第一章函數(shù)與極限

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)

集合與區(qū)間

1.集合概念、表現(xiàn)方法'數(shù)集間的關(guān)系

2.區(qū)間

3領(lǐng)域U(〃,b)={xa—8<x<a+8}.

函數(shù)概念

1.定義、函數(shù)兩要素、定義域的確定

2.幾個特殊函數(shù)

(D符號函數(shù)(2)取整函數(shù)

(3)狄利克雷函數(shù)(4)取最值函數(shù)

三.函數(shù)的幾種特性

有限性'單調(diào)性'奇偶性'周期性

四.反函數(shù)

定義3設(shè)函數(shù)y=/(x),xGD的值域為R,

如果對于每一個歹eR,根據(jù)關(guān)系y=/(x)能

確定唯一的XEO,則稱得到的新函數(shù)x=O(x)

為，=/(%)的反函數(shù).亦稱歹=/@)與又=。@)

互為反函數(shù).函數(shù)的反函數(shù)常記為y=f-1(x).

五.復(fù)合函數(shù).初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

2.基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)'幕函數(shù)'指數(shù)函數(shù)'對數(shù)函

數(shù)'三角函數(shù)'反三角函數(shù)

初等函數(shù)：基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)

合

第二節(jié)數(shù)列的極限

數(shù)列的極限

〃一1

例4證明lim------=1.

〃十1

證明：|匕―1|=^-=--：

71+171+1

22

任給￡>0,要使忖一1<鳥只要----<邑或H——1,

2M+1￡

所以，取、「=[——1],則當(dāng)〃>沏，

￡

就有±4一1<三即lim上口=1.

/14-1n-^x>fl4-1

注意：用定義證明數(shù)列極限存在時，關(guān)鍵是對

任給￡>0,尋找N,但不是求最小的N

數(shù)列極限的性質(zhì)

有界性定理1.收斂的數(shù)列必定有界。

三.小結(jié)

數(shù)列：研究其變化規(guī)律

數(shù)列極限：極限思想'精確意義'幾何意義

收斂數(shù)列的性質(zhì)：有界性

第三節(jié)函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

1.集合解釋'定義

2.單側(cè)極限

左極限V￡>0Tb>0,使當(dāng)天—時，

恒有|/(x)

記作lim/(x)=A或f(x-)=A.

XTJCQ-0

(xTXp

右極限\/￡>0,m5>0,使當(dāng)叫)<X<xo4-甌

恒有|/(X)—/1<￡?

記作lim/(x)=N或/(/+)=4

X-?XQ-M)

(XT環(huán))

+

定理：lim/(x)=A=f(x~)=/(x0)=A.

X—>XQ

自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

定義'集合解釋'例題

三.函數(shù)極限的性質(zhì)

定理.若lim/(無)=N,且.4>0,則存在U(戈0,5),

“f"(/v0)

使當(dāng)X6力(干，5)時,/(戈)>0.(局部保號性)

(/(戈)<0)

推論.若在與的某去心鄰域內(nèi)/(刈之0,且

(/(x)<0)

lim/(x)=y4,則Z《0.

(屋0)

第四節(jié)無窮大與無窮小

一■無窮小

(D無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆；

(2)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)

--無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

定理1lim/(x)=/<=>/(x)=A+a,

XT*

其中a是當(dāng)xf與時的無窮小.

三.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

定理2在同一過程中，有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.

四.無窮大

注意(1)無窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆；

(2)切勿將1向/(刈=8認(rèn)為極限存在.

無窮大與無窮小的關(guān)系：

定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的

無窮小的倒數(shù)為無窮大.

第五節(jié)極限運(yùn)算法則

一.極限運(yùn)算法則

定理設(shè)lim/(x)=41img(x)=6,則

(1)\im[f(x)±g(x)]=A±B;

(2)\im[f(x)g(x)]=A-B;

(3)山11里=士，其中6wO.

g(x)B

求極限方法舉例

a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限；

b消去零因子法求極限；

c.無窮小因子分出法求極限；

d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限；

e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限

極限存在準(zhǔn)則

1.夾逼準(zhǔn)則

準(zhǔn)則I如果數(shù)列了“,y”及Z"滿足下列條件：

⑴支“乙Az”(?=1,2,3???)

(2)limy=a,\imz=a,

w—>oonn

那末數(shù)列*"的極限存在，且limx-a.

n—>oon

2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限

二.兩個重要極限

sinx

】?1“

lim------=1lim(l+—)=e

Xf0XXT8x

第七節(jié)無窮小的比較

無窮小的比較

(1)如果lim2=0,就說夕是比a高階的無窮小，

a

記作/三義a為

(2)如果lim"=8,就說夕是比a低階的無窮小.

a

(3)如果lim2=C。0,就說用與a是同階的無窮??；

a-----------------

特殊地,如果lim"=1,則稱夕與a是等價的無窮??；

a-----------------

記作a?夕;

常用等價無窮小:當(dāng)才70時，

x-sinx-tanx-arcsinx?arctanx-ln(l+x)

x^ex—1,1—cosx-—x2,(l+x)“-1?OV(QwO)

等價無窮小的替換(等價無窮小代換定理)

設(shè)a~a',0~0'且lim巧存在，則lim@=limj

aaa

切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代

數(shù)和中各無窮小不能分別代換.

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)連續(xù)性的概念

1.函數(shù)的增量

2.連續(xù)的定義

總結(jié):函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)須滿足：

1.在這一點(diǎn)有定義；

2.在這一點(diǎn)有極限；

3.極限等于這一點(diǎn)的函數(shù)值,即lim/(x)=/(x0).

3.單側(cè)連續(xù)

定理函數(shù)/(刈在/處連續(xù)。是函數(shù)/住應(yīng)與

處既左連續(xù)又右連續(xù).

4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

--函數(shù)的間斷點(diǎn)

1.跳躍間斷點(diǎn)

2.可去間斷點(diǎn)

3.第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)'震蕩間斷點(diǎn))

三.初等函數(shù)的連續(xù)性

1.四則運(yùn)算的連續(xù)性

定理1若函數(shù)/(刈，雙戈)在點(diǎn).飛處連續(xù)，

則/(刈土g(x)，/(刈雙刈，軍(g(%)WO)

在點(diǎn)飛處也連續(xù).

2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

定理4.單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)

反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性。

反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)。

3.初等函數(shù)的連續(xù)性

第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值和最小值定理

定理1（最大值和最小值定理）

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

定理2（有界性定理）

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

二.介值定理

定理3（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)/（*）在閉區(qū)間［”,可

上連續(xù)，且/⑷與/（。）異號（即/⑷?/g）VO）,

那末在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)"X）的一個零

點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)4（“V自V。），使/化）=0.

定理4（介值定理）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a,b］

上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值

f（a）=A及f（b）=B,

那末，對于A與5之間的任意一個數(shù)C,在開區(qū)間

（。2）內(nèi)至少有一點(diǎn)酊使得/e）=C（a<^<b）.

第二章第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)的定義

二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）

三.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

定理：凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。（逆定理不成立）

若在一點(diǎn)不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)！

不連續(xù)一定不可導(dǎo).

判斷可導(dǎo)性直接用定義；

連續(xù)

看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.

第二節(jié)求導(dǎo)法則

Q)[“(％)±1(%)]'=

[⑵[〃⑺y(%)]'=〃'(％)[(%)+〃(%)￡(%)

r_________

u(x)uf(x)v(x)—u(x)vf(x)|(-「W6

(3)------=------------；---------------

v(x)v(x)

第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

一.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

例題.求函數(shù)y=log。*的導(dǎo)數(shù).

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

鏈?zhǔn)椒▌t：因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求

導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)。

第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

高階導(dǎo)數(shù)的概念

定義若函數(shù)J=/(X)的導(dǎo)數(shù)./=/'(x)可導(dǎo),則稱

/'(X)的導(dǎo)數(shù)為，G)的二階導(dǎo)數(shù)，記作『”或上4,即

2dx-

*,,、，.d>ddy

y=(y)或--r=—(―)

dxdxdx

高階導(dǎo)數(shù)的求法舉例(參照課本例題)

第五節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例4.求的導(dǎo)數(shù).

解：兩邊取對數(shù)，化為隱式

Iny=sinx-Inx

求導(dǎo)

1>.sinx

—y=cosx-lnxd-------

/x

.，Sinxz.,sinx

:.y=x(cosx-Inx+------)

由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在方程

3=如)

設(shè)函數(shù)工=次。具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)

二/=必。，t=^(x)

再設(shè)函數(shù)x=。⑺,y=河，)都可導(dǎo),且。'⑺。0,

由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得

dy

@=空包=@j_=為空=應(yīng)

dxdtdxdtdx。，⑴&dx

dt~dt

dx283?

第七節(jié)函數(shù)的微分

微分的定義

設(shè)函數(shù)y=〃x)在某區(qū)間內(nèi)有定義

占及*o+Ax在這區(qū)間內(nèi)如果

Ay=/(x0+Ax)-/(x0)=A-Ax+o(Ax)

成立(其中4是與Ax無關(guān)的常數(shù))，則稱函數(shù)

y=/(X)在點(diǎn)與可微，并且稱4,Ax為函數(shù)

y=/(x)在點(diǎn)/相應(yīng)于自變■增3的微分，

記作辦If或刈(/),即吼=f=A4.

I-5-I工田函數(shù)/(X)在點(diǎn)X?？苫盏某湟獥l件是函

貝EX^r：數(shù)/(X粒點(diǎn)看他可導(dǎo),且A=

--基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法應(yīng)=4“)3

1.基本初等函數(shù)的微分公式

d(C)=0d^)=\3Lx^dx

</(sinx)=cosxdxd(cosx)=-sinxdx

d(tanx)=sec2xdxd(cotx)=-esc2xdx

d(secx)=secxtanxdxd(escx)=-escxcotxdx

d(ax)=ax\nadxd(ex)=exdx

J(logx)=------dxJ(lnx)=-dx

flxln?

J(arcsinx)=,dxJ(arccosx)=——,dx

A/1-xA/1-x

J(arctanx)=------^dxd(cotx)=-^3dx

1+x

2.函數(shù)和'差'積'商的微分法則

設(shè)“(x),1(X)均可微，則

1.d(z/±v)=d?±dv2.d(Cu)=Cdu(C為常數(shù))

3.d(z/v)=vdz/+udv4.d(—)=(y。0)

Vl廣

第三章第一節(jié)中值定理

羅爾定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)/(%)在

閉區(qū)間［a,W上連續(xù),在開區(qū)間3。)內(nèi)可導(dǎo),那末在

(4,。)內(nèi)至少有一點(diǎn)默“＜自＜力)，使等式

f⑹-f(a)=f'y)(D成立.

三.柯西中值定理

如果函數(shù)/(%)及尸(X)滿足：

(1)在閉區(qū)間［。，加上連續(xù)

(2)在開區(qū)間(“，。)內(nèi)可導(dǎo)

(3)在開區(qū)間(a,。)內(nèi)F(x)w0

至少存在一點(diǎn)4￡刀，使/(加一/(。)=也1

尸(?-尸⑷尸紜)

第二節(jié)羅比達(dá)法則

一、,型及8型未定式解法:洛必達(dá)法則

0oo

二、0?8,8-8,0°,18,8°型未定式解法

洛必達(dá)法則0°,1工8°型

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性

--函數(shù)單調(diào)性的判定法

1.定理

設(shè)函數(shù)y=/(X)在切上連續(xù)，在內(nèi)可

導(dǎo).⑴如果在3,"內(nèi)/'(x)>0,那末函數(shù)y=/(x)

在3句上單調(diào)增加；(2)如果在Q"內(nèi)7(*)<0,

那末函數(shù)y=/(%)在W上單調(diào)減少.

2.單調(diào)區(qū)間求法(注意是閉區(qū)間)

曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

f\x)遞增了">0f\x)遞減/"<o

推論如果/(x)在［明句上連續(xù)，在(%。)內(nèi)具有

一階和二階導(dǎo)數(shù)，若在(％。)內(nèi)

(1)廣(x)>0,則/(x)在［afb］上的圖形是凹的；

(2)f\x)<0,則/(x)在［a,b］上的圖形是凸的.

曲線的拐點(diǎn)及其求法

1、定義

連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).

2、拐點(diǎn)的求法

(1).求/”(x);

(2).解出了”(x尸0在區(qū)間內(nèi)的所有實根；

(3).對于(2)中解出的每一個實根，判斷其左，右兩

側(cè)廣'(戈)的符號.

當(dāng)/'”(")在根的兩側(cè)符號相反時，此點(diǎn)是拐點(diǎn)；

當(dāng)了”(x)在根的兩側(cè)符號相同時，此點(diǎn)不尉?點(diǎn);

第五節(jié)函數(shù)的極值和最大最小值

函數(shù)的極值

求法

(1)求導(dǎo)數(shù)/'(x)；

(2)求駐點(diǎn)，即方程/'(X)=0的根，以及不可導(dǎo)點(diǎn).

(3)檢查/'(x)在這些點(diǎn)左右的正負(fù)號,判斷極值點(diǎn)；

/'(x)"左正右負(fù)”，則/(x)在X。取極大值.

/'(X)“左負(fù)右正”，則/(x)在勺取極小值；

(4)求極值.

定理3(第二充分條件)設(shè)/(x)在勺處具有二階導(dǎo)致，

且/(勺)=0，/(勺)=0，那末

(1)當(dāng)，(/)<0時，函數(shù)/(X)在X。處取得極大值；

⑵當(dāng)/,(X。)>0時，函數(shù)/(x)在勺處取得極小值.

函數(shù)的最大最小值

求函數(shù)最值的步驟：

1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，比較大

小，哪個大哪個就是最大值，哪個小哪個就是最小值；

最大值

M=max{/(x1),/(x2),

最小值

/?=min{/(x1),/(x2)/(xm)/(a),/(6)}

第四章第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

原函數(shù)與不定積分的概念

定義1.若在區(qū)間/上定義的兩個函數(shù)尸(x)及/(x)

滿足/*'(x)=/(X)或dF(x)=/(x)dx,則稱F(x)為/?&)

在區(qū)間/上的日原函數(shù).

AAA

如引例中，一sin，的原函數(shù)有一一cos，，----cosZ+3,--

mntnt

定義2J。)在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為/(x)在/

上的不定積分,記作J/(x)dx淇中

J—積分號；一被積函數(shù)；

x—積分變量；/@)dx一被積表達(dá)式?

基本積分表

(1)m=#x+c(〃為常數(shù))

(2)卜"必=焉》修+。(A*-l)

dx

G)J三=E|x|+C(P136導(dǎo)數(shù)公式)

dY

(4)f-------=arctanx+C或-arccotx+C

J1+廣

dx

(5)[1_____=arcsinx+C或—arccosx+C

J\/l-X2

(6)Jcosxdx=sinx+C

(7)Jsinxdx=-cosx+C

dv

(8)f—；—=[sec2xdx=tanx+C

Jcos-xJ

znxrdx「工

(刃—=CSLxdx=-cotx+C

Jsin2^xJ

(10)jsecxtanxdx=secx+C

(11)jcscxcotxdx=-cscx+C

(12)jexdx=ex+C

(13)[axdx=+C

JIna

三.不定積分的性質(zhì)

1.j4/(x)dx=zj/(x)dx(EO)I續(xù)西―

2.j[f(x)±g(x)]dx=j7(x)dx±Jg(x)dx

推論：若/(.*)=￡叫〃x),則

i=l

Jf(x)dx=1與"(x)dx

i=l

第二、三節(jié)換元積分法、分部積分法

一.第一類換元法(配元法、湊微分法)

常用的幾種配元形式：

1)J/(ax+6)dx=—Jf(ax+b)d(ax+b)

J/(x")x^dx=lj/(xM)dxw"萬

2)

能

湊

x2

-xdx=—Jedx塞

法

3)J/(x-)ldx=lj/(x-)±dx-J

4)J/(sinx)cosxdx=J/(sinx)dsinx

5)J/(cosx)sinxdx=—J/'(cosx)dcosx

6)j/(tanx)sec2xdx=J/(tanx)dtanx

7)f/(e>xdx=J/(ex)deJC

8)j/(Inx)^-dx=J/(Inx)dlnx

第二類換元法

1.第二類換元法常見類型:

1)Jf{x,Va:—x1)dx,令x=asinf或K=acost

2.常用基本積分公式的補(bǔ)充

(14)ftanxdx=—In|cosx|+C

(15)jcotxdx=ln|sinx|+C

(16)jsecxdv=ln|secx+tanx|+C

(17)jcscxdx=ln|cscx-cotx|+C

r1,14x-

(18)I-......dx=-arctan--FC

Jar+￡vaa

J乙d—nx—a

(19)+C

x+a

r1一?%.〃

(20)I,dx=arcsin—+C

Jy/a2-x2a

(21)fi,x=ln(x+yjx2+a2)+C

six'+a~

(22)f-.=-dx=InIx+->/x*—d"I+C

Vx2-fl2

有理函數(shù):

OQX11+a1X"T+-?-+fl

P(x)n

K(x)=

Q(x)如產(chǎn)+***T+…+b1n

利<〃時，A(x)為假分式;

/〃>〃時，A(x)為真分式

三.分部積分法

解題技巧：反對塞指三

第五章第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)

定積分的定義

定積分的性質(zhì)

規(guī)定:J：f@)d"=-J：/(x)/(x)dx=0

性質(zhì)1.J：dx=b-a

性質(zhì)2.J)/(x)dx=kJ：/(x)dK(左為常數(shù))

性質(zhì)3.Jj/(x)±g(x)]d.x=J：/(x)dx土J：g(x)d.x

性質(zhì)4.j：/(x)dx=J；/(x)dx+J：/(x)dx

性質(zhì)5.若在[a,b]±/(x)之0,則J：/(x)dx>0.

性質(zhì)6.設(shè)及"?分別是函數(shù)

/(X)在區(qū)間[a,川上的最大值及最小值，

則m(b—a)<|^f{x)dx<M(b—a).

性質(zhì)7.積分中值定理

若/(x)GC[a,b],則至少存在一點(diǎn)<耳明句,使

h

cbf/(x)dx

J/(x)dx=/?("a)―=--------

b—a

推論1.若在[。，叫±/(x)Kg(x),則

J：/(x)dx?J：g(x)dx.

推論2.J：/(x)dx<J^|/(x)|dx(a</?)

三角函數(shù)公式

sina+sin)ff=2sin^—^cos―—―

22

sinsin0—[cos(cr+y0)-cos(a-/?)]sinQ-sin￡=2cossin———