd-----z=0

[2，2

所以平面3DE的一個(gè)法向量為加=(0,忘1)

4C=(0,-3,-^),.-.4C=-V3/7t,:.\C//m,AC，平面BOE

(匚、\

,1,V3,平面8DE的一個(gè)法向量為根=（0,括,1）（或

（2）由（1）坐標(biāo)法得尸m=CAi=僅,3,)

7

DF=

,2"1)

m-DF|

點(diǎn)到F到平面BDE的距離=7百3g

\m\-2—-丁

（3）￡瓦=（0,L0）,C<=僅,3,若）設(shè)尸a，y,z）,CF=CCiE（0v4vl）,則卜,y,z—君）=（&,%（））,

二.x=\/3/1,y=A,z=\/3,/I,DF=X,；

由（1）知：AC_L平面BDE,.?.平面或見的一個(gè)法向量m=CAi=（0,3,百）

（或者由（1）中待定系數(shù)法求出法向量）；設(shè)平面的法向量〃=（。力,。），

DB?n=?a=0廠/\

則,令b=6，貝！J〃=O,c=-=出,一X)；

DF-n=V3^+^+V3c=0'7

m-n|沖-耳1

|叫"2A/3x，3+%243+%2

J

令)貝，

3—2=r?2,3,|4=3-4°s21261

Nl+1

"+1W

\cosG,即銳二面角歹-3D-E的余弦值的取值范圍為

92J

2.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐P-ABCD內(nèi)，M_L平面ABC。，四邊形ABC。為正方形,

AB=2,BP=2下.過P的直線/交平面ABC。于正方形A5CD內(nèi)的點(diǎn)〃，且滿足平面B4M_L平面PBM.

求點(diǎn)M的軌跡長度;

4

(2)當(dāng)二面角M-R4-3的余弦值為不時(shí)，求二面角尸-MA-O的余弦值.

【答案】⑴5晶兀(2)磊3

【分析】(1)作出輔助線，由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面,再由線面垂直推出3〃_L4",利

用線面垂直的判定得到AAf2平面PBM,進(jìn)而得到建立坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)一

步求解扇形的弧長；

(2)由(1)知，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用向量法求得二面角M-%-B的余弦值，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再根據(jù)

向量法求二面角的平面角余弦值.

【詳解】(1)作BHJLPM交PM于H,

因?yàn)槠矫?W1平面PBM,且平面F4Mc平面尸8揚(yáng)=尸加，所以如_1_平面上4M,

又因?yàn)锳"u平面所以因?yàn)镻BJL平面ABCD,且AMu平面ABCD,所以尸3_LAAf,

因?yàn)锽HLAM,PB±AM,PB、皮fu平面尸BM,PBBH=B,所以AM1平面

又因?yàn)槠矫嫠苑謩e以直線為x軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,0,0),P(0,0,2g),C(0,2,0),4(2,0,0),￡>(2,2,0),

設(shè)M(x,y,0),因?yàn)樗訟A/.BM=0,AM=(x-2,y,0),BM=(x,y,0),

所以(x-2).x+w=。，即(x-lf+y=1,設(shè)A3中點(diǎn)為N,則N(l,0),如圖,

_,/..才兀3兀IT3兀

又/ABMe-,y,所以NANMe-

4

因此，M的軌跡為圓弧QM，其長度為（乎-$義1=!|.

（2）由（1）知，可設(shè)知（1+85夕51口。,0）,0＜。＜兀，PA=（2,0,-2若）,AM=（cos8-Lsin。,。）,。v兀，

2a-2^3<?=0

設(shè)平面P4M的一個(gè)法向量為〃=（a,"c）,貝I卜

n?AM=0,(cos0-\)a+bsin夕=0

令c=l,則〃==七警亞’可得平面W的一個(gè)法向量為〃1"七普亞」

易知平面的一個(gè)法向量為機(jī)=（0,1,0）,所以

班一百cos6

。石-6cose

cos(m,nsin

-7-A,,4./\yj3—cos34

當(dāng)二面角/一上4一3的余弦值為二時(shí)，cos?%〃）=I,=1,

5V-COS26?-6COS6＞+75

解得cosd=-1^或cos8=l（M與A重合，舍去）所以,0）,〃=1],

.n-k-13

COS77.K,—____-_________—____

易知平面P4D的一個(gè)法向量為左=（0,0,1）,所以，一|〃卜，|一,（8）2-10-

3

由圖知，二面角夕-他4-。的平面角為鈍角，故二面角P-M4-。的余弦值為-r.

【題型四】異面直線探索性點(diǎn)

1.（2022秋?北京昌平?高二校考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEb所在的平面互相垂直,

AB=y/2,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).

⑴求證AM〃平面3OE；

⑵試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與C。所成的角是60。.

【答案】⑴證明見解析⑵點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線證明線線共線，從而利用線面平行的判定證明即可;

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式建立方程，即可求解點(diǎn)的位置.

【詳解】（1）因?yàn)檎叫蜛BC。和矩形ACM所在的平面互相垂直，

且平面ABCDc平面ACEF=AC,且ECJLAC,ECu平面AC砂，

所以EC,平面ABCZ）,又CDLCB,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

z.

CWBy

當(dāng)￥，o]E(O,O,1),

設(shè)ACc3￡>=N,連結(jié)AE,則N

又A(0,0,O),Af-^-,-^-,1,.'.AM=(-^-,-^-,1).

I22J22

:.NE=AM，且AE與AM不共線，:.NE//AM,

又A?u平面B￡)E，4MC平面BDE,：.AM，平面BDE.

(2)設(shè)尸C&O),0<Z<A/2,又尸(應(yīng)，忘,1),C(0,0,0),0(72,0,0),

則尸尸CD=(a,0,0).

J（吏_+電_行+1.應(yīng)2

解之得f=走或f=（舍去），故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)滿足題意.

22

2.（2021秋?山東煙臺(tái)?高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A閩G中，側(cè)棱可，

平面ABC,AC1BC,AC=1,BC=2,e=1,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn).

⑴求直線AG到平面B。的距離.

（2）在線段上找一點(diǎn)尸，使得AC】與CP所成角為60。，求的值.

【答案】⑴|9;⑵"而1F

【分析】（1）由已知條件可證得AG平面BCD，從而直線AG到平面的距離即為點(diǎn)G到平面8（。的

距離，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BC。的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；

（2）設(shè)”=VI）,則CP=（1-422,0）,利用空間向量夾角余弦公式列出方程，即可解出答案.

【詳解】（1）如圖，連接BG交于點(diǎn)E,連接。E,

在三棱柱ABC-A瓦G中，四邊形BCG瓦為平行四邊形，

SE是BG的中點(diǎn)，又。是42的中點(diǎn)，SDE//AC1,

EIDEu平面耳C。，460平面片0）,0AC1平面片CD,

團(tuán)直線AC,到平面B.CD的距離即為點(diǎn)G到平面B￡D的距離，

因?yàn)樵谌庵鵄BC-4瓦￡中，側(cè)棱A4,_L平面ABC,BCu平面ABC,AC1BC,

所以8=（』,o],C4=（°，2,l），設(shè)平面用CO的法向量為〃=（x,y,z）,

n-CD=0—x+y=0

則土，所以｛2，令y=-l,得％=2,z=2,所以〃=(2,-1,2),又eq=(0,0,1),

n-CBj=0[2y+z=0

所以點(diǎn)G到平面B(D的距離d=叵id=-,即直線AG到平面BQD的距離為目；

\n\33

(2)因?yàn)镃(0,0,0),4(1,0,0),3(0,2,0),￡(0,0,1)所以CA=(1,0,0),AB=(-1,2,0),AQ=(-1,0,1),

TgAP=/lAB(0<2<l),所以CP=G4+A尸=C4+XAB=(l-/l,2；l,0),

所以（，）2-11

因?yàn)锳G與CP所成角為60。|cosA6CP=

V2X7(1-2)2+4222

iAri

整理得3萬+24—1=0,即(3/1—1乂2+1)=0,解得力=；,即”=3

3..（2022春?江蘇南通?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,AB=2CD=2BC=2AD=2,

NZMB=60。，AE=BE,一為正三角形，且平面PAD_L平面ABCD

⑴求二面角P—EC-3的余弦值；

(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M(不含端點(diǎn))，使得異面直線。M和PE所成的角的余弦值為逅？若存在，指

4

出點(diǎn)〃的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴-走(2)存在，點(diǎn)M位置為尸河=。尸3

25

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角尸-EC-3的余弦值；_

(2)設(shè)9=幾收(0<4<1),利用向量法求異面直線的夾角，得到=坐,解方程即得

2V6-V422-22+l4

解.

【詳解】(1)設(shè)。是AD中點(diǎn)，一以。為正三角形，則尸

因?yàn)槠矫鍾4D_L平面ABCZ),平面PADc平面ABCD=AD,

又「Ou平面B4。，所以「01面A2CD

又因?yàn)锳D=AE=1,ZZMS=60°,所以VADE為正三角形，所以O(shè)E_LAT>,

以。為原點(diǎn)，分別以0AoE,OP為尤,MZ軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

。尸=］；，。，#.設(shè)平面尸EC的法向量為4=(x,y,z),

PC-ni=O-X+—y--z=0,../、

由即廣"可取%=（0,1,1）.平面E2C的一個(gè)法向量為〃,=（0,0,1）,

PE-?1=0，3V3.

I——y------2=0,

I22

Iirun?4?1走

正-

設(shè)二面角尸—￡C—5的平面角為。，則|cos昨卜os<々，叼>=所-2

nr

由圖知為。為鈍角，所以二面角尸—EC—3的余弦值為-(2)設(shè)PM=XP3(O<4<1),則

DM=DP+PM—PE=（Q,—,~—

222222

?.DM?PE|92-3|A

所以cos（OMP￡）=-—=」=一,解得2）或。（舍），所以存在點(diǎn)M使得

1'/]DM^nPE2歷J，4%-24+145

4

PM=-PB.

5

【題型五】線面角探索性點(diǎn)

1.（2023秋,重慶沙坪壩,高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱柱ABC-A4G中，平面A4BAL平面ABC,

7T

側(cè)面4耳54為菱形，NABB、,ABt1AC,AB=AC=2,E是AC的中點(diǎn).

jr卜P

⑵點(diǎn)尸在線段上（異于點(diǎn)4，E）,"與平面所成角為:，求寶的值.

4七4

FP2

【答案】⑴證明見解析（2）西=《

【分析】（1）作用。交A3于。點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可得與。，平面ABC,可得BQJ_AC,再由線

面垂直的判定定理得AC,平面4片血，從而得到AC,48,再由線面垂直的判定定理可得答案；

（2）以A為原點(diǎn)，A3、AC、A&所在的直線分別為八八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)稗=4%，可得

AP=㈠,1-2,⑨），求出平面ABE的一個(gè)法向量，由線面角的向量求法可得答案.

JT

【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面4片剛為菱形，ZABBt=~,AS=AC=2,

所以ABB「A4再為邊長為2的等邊三角形，

作用0LA3交AB于。點(diǎn)，則。點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

因?yàn)槠矫鍭耳平面ABC,平面4用BAc平面ABC=AB,瓦。u平面^耳姑，所以耳。,平面ABC,

ACu平面ABC,可得80，AC,

又ABt±AC,BQABt=B1,BQ、AB,u平面A{B{BA,可得AC，平面\BfiA,

因?yàn)锳Bu平面所以AC，AB,因?yàn)閭?cè)面44區(qū)4為菱形，所以

AB,AC=A,ACu平面陰C,所以A]B_L平面ABC；

TT

（2）由（1）知，AC,平面AABA,ZBAC=^,取做A好的中點(diǎn)a，連接A。一

則BQHAO\,所以A。J平面ABC,

以A為原點(diǎn)，A3、AC、AO1所在的直線分別為八y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,4（-1,0,73）,8（2,0,0）,E（0,l,0）,

AB=（3,o,-⑹，甑=卜1,-1,@,

設(shè)EPn/iEM,可得尸卜2,1—4,所以/1尸=卜/1,1—2,A/§k）,

設(shè)平面AfE的一個(gè)法向量為〃=(尤,%z),則

A^B-n=03x-gz=0

即《令z=JL可得”=（1,2,力）,

E\.〃二0-％-）+6z=0

|-2+2-22+3A|

71+4+3^2+（1-2）2+322；

7FPD

解得人=。舍去，或2=(,所以或=不

2.(2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，P￡)J_平面ABC。，ADVCD,ABIICD,

PQHCD,AD=CD=DF=2PQ=2AB=2,WE,F,M分別為AP,CD,BQ的中點(diǎn).

⑴求證：班7/平面CPM；

(2)若N為線段C。上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為g,求線段QN的長.

6

【答案】⑴證明見解析(2)好.

3

【分析】(1)連接EM,則根據(jù)題意可證得四邊形EMCF為平行四邊形，則EF〃CM,然后由線面平行的

判定定理可證得結(jié)論，

(2)由題意可得。ADC,。？兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，ZHDGOP所在的直線分別為x,y,z軸建如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求即可.

【詳解】(1)證明：連接EM,因?yàn)锳B//C。，PQHCD,CD=2PQ=2AB=2,

所以ABIIPQ,AB=PQ,所以四邊形ABQP為平行四邊形，

又點(diǎn)E,F,M分別為AP,CD,2。的中點(diǎn)，

則￡M/M3，EM=AB,CF=；CD,

所以EM/ICF,且EM=CF,

所以四邊形EMCF為平行四邊形，所以EFIICM,

又EF(Z平面CPM,CMu平面CPM,

所以EF"平面CPM-,

(2)因?yàn)镻D_L平面ABC。，DA,CCu平面ABCZ),

所以P0_LD4,PZ)_Lr)C,

因?yàn)锳D_LC￡),所以必DC,￡)尸兩兩垂直，

所以以。為原點(diǎn)，以。GDP所在的直線分別為*,y,z軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

￡>(0,0,0),A(2,0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),。(0,1,2),M(1,1,1)

PQ=(0,1,0),CM=(1,-1,1),PC=(0,2,-2),

設(shè)平面2PM的一個(gè)法向量為Wi=(x,y,z),貝叫

m-PQ=y=0

令x=l,則m=(1,0,1)；

設(shè)。N=AQC(0<A<1),則QN=AQC=(0,2,-22)，

所以N(0,4+1,2-22),D^=(0,2+1,2-22),

IT

由題意直線rw與平面QPM所成的角為;，

6

.n,/?，\,\DN-m\|2-22|11“

則smz=|cos(DN,m)|==廠=;，解得2=彳或2=3(舍),

6'/|DV||m|依+1)2+(2-24)2.023

所以IQV|=；|QC|=/，即線段QN的長為

3..（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，平面48瓦4，平面ABC,AB=BC=2,

ZABC=120°,BBt=75,且E是棱人片上的一點(diǎn).

（2）是否存在點(diǎn)E，使得直線CE與平面BCC同所成角的正弦值為巫?若存在，求出羋的值;若不存在,

56EA

說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)E,￥=（

EA2

【分析】（1）在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)C作直線A3的垂線，垂足為G,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到CGL平面

ABBA，即可得到4出，CG,再由AB_LAC,從而得到4出，平面ABC,則即可得證；

（