專(zhuān)題33直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題（學(xué)生版）

專(zhuān)題33【提升專(zhuān)題02】直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題（核心考點(diǎn)精講精練）類(lèi)型一、直線與橢圓的位置關(guān)系類(lèi)型二、直線與雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)型三、直線與拋物線的位置關(guān)系類(lèi)型四、弦長(zhǎng)問(wèn)題類(lèi)型五、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題類(lèi)型六、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題類(lèi)型七、圓錐曲線在新情景中應(yīng)用直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題常常涉及到一些重要的數(shù)學(xué)思想和解題方法，比如方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等。以下是一些常見(jiàn)的問(wèn)題：

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：包括直線與圓錐曲線的相交、相切、相離等位置關(guān)系，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用判別式、韋達(dá)定理等方法求解。

2、弦長(zhǎng)問(wèn)題：包括弦長(zhǎng)最值、弦長(zhǎng)的定值、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系等問(wèn)題，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系等方法求解。

3、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：圓錐曲線中的一些對(duì)稱(chēng)問(wèn)題也常常作為綜合問(wèn)題出現(xiàn)，比如圓錐曲線中的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)等問(wèn)題，可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行求解。

4、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題：圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題也是常見(jiàn)的綜合問(wèn)題之一，可以通過(guò)聯(lián)立方程組，利用函數(shù)思想等方法進(jìn)行求解。

以上只是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題中的一部分，這些問(wèn)題的解決需要掌握一定的數(shù)學(xué)思想和解題方法，同時(shí)需要具備靈活的思維和敏銳的觀察能力類(lèi)型一、直線與橢圓的位置關(guān)系1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．2．已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023年內(nèi)蒙古模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試及加試試題（A卷））平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與軸、軸均相切，圓心在橢圓內(nèi)，且與有唯一的公共點(diǎn).則的焦距為.7．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．8．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的焦距為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為，求l的斜率.類(lèi)型二、直線與雙曲線的位置關(guān)系1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．2．（2023屆河南省仿真測(cè)試三模理科數(shù)學(xué)試題）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023屆四川省診斷性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）雙曲線C：的離心率為，直線與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．或0 B．－2 C．或0 D．34．（2023年黑龍江省模擬數(shù)學(xué)試題）雙曲線與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或25．（2023年浙江省名校聯(lián)盟五科聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．36．（2024屆陜西省一模文科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于，，若線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率．8．（2023屆四川省二診模擬理科數(shù)學(xué)試題）雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)斜率為的直線交雙曲線于A，B，則.9．（2023屆河北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿(mǎn)足，若直線的斜率為3，則雙曲線的離心率為.10．（2023屆河北省模擬數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，其一漸近線的傾斜角為，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、，若四邊形存在外接圓，求直線的方程．類(lèi)型三、直線與拋物線的位置關(guān)系1．（20232024學(xué)年四川省模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別于拋物線交于點(diǎn)C，D．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023屆河北省二模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線，直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024屆廣東省次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過(guò)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是.4．（2023年山西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知拋物線，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.5．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求直線斜率的最大值.6．（20232024學(xué)年河南省一模數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)的直線垂直于，且交拋物線于兩點(diǎn)，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0類(lèi)型四、弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線的方程為，過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，（

）A． B．3 C． D．22．過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線相切于點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)等于（

）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．4．（2024屆福建省質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，.若，則.5．（2024屆內(nèi)蒙古質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．6．（2023屆四川省名校高全真模擬考試（二）理科數(shù)學(xué)試題）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．7．（2023屆重慶市適應(yīng)性月考（六）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．8．（2024屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.9．（2023屆湖北省壓軸卷數(shù)學(xué)試題（二））已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（

）A． B． C． D．10．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則弦長(zhǎng)的值.11．已知直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且.求直線的方程．類(lèi)型五、圓錐曲線中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則.2．（2023年陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線：與圓：在第一象限交于，兩點(diǎn)，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．23．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為.4．（20232024學(xué)年四川省“零診”考試數(shù)學(xué)試題（文科））拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則．5．（2023屆貴州省統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線AB的斜率為.6．已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B． C． D．7．（20232024學(xué)年四川省模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知A、B是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，PA，PB交橢圓于M，N．若MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F，且，則雙曲線的離心率為．類(lèi)型六、圓錐曲線中的范圍最值問(wèn)題1．（2023年內(nèi)蒙古模擬理科數(shù)學(xué)試題）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．（20232024學(xué)年江蘇省學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，則．3．（2023年高三數(shù)學(xué)（理科）押題卷四試題）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為．4．（20232024學(xué)年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線：與拋物線：交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，則的取值范圍是.5．（2023屆江西省模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率分別為，則．6．（20232024學(xué)年江蘇省診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題）過(guò)點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.7．（2023屆江蘇省八校聯(lián)盟適應(yīng)性檢測(cè)（三模）數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.類(lèi)型七、圓錐曲線在新情景中應(yīng)用1．（2023屆貴州省數(shù)學(xué)（理科）樣卷（二）試題）加斯帕爾蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為182．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）若橢圓上存在點(diǎn)，使得到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，則稱(chēng)該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023年福建省四校聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）橢圓中，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸上的頂點(diǎn)，若，此橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023年四川省模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱(chēng)為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則a=（

）A． B． C． D．5．（2023屆四川省三模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線”．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足．設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．6．（2023屆云南省高考備考診斷性聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試