河南省2020-2021年九年級上冊期末數(shù)學試卷 含解析

九年級（上）期末數(shù)學試卷

選擇題（共10小題）

1.若一元二次方程（2研6）￥+渡-9=0的常數(shù)項是0,則。等于（）

A.-3B.3C.±3D.9

2.下列所給圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A.正三角形B.角C.正五邊形D.正方形

3.一個袋子中裝有3個紅球和2個黃球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，在看不到

球的條件下，隨機從袋中摸出2個球，其中2個球顏色不相同的概率是（）

A.3.B.Ac.2

455

4.用配方法解方程『一10戶9=0,配方后可得（)

A.(x-5)2=16B.(x-5)2=1

C.(x-10)2=91D.(x-10)2=109

5.如圖，。。是△上的外接圓，NOCB=40°,則N4的大小為（）

C.80°D.100°

6.將拋物線尸-3步平移，得到拋物線尸-3（x-1）2-2,下列平移方式中，正確的

是（）

A.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

7.如圖，PA,如是。0的兩條切線，切點分別是4,B,如果g=4,PA=2y/3,那么NAPB

等于（）

8.獨山縣開展關(guān)于精準扶貧、精準扶貧的決策部署以來，某貧困戶2014年人均純收入為

2620元，經(jīng)過幫扶到2016年人均純收入為3850元，設(shè)該貧困戶每年純收入的平均增長

率為X,則下面列出的方程中正確的是（）

A.2620（1-x）2=3850B.2620（1+z）=3850

C.2620（l+2x）=3850D.2620（1+x）2=3850

①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的

概率是0.616；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是

0.620.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①@

10.如圖是二次函數(shù)尸（aWO）圖象的一部分，對稱軸x=L,且經(jīng)過點（2,0）

2

下列說法：①a6c<0；②-2加c=0；③4a+2〃"cV0;④若（-$，必），（―,萬）是拋

22

物線上的兩點，則yi<y2；⑤加6）（其中啟其中說法正確的是（）

A.①?④⑤B.?@C.①③D.①?@

二.填空題（共5小題）

11.若關(guān)于x的方程『-硒卬=0有兩個相等實數(shù)根，則代數(shù)式2君-8研1的值為.

12.拋物線產(chǎn)=-￥+2A+2的頂點坐標是.

13.第一盒乒乓球中有4個白球2個黃球，第二盒乒乓球中有3個白球3個黃球，分別從

每個盒子中隨機地取出1個球，則取出的兩個球都是黃球的概率是.

14.如圖，在△胸中，ZC=90°,AC=BC=y[2,將△胸繞點“順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到

△AB'C的位置，連接^B,則。B=.

15.如圖，。為半圓內(nèi)一點，0為圓心，直徑四長為2c%NBOC=60：NBCO=90°,將

△斯繞圓心0逆時針旋轉(zhuǎn)至,點△在以上，則邊比掃過區(qū)域（圖中陰影

部分）的面積為cm.（結(jié)果保留"）

ACOB

三.解答題（共8小題）

16.解下列方程.

（1）（A+3）\2（A+3）

(2)3x(x-1)=2-2x

17.如圖，在平面直角坐標系網(wǎng)格中，△被7的頂點都在格點上，點C坐標（0,-1）.

（1）作出△府關(guān)于原點對稱的旦G,并寫出點4的坐標;

(2)把△被繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得尼C畫出出C,并寫出點及的坐標;

(3)直接寫出民。的面積.

18.在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4,隨機摸取一個

小球然后放回，再隨機地摸取一個小球.

(1)采用樹狀圖法(或列表法)列出兩次摸取小球出現(xiàn)的所有可能結(jié)果，并回答摸取兩

球出現(xiàn)的所以可能結(jié)果共有幾種；

(2)求兩次摸取的小球標號相同的概率；

(3)求兩次摸取的小球標號的和等于4的概率；

(4)求兩次摸取的小球標號的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率.

19.如圖，四是的直徑，宛是弦，45=30。，延長加到。，使乙眥，=30。.

(1)求證：加是。。的切線；

(2)若715=2,求優(yōu)的長.

20.如圖，已知"是半圓。的直徑，點戶是半圓上一點，連結(jié)外并延長即到點C,使

PC=PB,連結(jié)ZC.

(1)求證：AB=AC.

(2)若曲=4,/腑=30°.

①求弦印的長.②求陰影部分的面積.

c

AoB

21.某超市銷售一種牛奶，進價為每箱24元，規(guī)定售價不低于進價.現(xiàn)在的售價為每箱36

元，每月可銷售60箱.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若這種牛奶的售價每降價1元，則每月的銷量將

增加10箱，設(shè)每箱牛奶降價x元(x為正整數(shù))，每月的銷量為y箱.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；

(2)超市如何定價，才能使每月銷售牛奶的利潤最大？最大利潤是多少元？

22.如圖1,點。是正方形極/兩對角線的交點，分別延長切到點G,必到點￡，使宛

=2OD,OE=2OC,然后以曲、龍為鄰邊作正方形應(yīng)7G連接4G,DE.

(1)求證：DELAG；

(2)正方形被笫固定，將正方形儂石繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<360°)得

到正方形OEF1G,,如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當Nfl4G'是直角時，求a的度數(shù)；

②若正方形的的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求函長的最大值和此時a的度數(shù)，直

接寫出結(jié)果不必說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)尸-J+Av+c的圖象與x軸交于48兩點，與

y軸交于6(0,3),4點在原點的左側(cè)，6點的坐標為(3,0).點夕是拋物線上一個動

點，且在直線%的上方.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接尸0、PC,并把沿勿翻折，得到四邊形R戶'C,那么是否存在點只使

四邊形尸印。為菱形？若存在，請求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點尸運動到什么位置時，四邊形腑C的面積最大，并求出此時點尸的坐標和四

邊形四%的最大面積.

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.若一元二次方程（2研6）/+清-9=0的常數(shù)項是0,則加等于（）

A.-3B.3C.±3D.9

【分析】一元二次方程a/+6Kc=0（a,b,c是常數(shù)且aWO）的a、b、c分別是二次項

系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

【解答】解：由題意，得

m-9=0且2研6#0,

解得m=3,

故選：B.

2.下列所給圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）

A.正三角形B.角C.正五邊形D.正方形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：/、正三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

反角不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、正五邊形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

。、正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選：D.

3.一個袋子中裝有3個紅球和2個黃球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，在看不到

球的條件下，隨機從袋中摸出2個球，其中2個球顏色不相同的概率是（）

A.3B.Ac.2D.3

4555

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其中2個球

的顏色不相同的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：畫樹形圖得：

開始

紅紅紅黃黃

xAxx/K

紅紅黃黃紅紅黃黃紅紅黃黃紅紅紅黃紅紅紅黃

?.?共有20種等可能的結(jié)果，其中2個球的顏色不相同的有12種情況,

其中2個球的顏色不相同的概率是絲=3；

205

故選：D.

4.用配方法解方程『-10戶9=0,配方后可得()

A.(x-5)2=16B.(x-5)2=1

C.Cx-10)2=91D.(x-10)2=109

【分析】移項，配方，根據(jù)完全平方公式變形，即可得出答案.

【解答】解：￥-10戶9=0,

x-10x=-9,

x-10A+25=-9+25,

(x-5)2=16,

故選：A.

5.如圖，。。是△胸的外接圓，NOCB=40°,則NZ的大小為()

A.40°B,50°C.80°D.100°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可求出答案

【解答】爆「OB=OC

：.ZBOC=18Q°-2N毆=100°,

二由圓周角定理可知：ZA=1ZBOC=50°

2

故選：B.

6.將拋物線尸-39平移，得到拋物線尸-3(矛-1)2-2,下列平移方式中，正確的

是()

A.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到.

【解答】解：；y=-39的頂點坐標為（0,0）,y=-3（x-1）2-2的頂點坐標為（1,

-2）,

???將拋物線尸-3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，可得到拋物線尸-3

（X-1）2-2.

故選：D.

7.如圖，PA,如是。0的兩條切線，切點分別是4B,如果冉4,*=2次，那么NAPB

等于（）

A.90°B.100°C.110°D.60°

【分析】由切線長定理可得NZ6QN加0可求得sin/次產(chǎn)的值，所以可知N/CQ60°,

從而求得N&W的值，進而可求出N板的度數(shù).

【解答】解：

'：PA,金是。。的兩條切線，

/.OAA.AP,OBLBP,NOPA=NOPB,

：.NAOH/BOP,

VOP=4,PA=2M.

：.sinNAOP=延~=立~,

OP2

：.ZAOP=60°.

：.ZAOB=120°,

：.Z.APB=60°,

故選：D.

8.獨山縣開展關(guān)于精準扶貧、精準扶貧的決策部署以來，某貧困戶2014年人均純收入為

2620元，經(jīng)過幫扶到2016年人均純收入為3850元，設(shè)該貧困戶每年純收入的平均增長

率為x,則下面列出的方程中正確的是（）

A.2620（1-x）2=3850B.2620（1+x）=3850

C.2620(l+2x)=3850D.2620(1+x)2=3850

【分析】是關(guān)于增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，如果設(shè)該

貧困戶每年純收入的平均增長率為X,那么根據(jù)題意可用x表示今年純收入，然后根據(jù)

已知可以得出方程.

【解答】解：如果設(shè)該貧困戶每年純收入的平均增長率為％

那么根據(jù)題意得：2620(1+x)2,

列出方程為：2620(1+x)2=3850.

故選：D.

①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的

概率是0.616；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是

0.620.

其中合理的是()

A.①B.?C.①②D.①@

【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以此時

“釘尖向上''的頻率是：3084-500=0.616,但“釘尖向上”的概率不一定是0.616,故

①錯誤，

隨著實驗次數(shù)的增加，''釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計“釘尖向上”的概率是0.618.故②正確，

若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的概率可能是0.620,

但不一定是0.620,故③錯誤，

故選：B.

10.如圖是二次函數(shù)y=a/+As+c（aWO）圖象的一部分，對稱軸x=工，且經(jīng)過點（2,0）

2

下列說法：①a6c<0；②-2加c=0；③4m"2加cVO；④若（-紅，H）,（―,y2）是拋

22

物線上的兩點，則yi<y2；⑤包葉6）（其中身/）其中說法正確的是（）

A.①?④⑤B.③@C.①③D.①②(D

【分析】利用拋物線開口方向得到a<0,利用拋物線的對稱軸方程得到b=-a>0,利

用拋物線與y軸的交點在x軸上方得到c>0,則可對①進行判斷；利用拋物線經(jīng)過點（2,

0）得到4m^2加c=0,則可對③進行判斷；同時得到c=-2a,加上6=-a,則可對②

進行判斷；通過比較點（-絲，力）到直線工工的距離與點（互，刀）到直線*=上的

2222

距離的大小可對④進行判斷；利用尸工時，函數(shù)值最大可對⑤進行判斷.

2

【解答】解：???拋物線開口向下，

:.a<09

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-旦=工,

2a2

/.b—~a>0,

;拋物線與y軸的交點在x軸上方，

:.c>09

/.abc<Qf所以①正確；

???拋物線經(jīng)過點（2,0）,

A4a+2ZH-c=0,所以③錯誤；

c-—2a,

-2t^c=2a-2a=0,所以②正確；

?.?點（-5,K）到直線kL的距離比點（5,理）到直線x=上的距離大，

2222

二力〈為；所以④正確；

?.?拋物線的對稱軸為直線尸工，

2

二當x=工時，函數(shù)值最大，

2

（〃羊工），

422

即（印什6）（公￡工），所以⑤正確.

422

故選：A.

二.填空題（共5小題）

11.若關(guān)于X的方程/-必恒7=0有兩個相等實數(shù)根，則代數(shù)式遍-8研1的值為1.

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=渭-4。=0,將其代入2枕-8*1

中即可得出結(jié)論.

【解答】解：?；關(guān)于x的方程『-小〃=0有兩個相等實數(shù)根，

/.△=（-227）2-4227=25-4227=0,

二2/-8研1=2（a-4?）+1=1.

故答案為：1.

12.拋物線尸-x+2x^2的頂點坐標是（1,3）.

【分析】將二次函數(shù)化為頂點式后直接確定拋物線的頂點坐標即可.

【解答］解：y=~X+2A+2=-Cx-1）2+3,

所以頂點坐標為（1,3）,

故答案為：（1,3）.

13.第一盒乒乓球中有4個白球2個黃球，第二盒乒乓球中有3個白球3個黃球，分別從

每個盒子中隨機地取出1個球，則取出的兩個球都是黃球的概率是1.

一國一

【分析】畫樹狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出取出的兩個球都是黃球的結(jié)果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖：

白白白

白白白黃黃黃白白白黃黃黃白白白黃黃黃

白黃黃

白白白黃黃黃白白白黃黃黃白白白黃黃黃

共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中取出的兩個球都是黃球的結(jié)果數(shù)為6,

所以取出的兩個球都是黃球的概率=&=工.

366

故答案為工.

6

14.如圖，在△■中，N490°,AC=BC=-/2,將△放繞點［順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到

XAB'C的位置，連接CB,則CB=爽-1.

【分析】連接曲'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得好=四'，判斷出△3'是等邊三角形，根

據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得四=如'，然后利用“邊邊邊”證明△板和

BC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得N萩=NB'BC，延長宏交網(wǎng)于。,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得切，四'，利用勾股定理列式求出四，然后根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出切、CD,然后根據(jù)9=BD-C〃計算即可得

解.

【解答】解：如圖，連接班'，

?.?△斯繞點力順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△四'C,

：.AB=AB',NBAS'=60°,

是等邊三角形，

：.AB=BB',

在AABC'和AB'BC中，

-AC'=B'C'，

,BCy=BC,

:AABCBC(SSS),

:./ABC'=NB'BC,

延長加交AB'于D,

則班J"四'，

'：ZC=90°,AC=BC=y[2,

二四=4(4)2+(a)2=2,

:.BD=2X?=M，

2

C2?=±X2=1,

2

：.BC=BD-Cg?-l.

故答案為：V3-1.

15.如圖，。為半圓內(nèi)一點，0為圓心，直徑居長為2c%ZBOC=60°,NBCO=90°,將

△歐7繞圓心。逆時針旋轉(zhuǎn)至縉，點^在曲上，則邊比掃過區(qū)域（圖中陰影

部分）的面積為Incm.（結(jié)果保留n）

A■C'OB

【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積

公式進行計算即可得出答案.

【解答】解：券=60°,4B，OC是△及心繞圓心0逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，

:.NB‘OC'=60°,ABCO=AB'C0,

：.AB'OC=&Q°,NCB'<2=30",

:60=120°,

*：AB=2cm,

：.OB=lcm,OC'=A

120兀X121

??S扇形"OB—

120Trx

S扇形c*oc=7.n

**?陰影部分面積=S扇形"CO~S&BCO-S扇形6*OC=S扇形""一S扇形c*oc=—五------

故答案為：In

4

三.解答題(共8小題)

16.解下列方程.

(1)(A+3)三2(A+3)

(2)3x(x-1)=2-2x

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)V(A+3)2-2(戶3)=0,

二(妙3)(A+1)=0,

則A+3=0或A+1=0,

解得x=-3或x=-1;

(2)V3x(x-1)=-2(x-1),

：.3x(x-1)+2(x-1)=0,

貝!](x-1)(3A+2)=0,

:.x-1=0或3A+2=0,

解得X=1或X=-2.

17.如圖，在平面直角坐標系網(wǎng)格中，△儂7的頂點都在格點上，點C坐標（0,-1）.

（1）作出△放關(guān)于原點對稱的△45G,并寫出點4的坐標；

（2）把△上繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得△力旦G畫出△力加C,并寫出點4的坐標;

（3）直接寫出△力2民C的面積.

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出4,B,。對應(yīng)點，進而得出答案；

（2）根據(jù)平面直角坐標系寫出點友的坐標即可.

（3）利用面積的和差求解：把三角形儂?的面積看作一個正方形的面積減去三個直角三

角形的面積.

【解答】解：（1）如圖所示：點4的坐標為：（1,-2）；

（2）如圖所示：點A的坐標為：（-3,-2）；

18.在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4,隨機摸取一個

小球然后放回，再隨機地摸取一個小球.

（1）采用樹狀圖法（或列表法）列出兩次摸取小球出現(xiàn)的所有可能結(jié)果，并回答摸取兩

球出現(xiàn)的所以可能結(jié)果共有幾種；

(2)求兩次摸取的小球標號相同的概率；

(3)求兩次摸取的小球標號的和等于4的概率；

(4)求兩次摸取的小球標號的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得取兩球出現(xiàn)的所以可能結(jié)果;

(2)由(1)中的樹狀圖，求得兩次摸取的小球標號相同的情況，然后利用概率公式求

解即可求得答案；

(3)由(1)中的樹狀圖，求得兩次摸取的小球標號的和等于4的情況，然后利用概率

公式求解即可求得答案；

(4)由(1)中的樹狀圖，求得兩次摸取的小球標號的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的情況,

然后利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1)畫樹狀圖得：

/Ax/Ax/Ax

1234123412341234

則共有16種等可能的結(jié)果；

(2)I?兩次摸取的小球標號相同的有4種情況，

...兩次摸取的小球標號相同的概率為：A=l；

164

(3)?.?兩次摸取的小球標號的和等于4的有3種情況，

...兩次摸取的小球標號的和等于4的概率為：』-；

16

(4)?；兩次摸取的小球標號的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的有10種情況，

,兩次摸取的小球標號的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率為：12.=1.

168

19.如圖，四是。。的直徑，BC是弦,N%30°,延長物到〃，使.

(1)求證：比1是。。的切線；

(2)若四=2,求優(yōu)的長.

【分析】(1)根據(jù)切線的判定方法，只需證或1_紇所以連接比；證/毆=90°.

(2)易求半徑宓的長.在雙△?中，運用三角函數(shù)求⑦

【解答】(1)證明：連接OC.

'：OB=OC,NB=30°,

：.NOCB=NB=30".

:.NCOD=2於NOCB=60°.

■:NBDC^30°,

：./BDO/COD=9Q°,DCLOC.

,宛是弦，

...點C在O0上，

.?.比'是。。的切線，點C是。。的切點.

(2)'：AB=2,

：.OC=O4運=L

2

?..在RtZ\C如中，NOCD=9Q°,NZ>=30°,

?0?00=\^30t^=

20.如圖，已知〃是半圓。的直徑，點尸是半圓上一點，連結(jié)蹈并延長即到點C,使

PC=PB,連結(jié)力C.

(1)求證：3AC.

(2)若？I5=4,ZABC=3G°.

①求弦鰭的長.②求陰影部分的面積.

c

AoB

【分析】(1)連接仍由圓周角定理可知N"5=90°,故加」5G再由公歷即可得

出結(jié)論；

(2)①先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出〃的長，再由勾股定理可得出陽的長；

②連接如，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△癡的度數(shù)，由圓周角定理求出NR厲的長，

根據(jù)S陰影=S扇形呼-即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接仍

?.?四是半圓。的直徑，

：.ZAPB=90°,

：.APVBC.

'：PC=PB,

△上是等腰三角形，BPAB^AC；

(2)解：①；N"ff=90。，AB=4,ZABC=3Q0,

：.AP^XAB^2,

2

BP=22=

7AB-AP3-22=2愿;

②連接OP,

■:NABC=30°,

：.ZPAB=6Qa,

.?.NR?=120°.

:點0時血的中點，

2X2^/3="'/3,

??S陰影=S扇形或p—S^POB

=120兀X22一n

360

=—n-'、叵

3

21.某超市銷售一種牛奶，進價為每箱24元，規(guī)定售價不低于進價.現(xiàn)在的售價為每箱36

元，每月可銷售60箱.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若這種牛奶的售價每降價1元，則每月的銷量將

增加10箱，設(shè)每箱牛奶降價x元(x為正整數(shù)),每月的銷量為y箱.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；

(2)超市如何定價，才能使每月銷售牛奶的利潤最大？最大利潤是多少元？

【分析】(1)根據(jù)價格每降低1元，平均每月多銷售10箱，由每箱降價x元，多賣10x,

據(jù)此可以列出函數(shù)關(guān)系式；

(2)由利潤=(售價-成本)X銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，求出最大值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，得：y=60+10x,

由36-*224得仁12,

...lWx<12,且x為整數(shù)；

(2)設(shè)所獲利潤為W,

則滬=(36-x-24)(10^+60)

=-lOx+60^+720

=-10(2-3)2+810,

Va<0

.?.函數(shù)開口向下，有最大值，

...當x=3時，/取得最大值，最大值為810,

答：超市定價為33元時，才能使每月銷售牛奶的利潤最大，最大利潤是810元.

22.如圖1,點0是正方形的?兩對角線的交點，分別延長如到點G,筑到點區(qū)使伊

=20D,0E=20C,然后以笫、應(yīng)1為鄰邊作正方形施R7,連接4G,DE.

(1)求證：血AG；

(2)正方形被加固定，將正方形呼G繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<360°)得

到正方形加F1G',如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當/曲G，是直角時，求a的度數(shù)；

②若正方形3的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求科長的最大值和此時a的度數(shù)，直

接寫出結(jié)果不必說明理由.

【分析】(1)延長切交ZG于點區(qū)易證△/償△眥得到/2折/應(yīng)。然后運用

等量代換證明/4陽=90°即可；

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中，ZOAG'成為直角有兩種情況：a由0°增大到90°過程中，當

ZOAG'=90°時，a=30°,a由90°增大到180°過程中，當NO1G'=90°時，a

=150"；

②當旋轉(zhuǎn)到A,0、F在一條直線上時，AF1的長最大，AF=AO^OF=返+2,此時

2

a=315°.

【解答】解：(1)如圖1,延長ED交AG于點、H,

???點。是正方形縱/兩對角線的交點，

：.OA=OD,OALOD,

?：OG=OE,

在和△戊為1中，

'0A=0D

?ZA0G=ZD0E=9Q°?

QG=0E

:.△AOG^XDOE,

"AGO^NDEO,

ZAG(^ZGAO=90°,

：.ZGA(h-ZDE0=90o,

：.ZAHE=^°,