高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（六）解三角形 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

能力升級(jí)練(六)解三角形一、選擇題1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC=()A.π6 B.π3 C.2π解析在△ABC中,設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-答案C2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則b=(A.2 B.3 C.2 D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13答案D3.已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若A=π3,b=2acosB,c=1,則△ABC的面積等于(A.32 B.34 C.36解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sinπ3=3,又B∈(0,π),所以B=π3,則△ABC是正三角形,所以S△ABC=12答案B4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則△ABC的形狀一定是()A.等邊三角形 B.不含60°的等腰三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,則有A+B=π2,故三角形為直角三角形答案D5.(2019廣東深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200m高度處進(jìn)行測(cè)繪,測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為()A.4003m B.400C.20033m D.解析如圖所示.在Rt△ACD中可得CD=20033=BE,在△ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,則AB=答案A6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分別為角A,BA.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析因?yàn)閏os2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=所以△ABC為直角三角形.答案B7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為()A.33 B.233 C.解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2則cosA>0.∴cosA=32,即4bc=3∴△ABC的面積S=12bcsinA=1答案B8.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°答案A9.(2019山東濟(jì)寧模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sinAsinBA.2 B.3 C.4 D.6解析在△ABC中,A=π3,b=∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①又3sin2CcosC=2sinAsinB,∴即cosC=3c22ab=a2+b2-由①②解得c=4或c=-6(不合題意,舍去).∴c=4.答案C二、填空題10.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為米.

解析連接OC,由題意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.答案50711.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c成等差數(shù)列,且A-C=90°,則cosB=.

解析∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC.∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC,∴2sinB=cosC+sinC,∴2sinB=2sin(C+45°).①∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-B2,代入①式中,2sinB=2sin90∴2sinB=2cosB2∴4sinB2cosB2=2cosB2∴cosB=1-2sin2B2=1-1答案312.如圖,在△ABC中,B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB=.

解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=在△ABC中,由正弦定理可得ABsin則AB=ACsin答案513.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且B為銳角,若sinAsinB=5c2b,sinB=74,S解析由sinAsinB=5c2b由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得1聯(lián)立①②,得a=5,c=2.由sinB=74且B為銳角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,答案14三、解答題14.如圖,航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10000m,速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜?(取2≈1.4,3≈1.7)解如圖,作CD垂直于線段AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由題意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,BCsin所以BC=2100012×sin15°=10500(6因?yàn)镃D⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10500(6-2)×22=10500(≈7350(m).故山頂?shù)暮０胃叨葹?0000-7350=2650(m).15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求A,C(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化簡(jiǎn)整理,得2sin2A-sinA-于是sinA=1或sinA=-12(舍)因?yàn)?<A<π,所以A=π2又A