人教A版選擇性必修時(shí)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)課件-4

第二課時(shí)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的最值的概念,了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系,達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).2.會用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).3.體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用,能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際問題,提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識梳理·自主探究[問題1]如圖為y=f(x),x∈[a,b]的圖象.觀察[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象,試找出它的極大值、極小值.提示:極大值為f(x1),f(x3),極小值為f(x2),f(x4).知識探究1.函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.[思考]最值與極值有何區(qū)別與聯(lián)系?提示:(1)區(qū)別.①函數(shù)的極值是函數(shù)在局部區(qū)間上函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的比較,即最大(小)值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值的最大(小)者.②函數(shù)的極值可以有多個(gè),但最大(小)值只能有一個(gè),極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值可以在區(qū)間端點(diǎn)處取得.(2)聯(lián)系.如果在區(qū)間(a,b)上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線且只有一個(gè)極值點(diǎn),那么該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),這里區(qū)間(a,b)可以是無窮區(qū)間.連續(xù)不斷[做一做1]設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間[a,b]上可能沒有極值點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間[a,b]上可能沒有最值點(diǎn)解析:根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知,f(x)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn),f(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),可能是區(qū)間的端點(diǎn),連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值,所以選項(xiàng)A,B,D都不正確,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上沒有極值點(diǎn),所以C正確.故選C.C[問題2](1)結(jié)合問題1中函數(shù)y=f(x)的圖象,判斷其在區(qū)間[a,b]上是否存在最大值,最小值?若存在,分別為多少?提示:(1)存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3).(2)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某極值嗎?提示:(2)不一定,也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.2.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的

;(2)將函數(shù)y=f(x)的

與

處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是

,最小的一個(gè)是

.極值各極值端點(diǎn)最大值最小值[做一做2](1)函數(shù)f(x)=2x-cosx在R上(

)A.無最值 B.有極值C.有最大值 D.有最小值解析:(1)f′(x)=2+sinx>0恒成立,故f(x)在R上為增函數(shù),無極值,也無最值.故選A.答案:(1)A(2)若函數(shù)f(x)=axlnx(a∈R)的最小值為-1,則實(shí)數(shù)a=

.

答案:(2)e[問題3]現(xiàn)有一根長為18m的鋼條,想將其圍成一個(gè)長與寬之比為2∶1的長方體形狀的框架.(1)長方體的體積公式如何表示?提示:(1)V長方體=長×寬×高.(2)如設(shè)長方體的寬為xm,則該長方體的長,高分別為多少?(3)長方體的體積V(x)關(guān)于寬x的函數(shù)關(guān)系式是什么?(4)你能用導(dǎo)數(shù)求V(x)的最大值嗎?最大值是多少?提示:(4)由已知得V′(x)=18x-18x2,令V′(x)=0,得x=0或x=1.易知V(x)max=V(1)=3(m3).3.導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)際問題中的應(yīng)用經(jīng)常遇到求

、

、

等問題,用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路.利潤最大用料最省效率最高[做一做3]某工廠要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位:m)(

)A.32,16 B.30,15C.40,20 D.36,18A師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一求函數(shù)的最值(ⅱ)當(dāng)b=-1,c=3時(shí),f′(x)=-(x+3)(x-1),當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在x=1處有極大值,符合題意.綜上所述,滿足條件的值為b=-1,c=3.方法總結(jié)求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn)(1)對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f′(x)=0的根是否在給定區(qū)間上.(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值.[針對訓(xùn)練]已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2-6x+b,a,b∈R,f(0)=1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為-6.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;[針對訓(xùn)練]已知三次函數(shù)f(x)=x3+ax2-6x+b,a,b∈R,f(0)=1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為-6.(2)求f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最值.角度2含參函數(shù)的最值[例2](2021·陜西長安一中高二期末)已知函數(shù)f(x)=alnx+2x2-4x(a∈R).(1)若x=2是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;[例2](2021·陜西長安一中高二期末)已知函數(shù)f(x)=alnx+2x2-4x(a∈R).(2)求g(x)=f(x)-ax在區(qū)間[1,e]上的最小值h(a).方法總結(jié)由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化,所以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論,并結(jié)合不等式的知識進(jìn)行求解.比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小時(shí),有時(shí)需要利用作差或作商,甚至也要分類討論.[針對訓(xùn)練]已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.探究點(diǎn)二已知函數(shù)的最值求參數(shù)方法總結(jié)已知函數(shù)最值求參數(shù)的步驟(1)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.(2)通過比較它們的大小,判斷出哪個(gè)是最大值,哪個(gè)是最小值.(3)結(jié)合已知求出參數(shù),進(jìn)而使問題得以解決.注意分類討論思想的應(yīng)用.[針對訓(xùn)練](2021·天津河?xùn)|區(qū)高二期末)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx(a∈R).(1)若a=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;探究點(diǎn)三生活中的優(yōu)化問題(1)若要求包裝盒側(cè)面積S不小于75cm2,求x的取值范圍;(2)若要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的容積.方法總結(jié)(1)生活中的優(yōu)化問題常見模型:利潤最大問題,用料(費(fèi)用)最省問題等;面積、體積(容積)最大,周長最短,距離最小等實(shí)際幾何問題.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟①分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0;③比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小,最大(小)者為最大(小)值;④把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問題中,看是否符合實(shí)際情況并下結(jié)論.[針對訓(xùn)練](2021·萊州一中高二月考)如圖所示,四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?[針對訓(xùn)練](2021·萊州一中高二月考)如圖所示,四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.備用例題[例1]已知函數(shù)h(x)=x3+3x2-9x+1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28,求k的取值范圍.解:因?yàn)閔(x)=x3+3x2-9x+1,所以h′(x)=3x2+6x-9.令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,當(dāng)x變化時(shí),h′(x),h(x)的變化情況如表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h′(x)+0-0+h(x)↗28↘-4↗當(dāng)x=-3時(shí),取得極大值28;當(dāng)x=1時(shí),取得極小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28,如果h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,則k≤-3.所以k的取值范圍為(-∞,-3]