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湖南省瀏陽二中、五中、六中三校2024年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,,則()A. B. C. D.2.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.3.已知隨機(jī)變量的分布列是則()A. B. C. D.4.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.5.如圖,正方體的棱長為1,動點(diǎn)在線段上,、分別是、的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯誤的是()A., B.存在點(diǎn),使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值6.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.7.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.28.下列命題為真命題的個數(shù)是()(其中,為無理數(shù))①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.39.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”,該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺,塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比,第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺間高度差為100米,則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米10.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-8112.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,其中焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且橢圓與拋物線的兩個交點(diǎn)連線正好過點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列,已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列,后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列,且前三個和尚的身高之和為cm,中間兩個和尚的身高之和為cm,則最高的和尚的身高是____________cm.14.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為____尺,設(shè)該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.15.的展開式中的系數(shù)為__________.16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實(shí)數(shù)的值是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線和圓的普通方程;(2)已知直線上一點(diǎn),若直線與圓交于不同兩點(diǎn),求的取值范圍.18.(12分)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求B;(2)若,AD為BC邊上的中線,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求AD的長.19.(12分)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,點(diǎn)是的中點(diǎn),將沿著折起,使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處,且滿足.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知直線l的極坐標(biāo)方程為,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求直線l被圓截得的弦長.21.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.22.(10分)已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)椋谏蠟樵龊瘮?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)椋环?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)椋环?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.4、B【解析】
先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點(diǎn),且,所以,因?yàn)椋?,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、B【解析】
根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.6、B【解析】
通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡計(jì)算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,虛部的概念,屬于簡單題.8、C【解析】
對于①中,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì),可判定值正確的;對于②中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而得到,即可判定是錯誤的;對于③中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而得到,即可判定是正確的.【詳解】由題意,對于①中,由,可得,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得成立,所以是正確的;對于②中,設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)?,則又由,所以,即,所以②不正確;對于③中,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即,即,所以是正確的.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意,合理構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.9、B【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離,進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米,塔的實(shí)際高度為米,幾何關(guān)系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時,;當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因?yàn)?,令,則,解得令,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),以及通過賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為,第四個(最高)和尚的身高為,則,解得,又,解得,又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,則公比,故.14、52【解析】
設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,
則,
解得,即每天增加的數(shù)量為,
,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識解決問題的能力,屬于中檔題.15、3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時,第二個因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€因式取時,第二個因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題16、1【解析】
把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程,由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應(yīng)點(diǎn)到的距離,因此有,,直接由韋達(dá)定理可得,注意到直線與圓相交,因此判別式>0,這樣可得滿足的不等關(guān)系,由此可求得的取值范圍.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為,普通方程為,將代入圓的極坐標(biāo)方程中,可得圓的普通方程為,(2)解:直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得:(*),且由題意,,.因?yàn)榉匠蹋?)有兩個不同的實(shí)根,所以,即,又,所以.因?yàn)?,所以所?點(diǎn)睛:(1)參數(shù)方程化為普通方程,一般用消參數(shù)法,而消參法有兩種選擇:一是代入法,二是用公式;(2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化一般利用公式;(3)過的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))中參數(shù)具有幾何意義:直線上任一點(diǎn)對應(yīng)參數(shù),則.18、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理及可得,從而得到;(2)在中,利用余弦定可得,,而,故當(dāng)時,的面積取得最大值,此時,,在中,再利用余弦定理即可解決.【詳解】(1)由正弦定理及已知得,結(jié)合,得,因?yàn)?,所以,由,?(2)在中,由余弦定得,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時,的面積取得最大值,此時.在中,由余弦定理得.即.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,由,進(jìn)而,由,得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證(2)(方法一)過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中點(diǎn),上的點(diǎn),使,連接,得,,得二面角的平面角為,再求解即可【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,由已知得,所以,又點(diǎn)是的中點(diǎn),所以.因?yàn)?,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以.又因?yàn)椋?,從而平面,所以,又,不平行,所以平?(2)(方法一)由(1)知,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn),,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得.同理,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得.所以二面角的余弦值為.(方法二)取的中點(diǎn),上的點(diǎn),使,連接,易知,.由(1)得,所以平面,所以,又,所以平面,所以二面角的平面角為.又計(jì)算得,,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,考查空間向量求二面角,考查空間想象及計(jì)算能力,是中檔題20、(1).x2+y2=1.(2)16【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程公式化簡得到答案.(2)圓心到直線的距離為,故弦長為得到答案.【詳解】(1),即,即,即.,故.(2)圓心到直線的距離為,故弦長為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,圓的弦長,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21、(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長,進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導(dǎo)公式求得,進(jìn)而求得,利用兩角差的正弦公式,求得
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