第06講 逆命題和逆定理、直角三角形（2大考點）（原卷版）

第06講逆命題和逆定理、直角三角形（2大考點）考點考點考向一、命題與逆命題，定理與逆定理在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題．每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題．如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫做互逆定理.要點：每一個定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正確的.二、直角三角形的概念有一個角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下圖，可以記作“Rt△ABC”.要點：三角形有六個元素，分別是：三個角，三個邊，在直角三角形中，有一個元素永遠是已知的，就是有一個角是90°.直角三角形可分為等腰直角三角形和含有30°的直角三角形兩種特殊的直角三角形，每種三角形都有其特殊的性質.三、直角三角形的性質直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點：直角三角形的特征是兩銳角互余，反過來就是直角三角形的一個判定：兩個角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同樣有斜邊上的中線等于斜邊的一半，并且30°的角所對的直角邊同樣等于斜邊的一半.考點考點精講一．反證法（共8小題）1．（2022春?麗水期末）用反證法證明“∠1＞90°”，應先假設（）A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°2．（2022春?金水區(qū)校級期末）用反證法證明命題“三角形中最多有一個角是鈍角時，下列假設正確的是（）A．三角形中至少有兩個角是鈍角 B．三角形中沒有一個角是鈍角 C．三角形中三個角都是鈍角 D．三角形中至少有一個角是鈍角3．（2022春?義烏市期末）用反證法證明命題：“已知△ABC，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”第一步應先假設（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC4．（2022春?溫州期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB＝AC，則∠B＜90°”時，應假設（）A．∠B≠90° B．∠B＝90° C．∠B＞90° D．∠B≥90°5．（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）用反證法證明命題“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”時，首先應假設這個三角形中（）A．每一個內(nèi)角都大于60° B．每一個內(nèi)角都小于60° C．有一個內(nèi)角大于60° D．有一個內(nèi)角小于60°6．（2022春?江北區(qū)期末）反證法是數(shù)學中經(jīng)常運用的一類“間接證明法”．用反證法證明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°．”時，第一步應假設．7．（2022春?嵊州市期末）用反證法證明“在三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”，應先假設命題不成立，即三角形的三個內(nèi)角都60°（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2022春?鹿城區(qū)校級期中）已知△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＜90°，用反證法證明：第一步是：假設．二．直角三角形的性質（共7小題）9．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．（2021秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點P在邊BC上（不與點B，點C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，則AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，則AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，則∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，則∠BAC＝90°11．（2021秋?溫州校級期中）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，則∠C為（）A．30° B．40° C．50° D．60°12．（2022?婺城區(qū)校級開學）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°13．（2022?長興縣開學）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（）A．2km B．3km C．km D．4km14．（2022?西湖區(qū)校級開學）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點C在直線a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為．15．（2021春?長興縣期末）如圖1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直線a與邊AC，AB分別交于D，E兩點，直線b與邊BC，AC分別交于F，G兩點，且a∥b．（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度數(shù)；（2）如圖2，P為邊AB上一點，連結PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，請你探索∠PFG與∠AED的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，若∠DEB＝m，延長AB交直線b于點Q，在射線DC上有一動點P，連結PE，PQ，請直接寫出∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的數(shù)量關系（用含m的式子表示）．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·諸暨市濱江初級中學八年級期中）如圖，在ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（）A．125° B．145° C．175° D．190°2．（2020·浙江）下列說法中不正確的是（）A．“對頂角相等”沒有逆命題B．“兩個全等的三角形的周長相等”的逆命題是“周長相等的兩個三角形全等”C．“若，則”的逆命題是“若，則”D．“全等三角形的對應邊相等”的逆命題是“對應邊相等的三角形全等”3．（2020·浙江八年級期末）已知等邊的邊長為3，點E在直線上，點D在直線上，且，若，則的長為（）A．6 B．9 C．3或6 D．3或94．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖1是一張型站立式琴架，其撐開后示意圖如圖2所示，支架相交于點，經(jīng)測量得到，要使琴架高度為，則兩支架展開角的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江）某個信封的簡易平面示意圖如圖所示，可看作將與疊放在長方形內(nèi)，且．已知與的長度之比為，點到邊的距離是，則圖中陰影部分面積是（）A． B． C． D．6．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，，點在上，且連接，若，則的大小是（）A． B． C． D．二、填空題7．（2020·浙江八年級期末）“等腰三角形的兩個底角相等．”請寫出它的逆命題：_________________．8．（2020·浙江杭州市·八年級期末）命題若“”，則”的逆命題是_________________．9．（2019·浙江杭州·）一副三角板拼成如圖所示，是的中點，則________．10．（2019·浙江杭州·）如圖，在中，，，點，分別在，上運動，連結、，則的最小值為________．11．（2020·浙江）等腰三角形一腰上的高線與另一條腰的夾角為，則該等腰三角形的底角為_________．12．（2020·浙江杭州市·八年級期末）寫出命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等”的逆命題____________________．該逆命題是______命題（填“真”或“假”）．三、解答題13．（2020·浙江）已知命題“若，則”寫出此命題的逆命題，并判斷逆命題的真假．若是真命題，請給予證明：若是假命題，請舉出一個反例．14．（2020·浙江八年級期末）已知，如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線（1）若∠B=30°，∠ACD=45°，AB=2，求BC的長．（2）若點G是線段CE的中點，連接DG，當DG⊥EC時，求證:AB=2CD．（3）在（2）的條件下，試判斷∠AEC與∠B之間的數(shù)量關系，并說明理由．15．（2020·浙江）如圖，中，于，于，與相交于點．（1）如圖1，，求的度數(shù)；（2）如圖2，，和的平分線相交于點，求的度數(shù)；（3）如圖3，點為的中點，連接和，請判斷的形狀，并說明理由．16．（2020·浙江八年級單元測試）已知和是等腰直角三角形，，F(xiàn)為的中點，連結．（1）如圖①，當點D在上，點E在上，請判斷線段的數(shù)量關系，并說明理由．（2）如圖②，在（1）的條件下將繞點A順時針旋轉，請你判斷此時（1）中的結論，是否仍然成立，并證