專題5.7 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形-等邊三角形（知識(shí)講解）-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（湘教版）

專題5.7簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形-等邊三角形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2.掌握含30°角的直角三角形的一個(gè)主要性質(zhì)．3.熟練運(yùn)用等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等邊三角形

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．要點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.要點(diǎn)三、等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．要點(diǎn)四、含30°的直角三角形

含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、等邊三角形 1、如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，CE=BD，求證：△ADE為等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】由條件可以容易證明△ABD≌△ACE，進(jìn)一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可證明△ADE為等邊三角形．【答案與解析】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE為等邊三角形．【總結(jié)升華】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵找出判定三角形等邊的條件．舉一反三：【變式】等邊△ABC，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．如圖，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．

2、已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度數(shù).【答案與解析】證明：在中，AB＝AC，∠ABC＝60°∴為等邊三角形（有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）∴AC＝BC，∠A＝∠ECB＝60°在和中≌（SAS）∴（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）∴∴∠DPB＝60°.【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個(gè)角都是60°的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問(wèn)題得以解決.舉一反三：【變式】△ABC為正三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠AQN等于多少度？【答案】解：證法一．∵△ABC為正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中，△AMB≌△BNC（SAS），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）．證法二．∵△ABC為正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°3、（1）如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC，求∠AEB的大??；（2）如圖，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小．【思路點(diǎn)撥】（1）由于△OCD和△OAB都是等邊三角形，可得OD＝OC＝OB＝OA，進(jìn)而求出∠BDA與∠CAD的大小及關(guān)系，則可求解∠AEB．（2）旋轉(zhuǎn)后，△BOD與△AOC仍然保持全等，∠ACO＝∠BDO，∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝120°，從而得到∠AEB的值.【答案與解析】證明：（1）∵O是AD的中點(diǎn)，∴AO＝DO又∵等邊△AOB和等邊△COD∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°∴∠AEB＝∠BDO＋∠CAO＝60°（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC∴∠BOD＝∠AOC在△BOD與△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS）∴∠ACO＝∠BDO∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個(gè)角都是60°的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問(wèn)題加以解決.舉一反三：【變式】如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，AD、BE交于點(diǎn)F，求∠AFB的度數(shù).【答案】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，設(shè)AD與BC相交于P點(diǎn)，在△ACP和△BFP中，有一對(duì)對(duì)頂