第11講 解直角三角形（5大考點）（原卷版）

第11講解直角三角形（5大考點）考點考點考向一．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）二．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．考點考點精講一．解直角三角形（共5小題）1．（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，兩梯腳之間的距離BC的長為d．則d與l的關(guān)系式為（）A．d＝l?sinα B．d＝2l?cosα C．d＝2l?sinα D．d＝l?cosα2．（2022?海曙區(qū)校級一模）如圖1，以Rt△ABC的各邊為邊向外作等邊三角形，編號分別為①，②，③．如圖2，將①，②疊放在③中，若四邊形EGHF與GDCH的面積之比是，則sin∠ABC的值是（）A． B． C． D．3．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．4．（2022?松陽縣二模）如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為O，弦AC平分∠BAD，點D在半圓上，過點C作CE⊥AD，垂足為點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF與半圓O相切于點C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．5．（2022?西湖區(qū)校級一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．（1）求△ABC的面積；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．二．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）6．（2022?龍港市模擬）如圖，某學校操場上有甲、乙兩根木桿，若某一時刻太陽光線與地面的夾角為α（α為銳角），甲、乙桿在水平地面的影長分別為2米和1.5米．若甲桿比乙桿長m米，則m的值等于（）A．2tanα B． C． D．tanα7．（2022?鹿城區(qū)校級三模）鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長為3米，當欄桿末端從水平位置上升到點C處時，欄桿前端從水平位置下降到點A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細忽略不計），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米8．（2022?永嘉縣三模）如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長為（）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）m C．17tanαm D．17sinαm9．（2022?北侖區(qū)校級三模）圖1是淘寶上常見的“懶人桌”，其主體由一張桌面以及兩根長度相等的支架組成，支架可以通過旋轉(zhuǎn)收攏或打開，圖2是其打開示意圖，經(jīng)操作發(fā)現(xiàn)，當∠ADC＝∠BCD≥90°時，可穩(wěn)定放置在水平地面上，經(jīng)測量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）當其完全打開且置于水平地面上時，測得∠ADC＝140°，求AB距離；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若要在該桌上辦公，已知眼睛與桌面的垂直距離以30cm為佳，實際辦公時，眼睛與桌面的垂直距離為34.8cm，若保持身體不動，通過旋轉(zhuǎn)支架AD以及BC抬高桌面，則A點應(yīng)向內(nèi)移動多少厘米，才能達到最佳距離？（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）10．（2022秋?婺城區(qū)校級月考）圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，托板長AB＝115mm，支撐板長CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，且∠CDE＝60°．（1）求點C到直線DE的距離（計算結(jié)果保留根號）；（2）若∠DCB＝70°時，求點A到直線DE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；（3）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在DE上，則CD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為．（直接寫出結(jié)果）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共4小題）11．（2022?文成縣一模）如圖，小羽利用儀器測量一電線桿AB的拉線AC的長度，測得拉線AC與水平地面BC的夾角為70°，并測得C點到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長度為（）A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米12．（2022?臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）13．（2022?舟山二模）我市的白沙島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去白沙島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB＝4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD＝0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如圖1，在無魚上鉤時，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD＝22°，海面上方的魚線BC與海面HC成一定角度．求點B到海面HC的距離；（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD＝53°，此時魚線被拉直，魚線BO＝5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝co53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°＝，cos22°≈，tan22°≈）14．（2022?鹿城區(qū)一模）如圖為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道．若點D與點A的水平距離DE＝a米，水平賽道BC＝b米，賽道AB，CD的坡角均為θ，則點A的高AE為（）A．（a﹣b）tanθ米 B．米 C．（a﹣b）sinθ米 D．（a﹣b）cosθ米四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共5小題）15．（2022?溫州校級模擬）為了疫情防控工作的需要，某學校在學校門口的大門上方安裝了一個人體體外測溫攝像頭，攝像頭到地面的距離DE＝2.7米，小明身高BF＝1.5米，他在點A測得點D的仰角是在點B測得點D仰角的2倍，已知小明在點B測得的仰角是a，則體溫監(jiān)測有效識別區(qū)域AB的長為（）米．A．tanα﹣tan2α B． C． D．16．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°，然后他沿著正對樹PQ的方向前進12m到達點B處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．則樹PQ的高度為（）（結(jié)果精確到0.1m，≈1.73）A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.117．（2022?蒼南縣一模）如圖，小華在屋頂D點時，測得對面圖書館頂部B的仰角為α，圖書館底部A的俯角為β，若這兩幢樓的距離AC＝32米，則圖書館樓高AB等于（）A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米 C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米18．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，某中學無人機社團成員在操場放飛無人機，小華站在A點處操作無人機，當無人機飛行到小華的正前上方點E處懸停，此時小華從遙控器飛行數(shù)據(jù)中得到無人機距離地面的高度BE為35m．社團成員小亮在A處測得無人機的仰角為75°，教學樓最高點D的仰角為45°，其中點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，當無人機從E點開始沿正東方向飛行一段距離到達點F，此時小亮發(fā)現(xiàn)無人機恰好在視線AD上，求無人機飛行的距離EF的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）19．（2022?金華模擬）如圖，在坡度（即tanα）為的山坡l上一點P處，觀察對面山頂上的一座鐵塔BC，測得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC＝80m，點P的高度PE＝60m，圖中的點O，B，C，A，P在同一平面內(nèi)．（tan26.6°≈0.50，tan37°≈0.75）（1）求塔所在的山高OB．（2）求OA的長．五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共5小題）20．（2022?金東區(qū)一模）某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島北偏西30°方向上，距A島120海里．有一艘船從A島出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B島南偏東75°方向的C處．（1）求∠BCA的度數(shù)．（2）求BC的長．21．（2022秋?婺城區(qū)校級月考）如圖，A位于學校主教學樓P南偏東45°方向，且距離教學樓60米，小明同學從這里出發(fā)沿著正北方向走了一段時間后，到達位于主教學樓北偏東30°方向的綜合樓B處，此時小明同學一共走的距離為米．22．（2022?麗水二模）如圖，從A點測得M村在北偏東30°方向，小明從A點沿北偏東60°方向步行800米達到C處，測得M村位于點C的北偏西75°方向，若在AC上找點N，使得MN最短，AN的長是米．23．（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，海岸線上有兩座燈塔A，B，燈塔A位于燈塔B的正東方向，與燈塔B相距8km．海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔B的北偏東30°方向，與燈塔B相距8km的C處；乙船位于燈塔A的北偏東15°方向，與燈塔A相距6km的D處．求：（1）甲船與燈塔A之間的距離；（2）兩艘貨船之間的距離．24．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，一艘貨船以36海里/時的速度在海面上航行，當他行駛到A處時，發(fā)現(xiàn)它的東北方向有一燈塔B，獲準繼續(xù)向北航行40分鐘后到達C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它北偏東60度方向．求此時貨輪與燈塔B的距離（結(jié)果精確到0.01海里）．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·杭州市采荷中學二模）如圖，在中，，設(shè)，，所對的邊分別為4，3，5，則（）A． B． C． D．2．（2021·浙江浙江·九年級月考）如圖，是河堤橫斷面的迎水坡，坡高，水平距離，則斜坡的坡度為（）A． B． C． D．3．（2021·浙江瑞安·九年級開學考試）如圖，是梯子兩梯腿張開的示意圖，AB＝AC，梯腿與地面夾角∠ACB＝∠，當梯子頂端離地面高度AD＝2.8m時，則梯子兩梯腳之間的距離BC＝（）m．A． B． C． D．4．（2021·浙江·翠苑中學二模）如圖，在中，，是邊上的高，則下列選項中不能表示的是（）A． B． C． D．5．（2021·浙江浙江·九年級月考）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，則AB的長是（）A． B． C． D．6．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）二模）如圖，已知中，，，分別為，的中點，連結(jié)，過作的平行線與的角平分線交于點，連結(jié)，若，，則的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題7．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）二模）一顆珍貴的百年老樹傾斜程度越來越厲害了．出于對它的保護，需要測量它的高度，做法如下：在地面上選取一點，測得，米，，則這棵樹的高約為________米．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）8．（2021·浙江平陽·九年級期中）小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進球．已知小明與籃框內(nèi)的距離米，眼鏡與底面的距離米，視線與水平線的夾角為，已知，則點D到底面的距離是_______米．9．（2021·浙江·溫州繡山中學三模）如（圖1），一個可繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)的收納柜放置在櫥柜轉(zhuǎn)角處，兩層抽屈形狀大小都相同（圖2），（圖3）為上層抽屜旋轉(zhuǎn)過程中的俯視圖，下層抽屜的長AD＝30cm，寬AB＝20cm，MA＝10cm，當上層抽屜旋轉(zhuǎn)至邊B′C′恰好經(jīng)過點D時如（圖2），AD′與邊MN平行，此時點D′到BC的距離為____cm；當上層抽屜旋轉(zhuǎn)至AD′碰到邊MN時如（圖3），此時點D′到BC的距離為____cm．10．（2021·浙江·寧波市海曙外國語學校九年級期中）如圖，有一個底面直徑與杯高均為15cm的杯子里而盛了一些溶液，當它支在桌子上傾斜到液面與杯壁呈才能將液體倒出，則此時杯子最高處距離桌面__cm，，11．（2021·浙江·諸暨牌頭中學九年級）如圖，在中，，以其三邊為邊向外作正方形，過點作于點，再過點作分別交邊，于點，．若，，則_______．12．（2021·浙江·諸暨市開放雙語實驗學校九年級期中）如圖，已知點A（3，3），點B（0，），點A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點C，則點C的坐標為_________．13．（2021·浙江龍游·九年級期末）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點O是三角形的重心，點D是邊AC上一動點，連結(jié)并延長DO交AB于點E，將ADE沿DE進行翻折得到，與BC交于點F，連結(jié)．（1）當點D與點C重合時，則的長為___．（2）BF的最小值為___．14．（2021·浙江·杭州市豐潭中學二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，點E是AD上一個動點，把△CDE沿CE向矩形內(nèi)部折疊，當點D的對應(yīng)點D′恰好落在矩形的內(nèi)角平分線上時（∠DCD'為銳角），則cos∠DCD'＝__________________．三、解答題15．（2021·浙江·杭州市公益中學九年級開學考試）如圖，，，于點E，于點F．（1）求證：；（2）已知，求的值．16．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學二模）如圖，某商場從一層到二層的樓梯由臺階AB，CD和一段水平平臺BC構(gòu)成，AB與CD互相平行并且與地面成31°角．已知臺階AB＝5.2米，CD＝2.8米，平臺BC＝2.5米．求商場一層的高度（結(jié)果精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．17．（2021·浙江浙江·九年級月考）如圖，在中，．求的值．18．（2020·浙江衢江·九年級期末）某社會實踐活動小組實地測量河兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然后向西走50m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向，如圖．（1）求∠CBA的度數(shù)；（2）求這段河的寬度．（結(jié)果精確到1m）19．（2020·浙江·衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）九年級期末）水亭門是衢州國家級儒學文化產(chǎn)業(yè)園核心區(qū)的重要組成部分，也是古城的中央休閑區(qū)和市政府傾力打造的5A級景區(qū)主景點．在課外實踐活動中，我校九年級數(shù)學興趣小組決定測量該水亭門的高．他們的操作方法如下：如圖，先在D處測得點A的仰角為20°，再往水亭門的方向前進22米至C處，測得點A的仰角為31°（點D、C、B在一直線上），求水亭門AB的高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）20．（2021·浙江省杭州市上泗中學二模）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為時，箱蓋落在的位置（如圖2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求點到的距離；（結(jié)果保留根號）（2）求、兩點的距離．（結(jié)果保留根號）21．（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為D，與y軸的交點為C，點A是拋物線對稱軸左側(cè)上一點，連結(jié)，以，為邊構(gòu)造平行四邊形．（1）如圖1，當軸時，①已知，點A的坐標是，求拋物線的解析式；②若，求b的值；（2）如圖2，若，連結(jié)交y軸于點E，且，是否存在這樣的b值，使四邊形是菱形?若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．22．（2021·浙江·寧波市第七中學九年級月考）一個四邊形被一條對角線分割成兩個三角形，如果被分割的兩個三角形相似，我們稱該對角線為相似對角線．（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，E為AD的中點，AF=1，連結(jié)CE，CF，求證：EF為四邊形AECF的相似對角線；（2）在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，AC=，AC平分∠BAD，且AC是四邊形ABCD的相似對角線，求BD的長；（3）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點E是線段AB（不取端點A，B）上的一個動點，點F是射線AD上的一個動點，若EF是四邊形AECF的相似對角線，請直接寫出BE的長．23．（2020·浙江·衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）九年級期末）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC，BC＝8，