信號與系統(tǒng)鄭君里第三版-課件

信號與系統(tǒng)第一章緒論2024/5/201《信號與系統(tǒng)》課程簡介1、課程地位

《信號與系統(tǒng)》課程是各高等院校電子信息工程及通信工程等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程和主干課程。該課程也是通信與信息系統(tǒng)以及信號與信息處理等專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考課程。

2、主要研究的內(nèi)容及實驗安排

該課程主要討論確定性信號和線性時不變系統(tǒng)的基本概念與基本理論、信號的頻譜分析，以及研究確定性信號經(jīng)線性時不變系統(tǒng)傳輸與處理的基本分析方法。從連續(xù)到離散、從時域到變換域、從輸入輸出分析到狀態(tài)變量分析，共八章。

2024/5/2021、信號與系統(tǒng)（第三版）鄭君里高等教育出版社參考書目2、Signals&Systems(Secondedition)Alanv.Oppenheim

清華大學(xué)出版社2024/5/203第1章信號與系統(tǒng)基本概念1.6線性時不變系統(tǒng)分析方法概述1.1引論1.2信號分類和典型信號1.3信號的運算1.4信號的分解1.5系統(tǒng)模型及其分類2024/5/204

1.1引論信號：一種物理量（電、光、聲）的變化。消息：待傳送的一種以收發(fā)雙方事先約定的方式組成的符號，

如語言、文字、圖像、數(shù)據(jù)等。信息：所接收到的消息中獲取的未知內(nèi)容，即傳輸?shù)男盘柺菐в行畔⒌?。電信號：與消息（語言、文字、圖像、數(shù)據(jù)）相對應(yīng)的變化的電流或

電壓，或電容上的電荷、電感中的磁通等。2024/5/205系統(tǒng)：一組相互有聯(lián)系的事物并具有特定功能的整體。

系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)。如：電路系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、機械系統(tǒng)、光學(xué)系統(tǒng)等屬于物理系統(tǒng)；而生物系統(tǒng)、政治體制系統(tǒng)、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、氣象系統(tǒng)等屬于非物理系統(tǒng)。

每個系統(tǒng)都有各自的數(shù)學(xué)模型。兩個不同的系統(tǒng)可能有相同的數(shù)學(xué)模型，甚至物理系統(tǒng)與非物理系統(tǒng)也可能有相同的數(shù)學(xué)模型。將數(shù)學(xué)模型相同的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。

2024/5/206積分器：vi(t)vo(t)RC

電視系統(tǒng)：變換器發(fā)射機消息接收機變換器黑灰（圖像）（攝像機）信道（空間）（顯像管）消息黑白灰（圖像）白vo(t)vi(t)RC微分器：2024/5/2071.2信號分類和典型信號對于各種信號，可以從不同角度進行分類。1、確定性信號與隨機性信號

對于確定的時刻，信號有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，這樣的信號稱為確定性信號。不可預(yù)知的信號稱為隨機信號。2、周期信號與非周期信號

在規(guī)則信號中又可分為周期信號與非周期信號。所謂周期信號就是依一定時間間隔周而復(fù)始，而且是無始無終的信號。時間上不滿足周而復(fù)始特性的信號稱為非周期信號。1.2.1信號的分類2024/5/2083、連續(xù)時間信號與離散時間信號

如果在所討論的時間間隔內(nèi)，對于任意時間值（除若干不連續(xù)點外），都可給出確定的函數(shù)值，這樣的信號稱為連續(xù)時間信號。

在時間的離散點上信號才有值與之對應(yīng)，其它時間無定義，這樣的信號稱為離散時間信號。2024/5/2094特殊形式

一、指數(shù)信號指數(shù)信號的表達式為

t02024/5/20101.2.2典型信號正弦信號和余弦信號二者僅在相位上相差，統(tǒng)稱為正弦信號，一般寫作Kf(t)tT2024/5/2011二、正弦信號三、復(fù)指數(shù)信號

如果指數(shù)信號的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù)，則稱為復(fù)指數(shù)信號，其表示式為四、Sa(t)函數(shù)（抽樣函數(shù)）

所謂抽樣函數(shù)是指sint與t之比構(gòu)成的函數(shù)，以符號Sa(t)表示2024/5/2012的性質(zhì)：

（1）是偶函數(shù)，在t正負兩方向振幅都逐漸衰減。

（2）

2024/5/2013

在信號與系統(tǒng)分析中，經(jīng)常要遇到函數(shù)本身有不連續(xù)點或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的情況，這類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異函數(shù)或奇異信號。一、單位斜變信號11t0R(t)1t0t0R(t-t0)t0+1

斜變信號指的是從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號。其表示式為1.2.3奇異信號2024/5/2014二、單位階躍信號1t0u(t)2024/5/2015如果開關(guān)S在t=t0

時閉合，則電容上的電壓為u(t-t0)。波形如下圖所示：u（t-t0

）t01t0解：由于S、E、C都是理想元件，所以，回路無內(nèi)阻，當S閉合后，C上的電壓會產(chǎn)生跳變，從而形成階躍電壓。即：例：圖中假設(shè)S、E、C都是理想元件（內(nèi)阻為0），當t=0時S閉合，求電容C上的電壓。CSE=1V+-＋－2024/5/2016工程實例

u(t)的性質(zhì)：單邊特性，即：

某些脈沖信號可以用階躍信號來表示。2024/5/2017例1：Et所以，矩形脈沖G(t)可表示為因為EttE2024/5/2018或：例2：f(t)011t011t011t例3：利用階躍信號來表示“符號函數(shù)”（signum）sgn(t)01-1t2024/5/2019三、單位沖激信號t01

我們先從物理概念上理解如何產(chǎn)生沖激函數(shù)(1)0t例：圖中假設(shè)S、E、C都是理想元件（內(nèi)阻為0），當t=0時S閉合，求回路電流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V＋－t0i(t)演示2024/5/20201.的定義方法（1）用表達式定義

這種定義方式是狄拉克提出來的，因此，又稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)。同理可以定義，即0（1）t（1）t02024/5/2021(2)用極限定義δ(t)t(1)t我們可以用各種規(guī)則函數(shù)系列求極限的方法來定義。例如:（a）用矩形脈沖取極限定義演示2024/5/2022（b）用三角脈沖取極限定義t(1)δ(t)t演示2024/5/20232.沖激函數(shù)的性質(zhì)綜合式（2）和式（4），可得出如下結(jié)論：沖激函數(shù)可以把沖激所在位置處的函數(shù)值抽?。êY選）出來。（1）取樣特性2024/5/2024（2）是偶函數(shù)，即（3）（1）t01t0u(t)u(t)與的關(guān)系：2024/5/2025例：四、沖激偶函數(shù)

沖激函數(shù)的微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）將呈現(xiàn)正、負極性的一對沖激，稱為沖激偶函數(shù)，以表示。2024/5/2026t0t（1）0t00t2024/5/2027沖擊偶的形成

（1）沖激偶是奇函數(shù)，即（2）（3）

沖激偶的性質(zhì)2024/5/2028積分積分積分求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)t00t(1)、、和

之間的關(guān)系：0t01t2024/5/20291.3信號的運算兩個信號的和（或差）仍然是一個信號，它在任意時刻的值等于兩信號在該時刻的值之和（或差），即或兩個信號的積仍然是一個信號，它在任意時刻的值等于兩信號在該時刻的值之積，即1.3.1信號的相加運算1.3.2信號的乘法和數(shù)乘運算信號的數(shù)乘運算是指某信號乘以一實常數(shù)K，它是將原信號每一時刻的值都乘以K，即2024/5/20301.3.3信號的反褶、時移、尺度變換運算

（1）反褶運算以t=0為軸反褶f(t)t-111f(-t)t-111

（2）時移運算t0>0時，f(t)在t軸上整體右移t0<0時，f(t)在t軸上整體左移2024/5/2031t0f(t)11t0f(t-t0)1t0t0+10tf(t+t0)1-t0-t0+1

（3）尺度變換運算

壓縮

擴展-101tf(t)1f(2t)-1/201/2t1-202t12024/5/2032解法一：先求表達式再畫波形。例1-7：信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。2024/5/2033例1-7：信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。2024/5/2034解法二：先畫波形再寫表達式。例1-7：信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。2024/5/20351.3.4信號的微分與積分運算

（1）微分運算

例1-8求下圖所示信號f(t)的微分，并畫出的波形。

f(t)t110（-1）t110

解：f(t)=t[u(t)-u(t-1)]信號f(t)的微分仍然是一個信號，它表示信號隨時間變化的變化率。2024/5/2036(2)積分運算解:

1）當t<0時，信號f(t)的積分，也可寫作，仍然是一個信號，它在

任意時刻的值等于從到t區(qū)間內(nèi)f(t)與時間軸所包圍的面積。

2）當時，

3）當t>1時，

例1-10求下圖所示信號f(t)的積分，并畫出其波形。2024/5/2037所以1）當t<0時，

2）當時，

3）當t>1時，2024/5/20381.4信號的分解（1）任意信號分解為偶分量與奇分量之和

偶分量定義為奇分量定義為任意信號可分解為偶分量與奇分量之和，即2024/5/2039t01/2-1/21-11t01/2-1t01-1例2:t11例1:t0112024/5/2040（2）任意信號分解為脈沖分量任意信號分解為沖激信號的迭加當t=0時，第一個矩形脈沖為

一個信號可近似分解為許多脈沖分量之和。這里又分為兩種情況，一是分解為矩形窄脈沖分量，窄脈沖組合的極限就是沖激信號的迭加；另一種情況是分解為階躍信號分量的迭加。2024/5/2041當t=時，第k+1個矩形脈沖為將上述0—n個矩形脈沖迭加，就得到f(t)的表達式，即當時，演示2024/5/2042(3)任意信號分解成正交函數(shù)分量

如果用正交函數(shù)集表示一個信號，那么，組成信號的各分量就是相互正交的。

例如，各次諧波的正弦與余弦信號構(gòu)成的三角函數(shù)集就是正交函數(shù)集。任何周期信號f(t)只要滿足狄里赫利條件，就可以由這些三角函數(shù)的線性組合來表示，稱為f(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)。同理，f(t)還可以展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。2024/5/2043系統(tǒng)的定義由若干個相互關(guān)聯(lián)又相互作用的事物組合而成，具有某種或某些特定功能的整體。如通信系統(tǒng)、雷達系統(tǒng)等。系統(tǒng)的概念不僅適用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域，而且還適用于社會科學(xué)。如政治結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟組織等。眾多領(lǐng)域各不相同的系統(tǒng)都有一個共同點，即所有的系統(tǒng)總是對施加于它的信號(即系統(tǒng)的輸入信號，也可稱激勵)作出響應(yīng)，產(chǎn)生出另外的信號(即系統(tǒng)的輸出信號，也可稱響應(yīng))。系統(tǒng)的功能就體現(xiàn)在什么樣的輸入信號產(chǎn)生怎樣的輸出信號1.6系統(tǒng)模型及其分類1.6.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型CRi(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)

對于同一物理系統(tǒng)，在不同條件之下，可得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。2024/5/2045對于不同的物理系統(tǒng)，可能有相同形式的數(shù)學(xué)模型。mv(t)2024/5/2046+-x(t)CLRi(t)該系統(tǒng)可建立如下兩種數(shù)學(xué)模型：（2）-----------狀態(tài)方程（兩個一階微分方程組）（1）-----------輸入輸出方程（一個二階微分方程）

對于同一物理系統(tǒng)，而且在相同的工作條件之下，數(shù)學(xué)模型也不惟一。2024/5/20471.6.2系統(tǒng)的分類:1).連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程2).即時系統(tǒng)(無記憶系統(tǒng))與動態(tài)系統(tǒng)(記憶系統(tǒng))即時系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是代數(shù)方程,如電阻電路.動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是微分方程或差分方程,如RC,RL電路.3).集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是偏微分方程4).線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有迭加性與均勻性(也稱齊次性)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng).不滿足疊加性或均勻性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng).5).時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)(非時變系統(tǒng))時變系統(tǒng):系統(tǒng)的參數(shù)隨時間變化.時不變系統(tǒng):系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化.6).可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng):不同的激勵產(chǎn)生不同的響應(yīng).不可逆系統(tǒng):不同的激勵產(chǎn)生相同的響應(yīng).對于每個可逆系統(tǒng)都存一個“逆系統(tǒng)”,當原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)級聯(lián)組合后,輸出信號與輸入信號相同.例:可逆系統(tǒng):r(t)=3e(t)

其逆系統(tǒng)為:r(t)=e(t)/3.不可逆系統(tǒng):(當激勵e(t)=1和e(t)=-1時,響應(yīng)r(t)均為1.即不同激勵產(chǎn)生相同響應(yīng).故為不可逆系統(tǒng)).7).單輸入-單輸出系統(tǒng)與多輸入-多輸出系統(tǒng)系統(tǒng)單輸入-單輸出系統(tǒng):只接受一個激勵信號，產(chǎn)生一個響應(yīng)信號.多輸入-多輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)激勵信號與響應(yīng)信號多于一個.

1.7線性時不變系統(tǒng)（LTI）

線性系統(tǒng)的定義：符合迭加性與均勻性的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)(1)線性特性1.迭加性若：則：2024/5/2051系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)將迭加性與均勻性結(jié)合起來，有2.

均勻性(齊次性)則：若：若：則：2024/5/2052滿足迭加性。故此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)例:

判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：

(1)

r(t)=te(t)；(2)r(t)=e(t)+2

解

(1)

ae(t)

tae(t)=ate(t)=ar(t)，滿足齊次性；

(2)

ae(t)

ae(t)+2

a[e(t)+2]=ar(t)

不滿足齊次性，故不是線性系統(tǒng)e1(t)+e2(t)

t[

e1(t)+e2(t)]=t

e1(t)+t

e2(t)=r1(t)+r2(t)，

ETtx(t)系統(tǒng)Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系統(tǒng)Ety(t-t0)t0（2）時不變特性則：若：2024/5/2054(1)r(t)=te(t)；

(2)r(t)=sin[e(t)];例:

判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)：解(1)當e(t)=e1(t)時,r1(t)=te1(t)e(t)=e2(t)=e1(t-t0)時,r2(t)=te2(t)=te1(t-t0)而r1(t-t0)=(t-t0)e1(t-t0)]由于r2(t)

r1(t-t0),所以系統(tǒng)是時變的。(2)當e(t)=e1(t)時,r1(t)=sin[e1(t)]e(t)=e2(t)=e1(t-t0)時,r2(t)=sin[e2(t)]=sin[e1(t-t0)]而r1(t-t0)=sin[e1(t-t0)]由于r2(t)=r1(t-t0),所以系統(tǒng)是時不變的。系統(tǒng)x(t)y(t)系統(tǒng)系統(tǒng)（3）微分與積分特性設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零則：若：2024/5/2056（4）因果性

因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)在t=t0時刻的響應(yīng)只與t=t0和t<t0時刻的輸入有關(guān).否則,為非因果系統(tǒng).例:因果系統(tǒng):r(t)=e(t-1)(延時系統(tǒng))非因果系統(tǒng):r(t)=e(t+1)(超前系統(tǒng))(t=0時刻響應(yīng)r(0)=e(1),它由t=1時刻的激勵決定,故為非因果系統(tǒng))非因果系統(tǒng):r(t)=e(2t)(時域壓縮系統(tǒng))1.8線性時不變系統(tǒng)分析方法概述從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求解方法來分：時域分析法：不經(jīng)過任何變換，在時域中直接求解響應(yīng)變換域分析法：將信號和系統(tǒng)模型的時間函數(shù)變換成相應(yīng)某變換域的函數(shù)，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換等從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法來分：輸入、輸出分析法：一個n階微（差）分方程，適合于單輸入、單輸出系統(tǒng)狀態(tài)變量分析法：n個一階微（差）分方程組，適合于多輸入、多輸出系統(tǒng)2024/5/2058第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.5零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)2.1、2.2、2.3、2.4系統(tǒng)響應(yīng)的經(jīng)典求解2.6沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.7系統(tǒng)的卷積積分分析2.8卷積積分的性質(zhì)（1）元件端口的電壓與電流約束關(guān)系電網(wǎng)絡(luò)的兩個約束特性：2.2系統(tǒng)響應(yīng)的經(jīng)典求解2.2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型C（2）各電路的電流、電壓約束關(guān)系（即電路定律KVL、KCL）基爾霍夫電流定律（KCL）：在任一瞬時，流向某一結(jié)點的電流之和恒等于該結(jié)點流出電流之和，即：基爾霍夫電壓定律（KVL）：在任一瞬間，沿電路中的任一回路繞行一周，在該回路上電動勢之和恒等于各電阻上的電壓降之和，即：

例2-2根據(jù)電路形式，列回路方程列結(jié)點電壓方程

對于復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)激勵信號x(t)與響應(yīng)函數(shù)y(t)之間的關(guān)系，可用下列形式的微分方程式來描述上式就是一個常系數(shù)n階線性微分方程。

2.3用經(jīng)典法求解微分方程

此方程的完全解由兩部分組成，這就是齊次解和特解。齊次解應(yīng)滿足

特征方程為1）特征根無重根，則微分方程的齊次解為2）特征根有重根，假設(shè)是特征方程的K重根，那么，在齊次解中，相應(yīng)于的部分將有K項3）若、為共軛復(fù)根，即那么，在齊次解中，相應(yīng)于、的部分為例2-4：求下列微分方程的齊次解。解：特征方程為特征根（重根）齊次解

下面討論求特解的方法，特解的函數(shù)形式與激勵的函數(shù)形式有關(guān)。將激勵信號代入微分方程的右端，代入后的函數(shù)式稱為“自由項”。通常，由觀察自由項試選特解函數(shù)式，代入方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可求出特解。

自由項特解E(常數(shù))(常數(shù))解:

（1）列寫微分方程式為節(jié)點1：節(jié)點2：例2-6：如下圖所示電路，已知激勵信號x(t)=cos2tu(t),兩個電容上的初始電壓均為零，求輸出信號v2(t)的表達式。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR1R2+-C2+-v2(t)12（2）為求齊次解，寫出特征方程特征根（3）查表，得特解為代入原方程得齊次解比較上述方程兩邊系數(shù)，并求解得（4）完全解為狀態(tài)，起始狀態(tài)狀態(tài)，初始條件，導(dǎo)出的起始狀態(tài)2.4初始條件的確定（起始點的跳變——從0-到0+

）

在系統(tǒng)分析問題中，初始條件要根據(jù)激勵接入瞬時系統(tǒng)的狀態(tài)決定。一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，到狀態(tài)就會發(fā)生跳變。

例2-7根據(jù)電路形式，列回路方程列結(jié)點電壓方程(1)（1）列寫電路的微分方程(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程特征根齊次解方程右端自由項為代入式(1)則系統(tǒng)的完全響應(yīng)為特解換路前因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變,(4)求得要求的完全響應(yīng)為匹配的原理：t=0

時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡(其他項也應(yīng)該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

2.4.2沖激函數(shù)匹配法該過程可借助數(shù)學(xué)描述設(shè)則代入方程得出所以得即即方程右端含項，它一定屬于由方程可知2.5零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)經(jīng)典法求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分為：完全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分為：完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)③初始條件：即齊次解的待定系數(shù)用確定即可！1．零輸入響應(yīng)的定義與待定系數(shù)確定①定義：沒有外加激勵信號作用，完全由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)，即②滿足方程：故是一種齊次解形式，即其中，為互不相等的n個系統(tǒng)特征根。例：

求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：特征方程特征根零輸入響應(yīng)由起始條件得零輸入響應(yīng)為①定義：起始狀態(tài)為0，只由激勵產(chǎn)生的響應(yīng)②滿足方程：故含特解，即2．零狀態(tài)響應(yīng)的定義與待定系數(shù)確定故③初始條件：由于，=跳變值，即系數(shù)由跳變值確定。=跳變值：確定全響應(yīng)的系數(shù)：確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)：確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù)解：解得1．定義

系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。說明:在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵看響應(yīng)，不同，說明其系統(tǒng)特性不同，

沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。2.6.1沖激響應(yīng)2.6沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)2.沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對于線性時不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示激勵及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)令

e(t)=

(t)

則

r(t)=h(t)

設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）

由于δ(t)

及其導(dǎo)數(shù)在t>0+

時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。②與n,m相對大小有關(guān)①與特征根有關(guān)不包含及其各階導(dǎo)數(shù)包含包含及其各階導(dǎo)數(shù)3.h(t)

解的形式

例：已知微分方程為

求沖激響應(yīng)h(t)。

解：將代入微分方程，并比較方程兩邊系數(shù)可求出：特征方程：齊次解：令則所以2.6.2階躍響應(yīng)系統(tǒng)方程的右端包含階躍函數(shù)，所以除了齊次解外，還有特解項。我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。1．定義2．階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分，注意積分限對因果系統(tǒng)：

由上述卷積積分的公式可總結(jié)出卷積積分計算步驟。首先將x(t)和h(t)的自變量t改成，即：

再進行如下運算（即卷積積分的四步曲）：反褶、時移、相乘、積分。

反褶：

時移：2.7系統(tǒng)的卷積積分分析

相乘：

積分：

計算卷積積分的關(guān)鍵是定積分限。

例2-11：已知,求。

解：

1）當t<0時，2）當t>0時，s(t)=0演示

例2－12：已知，求

解：

1）當t<0時，s(t)=02）當0<t<T

時，3）當tT

時，2.8卷積積分的性質(zhì)2.8.1卷積積分的代數(shù)性質(zhì)

（1）交換律

（2）分配律

分配律用于系統(tǒng)分析，相當于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。h2(t)h1(t)x(t)

（3）結(jié)合律

結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2.5.2卷積積分的微分與積分h2(t)h1(t)x(t)2.8.3f(t)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣：2.5.4卷積積分的時移性質(zhì)若則解：f2(t)=[δ(t)+δ(t-3)]，則

s(t)=f1(t)*[δ(t)+δ(t-3)]

=f1(t)*δ(t)+f1(t)*δ(t-3)

=f1(t)+f1(t-3)

補充：已知f1(t)、f2(t)如圖所示，求s(t)=f1(t)*f2(t)，并畫出s(t)的波形。第3章傅里葉變換分析3.4

非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換3.2

周期信號的頻譜分析——傅里葉變換3.3

典型周期信號的頻譜3.5、3.6

典型非周期信號的頻譜3.7、3.8

傅里葉變換的基本性質(zhì)3.6

周期信號的傅里葉變換3.9、3.10

取樣信號的傅里葉變換

從本章起，我們由時域分析進入頻域分析，在頻域分析中，首先討論周期信號的傅里葉級數(shù)，然后討論非周期信號的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題統(tǒng)稱為傅里葉分析。3.2周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)

任何周期函數(shù)在滿足狄義赫利的條件下，可以展成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，此時周期函數(shù)所展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。3.2.1三角形式的傅里葉級數(shù)設(shè)周期信號為f(t),其重復(fù)周期是T1,角頻率（1）直流分量：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：三角形式的傅里葉級數(shù)也可表示成：（2）其中以上各式中的積分限一般?。夯蛄?/p>

則

根據(jù)歐拉公式：代入上式得：令則3.2.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）其中------復(fù)振幅指數(shù)形式：3.2.3周期信號的頻譜及其特點1.周期信號的頻譜（3）（1）（2）

為了能既方便又明確地表示一個信號中含有哪些頻率分量，各頻率分量所占的比重怎樣，就可以畫出頻譜圖來直觀地表示。

如果以頻率為橫軸，以幅度或相位為縱軸，繪出及等的變化關(guān)系，便可直觀地看出各頻率分量的相對大小和相位情況，這樣的圖就稱為三角形式表示的信號的幅度頻譜和相位頻譜。例3-1求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫出各自的頻譜圖。解：一個周期內(nèi)的表達式為：因此或2.周期信號頻譜的特點（1）離散性--------頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜。（2）諧波性--------譜線出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上。（3）收斂性--------幅度譜的譜線幅度隨著而逐漸衰減到零。3.2.4波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系

已知信號f(t)展為傅里葉級數(shù)的時候，如果f(t)是實函數(shù)而且它的波形滿足某種對稱性，則在傅里葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)，留下的各項系數(shù)的表示式也將變得比較簡單。波形的對稱性有兩類，一類是對整周期對稱；另一類是對半周期對稱。（1）偶函數(shù)

所以，在偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會有正弦項，只可能含有（直流）和余弦分量。（2）奇函數(shù)

所以，在奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會含有直流與余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇諧函數(shù)或（3）奇諧函數(shù)例如

可見，在奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有基波和奇次諧波的正弦、余弦分量，而不會包含直流和偶次諧波分量。

在偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有（直流）與偶次諧波的正弦、余弦分量，而不會包含奇次諧波分量。（4）偶諧函數(shù)例3-2：21T-3.2.5吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象8.95%En=1n=3n=5n=1:n=3:n=5:演示3.3典型周期信號的頻譜3.3.1周期矩形脈沖信號(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)

周期矩形脈沖信號的三角形式傅里葉級數(shù)為

f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為（2）頻譜圖（3）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系（T1,）1.若不變，擴大一倍，即2.若不變，減小一半，即

譜線間隔只與周期有關(guān)，且與成反比；零值點頻率只與有關(guān)，且與成反比；而譜線幅度與和都有關(guān)系，且與成反比與成正比。3.4非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換周期信號的離散譜非周期信號的連續(xù)譜由于演示頻譜密度函數(shù)則記為F[f(t)]-----------非周期信號f(t)

的傅里葉變換---------傅里葉逆變換F–1------------幅度譜------------相位譜周期信號：傅里葉變換：------連續(xù)譜------離散譜與的關(guān)系：3.5典型非周期信號的頻譜

一、單邊指數(shù)信號

二、雙邊指數(shù)信號

三、對稱矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號：之間滿足如下關(guān)系：四、符號函數(shù)F3.6沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)

單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜”。(1）沖激函數(shù)的傅里葉變換演示(2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換F或FF（3）沖激偶的傅里葉變換F即：上式兩邊對t求導(dǎo)得：F同理：F五、階躍信號FFF3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)3.7.1線性若FFF則02πf(ω)ω(2π)tR(t)=1010F(ω)=R(ω)=1ω1例如：0(1)t3.7.2對稱性又如：F

利用傅里葉變換的對稱性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉(zhuǎn)化為求傅里葉變換來進行。F即FFF若則F例3-3：求解：FFF3.7.3奇偶虛實性設(shè)其中兩種特定關(guān)系：1.若f(t)是實函數(shù)，或虛函數(shù)[f(t)=j

g(t)]，則是偶函數(shù),是奇函數(shù)。2.若f(t)是t的

實偶函數(shù)，則必為的實偶函數(shù)

若f(t)是t的實奇函數(shù)，則必為的虛奇函數(shù)例如：（實偶）（實偶）（實奇）（虛奇）

3.7.4位移特性

（1）時移特性若F則F同理F例3-5：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。解：因為對稱矩形脈沖信號的傅里葉變換為F根據(jù)時移特性F幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移（2）頻移特性（調(diào)制定理）若F則FFFF例3-7：求的頻譜。解：

FFF例3-8：求矩形調(diào)幅信號的頻譜函數(shù)，已知f(t)=G(t)cosω0t，其中

G(t)為矩形脈沖，脈幅為E,脈寬為τ。

由上可見，信號在時域中壓縮等效在頻域中擴展；反之，信號在時域中擴展等效在頻域中壓縮。

3.7.5尺度變換特性若FF則特例：F綜合時移特性和尺度變換特性，可以證明以下兩式：FF3.7.6微分與積分特性（1）時域微分特性若FFF則例如：由于F所以FF（2）時域積分特性若FF則其中(1)若則F(2)（3）頻域微分特性若FF則F例：FFF（4）頻域積分特性若F則F若則F例3-9：求下圖所示三角脈沖信號的傅里葉變換。解：對上式兩邊取傅里葉變換：3.8卷積定理（1）時域卷積定理（2）頻域卷積定理若FF則F若FF則F其中：例3-13：利用頻域卷積定理求余弦脈沖的頻譜。解：我們把f(t)看作是矩形脈沖G(t)

與無窮長余弦函數(shù)的乘積。Ftf(t)ttttFf(t)t相乘卷積例3-12：利用時域卷積定理求三角脈沖的頻譜解：我們可以把三角脈沖看作是兩個同樣的矩形脈沖的卷積。而矩形脈沖的幅度、寬度可以由卷積的定義直接看出，分別為√2E/τ及τ/2。t-τ/4τ/4G(t)f(t)t-τ/2τ/2Ef(t)t-τ/2τ/2E